正数与负数讲解
-
1.1
正数和负数
□
自学导读
【学习目标】
1.
了解正数和负数在实际生活中的需要，会判断一个数是正数还是负数
.
2
．会用正数和负数表示互为相反意义的量
.
【重、难点】
正负数的概念意义及正负数在表示相反意义的量中的应用
.
【读书思考】
一、正数、负数及
0
的意义
（
1
）大于
的数叫做
正数
，正数前面的“＋”号通
常省略不写。
（
2
< br>）在正数前面加上
的数叫做
负数
。
（
< br>3
）
0
既不是
< br>
，也不是
；
0
除表示“没有”外，还表示
，如海平面的海拔高度为
0
。
〔
4
〕某食品包装上
标有“净含量
385
±
5
克”
，这袋食品的合格率含量范围是
克至
克。
<
/p>
〔
5
〕已知数：－
7
，
2.1
，
0
，－
1/3
，
13
中，正数有
；负数有
；不是负数的数是
；不是
正数的数是
. <
/p>
〔注〕不是负数的数叫
非负数
；不是正数
的数叫
非正数
。
二、用正负数表示具有相反意义的量
（
1
）正负数用来表示具有相反意义的量，如＋
2
元表示股票上升
2
元，－<
/p>
3
元表示
。
（
2
）在一个数的前面加上“－”号，所得的数表示的意义与原数表示的意义
。
〔
3
〕下列说法中错误的是
.
①零上
6
℃
的相反意义只有零下
6
℃；②收入和支出是一对相反意义的量；
③运出
5
吨
与收入
5
元是一对具有相反意义的量。
〔注〕
相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是
它们都具有数量，而且必须是同类量。
〔
4
〕如果零上
5
℃记作＋
5
℃，那么零下
5
℃记
作〔
〕
A
、－
5
B
、－
10
C
、－<
/p>
10
℃
D
、－
5
℃
〔注〕在实际问题的解答中要注意相应量的单位。
□
典题解析
例
1.
测量一座公路桥的长度，各次测量的数据是：
8015
米，
8008
米，
8012
米，
8014
米，
8011
米．
求：
(1)
这
5
次测量的平均值．
(2)
如果以＂平均值＂为基准，用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差．
例
2.
某校初一男生进行体能测试，
共有
8
人参加引体向上测试，
以
7
个为标准，
超过记
为正，
不足记
为负，成绩如下：
2|<
/p>
、
－
1
、
0
、
3
、－
2
、
－
3
、
、
1
、
0
.
(1)8
人中共有几人达标？
(2)
他们共做了几个引体向上？
例
3
．
加工一根轴
，
圆纸上注明它的直径是
.
其中
是表
示直径
30mm
，
＋
< br>0.03
表示合格品的直径最大
只能比规定的直径大
0.03mm
，－
0.02
表示合格品的直径最小只能比规定的直径小
0.02mm.
那么合格品
的直径最大可为多少
?
最小可为多少
?
□
达标检测
【基础训练】
（
1
）
．
6
，
2005
，
2
1
1
，
0
，
-3
，
+1
，
，
-6.
8
中，正整数和负分数共有„〖
〗
2
4
B
．
4
个
C
．
5
个
D
．
6
个
A
．
3
个
（
2
）
．把下列各数分别填在相应的大括号里：
+9
，
-1
，
+3
，
2
，
0
，
3
1
3
1
5
，
-15
，
，
1.7
．
2
4
正数集合：
{
„}，
负数集合：
{
„}．
（
3
）
．如果全班某次数学测试的平均成绩为
83
分，某同学考了
85
分，记作<
/p>
+2
分，得分
90
分和
80
分应
分别记作
_________________________
．
< br>
（
4
）
．如果把
+210
元表示收入
210
元，那么
-60
元表示
______________
．
< br>（
5
）
．粮食产量增产
11
％，记作
+11
％
，则减产
6
％应记作
________
______
．
（
6
）
．如果把公元
2008<
/p>
年记作
+2008
年，那么
-20
年表示
______________
．
（
7
）
．如果向西走
12<
/p>
米记作
+12
米，则向东走
-120
米表示的意义是
___
．
（
8
）
．味精袋上标有“500±5
克”
字样中，
+5
表示
_________
____
，
-5
表示
< br>____________
．
【
能力提升
】
8.
一种零件的内径尺寸在图纸上是
9
±
0.05(
单位
:mm),
表示这种零件的标准尺寸是
9mm,
加工要求最大不超过
标准尺寸多少
?
最小不小于标准尺寸多少
?
9.
甲冷库的温度是
-12
°
C,
乙冷库的温度比
甲冷酷低
5
°
C,
则乙冷库的温度是
.
10.
观察下列排列的每一列数
,
研究它的排列有什么规律<
/p>
?
并填出空格上的数
.
(1)1,-2,1,-2,1,-2, , ,
,
„
(2)-2,4,-6,8,-10, ,
,
„
(3)1,0,-1,1
，
0,-1,
, , ,
„
1.2.1
有理数
□
自学导读
【学习目标】
1
、理解有理数的意义，正确理解整数、分数与有理数之间的关系
.
