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2021年2月21日发(作者：大专学历)

负数的二进制编码

——

越是基础的越是要掌握< /p>

分类：

学习笔记

2010-02-15 13:18330

< p>
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原码

就是原来的表示方法

反码

是除符号位（最高位）外取反

< /p>

补码

=

反码

+1

以前学习二进制编码时，

老师讲了一堆堆的什么原码啊反码啊补 码

啊

xxxx

转换啊，

还有负数的表示方式啊

总是记不零清，

终于从网

上找到了一种比较好的讲解方式，

保存再< /p>

share

一下，

不过为了系

< p>
统化讲解，

又找来了一些编码的基础知识，

如果只 想看负数编码记

忆法，请跳转到

1.

如果你不知道二进制怎么编码，请继续，否则请跳到

2

1

字节

=

8

位，所以它能表示的最大数当然 是

8

位都是

1

（既然

2

进

制的数只能是

0

或

1,

如果是我们常见的

10

进制，那就

8

位都为

9

，这

样说，你该懂了？）

1

字节的二进制数中，最大的数：< /p>

11111111

。

这个数的大小是多少呢？让我们来把它转换为十进制数。

无论是什么进制，都是左边是高位，右边是低位。

10

进制是我们

非常习惯的计数方式，第一位代表有几个

1

（即几个

10

0

）

，第二位

代表有几个

10

（即几个

10

1

）< /p>

，第三位代表有几个

100

（即有几个< /p>

10

2

）

…

，用小学课本上的说法就是：个位上的数表示几个

1

，十位

上的数表示向个

10

， 百位上的数表示几个

100

……

同理可证，二进制数则是：第

1

位数表示几 个

1

（

2

0

）

，第

2

位数 表

示几个

2

（

2

1

）

，

第< /p>

3

位数表示几个

4

（

2

2

）

，

第

4

位数表示向个

8(2

3

)

……

< br>

以前我们知道

1

个字节有

8

位，

现在通过计算

,

我们又得知：

1

个字节

< p>
可以表达的最大的数是

255

，也就是说表示

0~255

这

256

个数。

那么两个字节

（双字节数）

呢？双字节共

16

位。

11111

，

这个数并不大 ，

但长得有点眼晕，

从现在起，

我们要 学会这样来表

达二制数：

1111 1111 1111 1111,

即每

4

位隔一空格。

双字节数最大值为：

1 * 2

15

+ 1 *2

14

+ 1* 2

13

+ 1 * 2

12

+ 1 * 2

11

+ 1 * 2

10

+

……

+ 1 * 2

2

+

1 * 2

1

+ 1* 2

0

= 65535

很自然，我们可以想到，一种数据类型允许的最大值，和它的

位数有关。具体的计算方法方法是，如果它有

n

位，那么最大值

就是：

n

位二进制数的最大值：

1 * 2

(n-1)

+ 1 * 2

(n-2)

+ ... + 1 * 2

0

2

、理解有符号数和无符号数

负数在计算机中如何表示呢？这一点，你可能听过两种不同的回

答。< /p>

一

种是教科 书，它会告诉你：计算机用

“

补码

”< /p>

表示负数。可是有

关

“

< br>补码

”

的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第

6

章中用一

章的篇幅讲

2

进制的一切。

再

者，

用

“

补码

”

表示负数，

其实是一种

公 式，

公式的作用在于告诉你，

想得到问题的答案，

应该如何计算。

却并没有告诉你为什么用这个公式就可以得到答案？

-----

我就是

被 这个弄混淆的

>_<

另

一种是一些程序员告诉你的：用二 进制数的最高位表示符号，

最高位是

0

，表示正数，最高位是

1

，表示负数。这种说法本身没

错，可是如果没有下文，那么它就是

错的。至 少它不能解释，为

什么字符类型的

-1

用二进制表示是

“

1111

1111

”

(16

进制为

FF)

；而

不是我们更能理解的

“< /p>

1000

0001

”

< br>。

（为什么说后者更好理解呢？

因为既然说最高位是

1

时表示负数，那

1000

0001

不是正好是

-1

吗 ？

-----re

！当初偶就是这么想的，

so

一直在脑中打架，越打越混

淆＝，＝

< br>）

。

让我们从头说起。

2.1

、你自已决定是否需要有正负。

就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，

使用多大的范围数 一

样，

我们必须自已决定某个量是否需要正负。

如果这个量不会有负

值，那么我们可以定它为带正负的类型。

< br>

在计算机中，

可以区分正负的类型，

< br>称为有符类型，

无正负的类型

（只有正值）

，称为无符类型。

数值类型分为整型或实型，其中 整型又分为无符类型或有符类型，

而实型则只有有符类型。

字符类型也分为有符和无符类型。

比 如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，

后者定为有符的整数类型 。

2

、使用二制数中的最高位表示正负。

首先得知道最高位是哪一位？

1

个字节 的类型，如字符类型，最高

位是第

7

位 ，

2

个字节的数，最高位是第

15

位，

4

个字节的数，最高

< br>位是第

31

位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同 ，但总是

最左边的那位（如下示意）

。字符类型固定是

1

个字节，所以最高

位总是第

< br>7

位。

(

红色为最高位

)