2
、能将有理数按要求分类，了解
0
< br>在有理数分类的作用
.
【重、难点】
有理数的概念及分类<
/p>
.
其中有理数的二种分类既是重点，也是难点
.
【读书思考】
1
、有理数及其相关概念
________
、
________
和
________
统称为整数。
________
和
________
统称为分数。
________
和
________
统称有理数。
〔注〕因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数和无限循环小数也都
是有理数。
2
、有理数的分类
< br>（
1
）按定义分：
（
2
）按符号分：
〔注〕
分类要按同一个
< br>－－－
< br>－－－
标准，做到不重复不遗漏。
－－－－
< br>
－－－
< br>
－－
－－
－－－
有理数
－－
有理数
－－－
－－－
－－－－
－－
－－－
－
－－
【典题解析】
例
1.
< br>判断
.
（
1
）．比
0
大的数是正数，比
0
小的数是负数，
0
不是正数也不是负数。
( )
（
2
）．温度计中显示
0
℃时，表示没有温度。
(
（
3
）．有理数分为正有理数和负有理数。
(
（
4
）．有
理数分为整数和分数。
(
（
5
）．
1
是最小的正数。
(
)
)
)
)
)
（
6
）．
-1
是最大的负整数，没有最小的负整数。
(
2
3
1
7
例
2
：把有理数
6.4
，－
9
，
3
，＋
10
，
4
，－
0.021
< br>，－
1
，
3
，－
8.5
，
25
，
0
，
100
按正整数、负整数、
正分数、负分数分成四个集合。
正整数集合
正分数集合
< br>，负整数集合
，负分数集合
□
达标检测
【基础训练】
1
、选择题：－
100
不是（
）
A
．有理数；
B
．自然数；
C
．整数；
D
．负有理数。
2
、下列说法中，正确的是
(
)
A
．
0
是
最小的整数
数就是负数
B
．
1
是最小的正整数
C
．
1
是最小
的整数
D
．一个有理数不是正
1
8
3.
填空：在－
7,10.1
，－
< br>，
89,0
，－
0.67
，
这些有理数中，
6
5
（
1
）整
数是
；
（
2
）分数是
.
4
5
4.
填空：在－
，
1
，
0
，
8.9
，－
< br>6
，
，－
3.2
，＋
108
，－
0.05
，
28
，
-9
这些有理数中，
5
7
（
1
）正整数是
< br>
；
（
2
）负整数是
；
（
3
）正分数是
；
（
4
）负分数是
.
5
、下列说法中正确的是〔
〕
A
、有最小的自然数，也有最小的整数
B
、没有
最小的正数，但有最小的正整数
C
、没有最小的负数，但有最大的负数
D
、
0
是有理数中最小的数
.
6
、有公共部分两个数集是〔
〕
A
、正整数集合与负整数集合
B
、整数集合与分数集合
C
、负数集合与整数集合
D
、负分数集合与正分数集合
7
、
、按某种规律在横线上填上适当的数：<
/p>
1
，－
4
，
9
，－
16
，
，
，
.
8<
/p>
、某种商品的标准价格是
400
元，但随
着季节的变化，商品的价格可浮动±
5
％
.
（
1
）±
5
％的含义分别是什么？
（
2
）请你算出商品的最高价和最低价；
（
3
）某商家将该商品的零售价格定在
450
元，受到物价部门的处罚，请分析处罚原因
< br>.
探索创新
9
、小明说：
“整数和分数统称有理数，也可以说成有限小数和无限循环小数统
称有理数，因为
整数可以看成分母为
1
的分数，所以任何一个有理数都可以化成分数”小明的说法对吗？你能
帮助他解释吗？<
/p>
10
、如果课桌的高度比标准高度高
2
㎜记作＋
2
㎜，那么比标准高度低
3
㎜记作什么？现有
5
张课桌，量得它们的尺寸与标
准高度比较分别是＋
1
㎜，－
1
㎝，
0
㎜，＋
3
㎜和－
1.5
㎜，若规
定课桌的高度比标准的高度最高不能超过
2
㎜，最低不能低
于
2
㎜才算合格，那么上述
5
张课
桌有几张合格？
1.2.2
数轴
□
自学导读
【学习目标】
1
、掌握数轴的三要素，能正确画出数轴，并能利用数轴比较数有大小
.
2
、能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点表示的数
.
【重、难点】
数轴的概念及画法
.
【读书思考】
1
、规定了
＿＿
、
＿＿、＿＿的直线叫数轴
.
2
、数轴上
＿
边的数比
0
大，数轴上
＿
边的数比
0
小
.
< br>3
、若
a
是一个正数，则数轴上
表示的点在原点的
边，与原点相距
个单位；
表示
-
a
的点在数轴的
边，与原点又相距
个单位
.
4
、
所有的整数和分数都可以用数轴上的点表示吗？
5.
下列各图表示数轴是否正确
?
为什么
?