单字节数：

1

111 1111

双字节数：

1

111 1111 1111 1111

四字节数：

1

111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

当我们指定一个数量是

无符号 类型

时，那么其最高位的

1

或

0

，和

其它位一样，用来表示该数的大小。

当我们指定一个数量是

有符号类型

时，

此时，

最高数称为

“

符号位

”

。

为

1

时，表示该数为负值，为

0

时表示为正值。

3

、无符号数和有符号数的范围区别。

无符号数中，

所有的位都用于直接表示该值的大小。

< p>
有符号数中最

高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变 小。

我们举一个字节的数值对比：

无符号数：

1111 1111

值：

255 1* 2

7

+ 1* 2

6

+ 1* 2

5

+ 1* 2

4

+ 1* 2

3

+ 1* 2

2

+ 1* 2

1

+ 1* 2

0

有符号数：

0111 1111

值：

127 1* 2

6

+ 1* 2

5

+ 1* 2

4

+ 1* 2

3

+ 1* 2

2

+ 1* 2

1

+ 1* 2

0

< /p>

同样是一个字节，无符号数的最大值是

255

，而有符号数的最

大值是

127

。

原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。

并且，

我们知道，最高位的权值也是最高的（对于

1

字 节数来说是

2

的

7

次

方

=128

）

< br>，所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。

不过，

有符号数的长处是它可以表示负数。

因此，

虽然它的在最大

值缩水了，

却在负值的方向出现了伸展。

我们仍一个字节的数值对

比：

无符号数：

0 ----------------- 255

有符号数：

-128 --------- 0 ---------- 127

同样是一个字节，无符号的最小值是

0

，而有符号数的最小值是

-128

。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是

256

个。只不

过前者表达的是

0

到

255

这

256

个数，后者表达的是

-128

到

+127

这

256

个数。

< p>

一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？

有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，

只不过

它少了一个最高位（见第

3

点）

< p>
。但在负值范围内，数值的计算方

法不能直接使用

1* 2

6

+ 1* 2

5

的公式进行转换。

在计算机中，

负数

除为最高位为

1

以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值

前，需 要对补码进行还原。这里，先直观地看一眼补码的形式：

以我 们原有的数学经验，在

10

进制中：

1

表示正

1

，而加上负号：

-1

表示和

1

相对的负值 。

那么，我们会很容易认为在

2

进制中（

1

个字节）

：

0000

0001

表

示正

1

，则高位为< /p>

1

后：

1000 0001

应该表示

-1

。

然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：

二进制值（

1

字节）

1

000

0000

< br>红色的

1

代表负数

蓝色的

是

补码

(

补码

=

反码

+1)

-128

十进制值

1

000

0001

< br>蓝

色

部

分

代

表

多

大

的

-127

想化成负数？：先

减

值？：将补码还原为原码

去

< br>1

再

按位取反

1

000 0010

还原方法：补码< /p>

-1

再取反

-126

1

000 0011

...

1

111 1110

1

111 1111

首先我们看到，从

-1

到

-128

，其二进制的 最高位都是

1

（表中标为

红色）

，正如我们前面的学。

然后我们有些奇怪地发现，

1000

0000

并没有拿来表示

-0

；而

1000

< br>0001

也不是拿来直观地表示

-1

。事实上，

-1

用

1111 < /p>

1111

来

表示。

怎么理解这个问题呢？

先得问一句是

-1

大还是

-128

大

？

当

然是

-1

大。

-1

是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是

字符类型，

或者是整数类型，

也无论这个整数是 几个字节。

它都用

-125

...

-2

-1

全

1

来表示

-1

。比如一个字节的数值中：

111 1 1111

表示

-1

，那么，

1111

1111

-

1

是什么呢？和现实中的计算结果完全一致。

1111

1111 - 1 = 1111 1110

，而

1111 1110

就是

-2

。这样一直减下去，当

减到只剩最 高位用于表示符号的

1

以外，其它低位全为

0

时，就是

最小的负值了，在一字节中，最小的负值是

1000

0000

，也就是

-128

。

------ --

小米批注：就是这部分蓝色的文字，让我终于能记清楚

-1

的

编码方式了，汗＝。＝

< p>
我们以

-1

为例，来看看不同字节数的整数中，如 何表达

-1

这个数：

字节数

二进制值

十进制值

-1

单

字

节

1

111

1111

红色表示负数

蓝色部

数

负数：原

码

就

是

原

来< /p>

的

表

示

方

法、反码

是

除

符

号位（最

高位）外

取反、补

码

=

反码

1

< br>111 1111 1111 1111

-1

分的

补码

为值

1

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