⑴
⑵
⑶
（
4
）
< br>
6
、下列语句：
（
1
）数轴上的点只能表示整数；
（
2
）数轴是一条直线；
（
3
）数轴上
的一个点只
能表示一个数；
（
4
）数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；
（
5
）数轴上的点所表示
的数都是有理数。正确的说法有
□
典题解析
例
1.
在数轴上画出表示下列各数的点：
1
4
，
-2
，
-4.5
，
1
，
0 .
3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
< br>3
4
5
例
2.
如图，填空：分别写出点所表示的数
< br>.
A
B
D
F
C
E
-6
0
5
6<
/p>
-4
-1
1
2<
/p>
3
4
-5
-3<
/p>
-2
< br>（
1
）
A
点表示
；
（
2
）
B
点表示
；
（
3
）
C
点表示
；
（
4
）
D
点表示
；
（
5
）
E
点表示
；
（
6
）
F
点表示
.
例
3.
先画出数轴，然后在数轴上画出表示下
列各数的点：
1
－
1
，
0
，
4
，－
5
，
1
，－
2.5.
4
□
达标检测
【基础训练】
1
．在数轴上表示的两个数中，
的数总比
的数大。
2
．在数轴上，表示－
5
的数在原点的
侧，它到原点的距离是
个单位长度。
3
．在数轴上，表示
+2
的点在原点的
侧，距原点
个单位
；表示－
7
的点在原点的
侧，距原点
个单位；两点之间的距离为
个单位长度。
4
．在数轴上，把表示
3
的点沿着数轴向负方向移动
5
个单位，则与此位置相对应的数
是
。
5
．与原点距离为
2.5
个单位长
度的点有
个，它们表示的有理数是
。
6
．到原
点的距离不大于
3
的整数有
个，它们是：
。
7
．下列说法错误的是：
（
）
A
没有最大的正数，却有最大的负数
B
数轴上离原点越远，表示数越大
C
0
大于一切非负数
D
在原点左边离原点越远，数就越小
8
．下列结论正确的有（
）个：
①
规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
②
最小的整数是
0
③
正数，负数和零统
称有理数
④
数轴上的点都表示有理数
A
0 B 1 C 2
D 3
9
．在数轴上，
A
点和
B
点所表示的数分别为－
2
和
1
，若使
A
点表示的数是
B
点表示的数
的
3
倍，应把
A
点（
）
A
向左移动
5
个单位
B
向右移动
5<
/p>
个单位
C
向右
移动
4
个单位
D
向左移动
1
个单位或向右移动
< br>5
个单位
10
、指出数轴上
A
，
B
，
C
，
D
，
E
各点分别表示什么数
.
E
-6
C
-4
-3
-2
-1
B
0
A
1
2<
/p>
3
4
5
D
6
-5
1
1
，
1
，
－３，－
1.25
4
2
11
．
< br>在数轴上画出下列各点，它们分别表示：
+3
，
0
，
－３
并把它们用“＜”连接起来。
【
能力提升
】
12
．在数轴上，离原点距离等于
3<
/p>
的数是
。
13
．点
A
为数轴上表示－
2
的动点，当点
A <
/p>
沿数轴移动
4
个单位长到
B
时，
点
< br>B
所表示的实数是
（
）
A
1 B
－６
Ｃ
２或－６
Ｄ
不同于以上答案
1.2.3
相反数
□
自学导读
【学习目标】
1
．了解相反数的概念，并能根据相反数的意义求一个数的相反数及多重符号的化简；
2.
能通过数轴理解，在数轴上表示出相反数的两个点关于原点
对称；
【重、难点】
理解相反数的意义；理解和掌握双重符号简化的规律。
【读书思考】
1
1
1.
在所给数轴上画出表示下列各组数的点：
6
和－
6
，－
2.5
和
2.5
，
和－
，并回答问题
.
2
2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
（
1
）
、上述
各对数的特点是
，
表示这两对数的点在数轴上的特点是
。
（
2
）
、归纳：
两个数叫做互为相反数。
一般的，<
/p>
a
的相反数记作
。特别的，
0
的相反数仍是
2
、－
3
和
3
的符号一个是
____
，一个是
_______
。－
3
和
3
到
原点的距离都是
_______
。
<
/p>
像这样只有
____________
的
数，称他们为互为相反数。
在数轴上，可发现互为相反的两个
数到原点的距离
__________
；
□
典题解析
例
1
、辨一辨（
判断下列语句是否正确）
(1)
符号相反的两个数叫做互为相反数（
）
(2)
互
为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数（
）
(3)
负数的相反数大于本身（
）
(4)
正数的相反数小于本身（
）
(5)
正数是带“＋”号的数，不带“＋”号的数都是负数
(6)
一个数的相反数一定不等于这个数（
）
(7)
数轴上的原点两旁的两个号所表示的两个数互为相反数（
）
例
2
、填一填
2
2
(1)
3
和
______
互为相反数，
3
和
_______
互为倒数；
0
的相反数是
______
_____
；
(
２
) ___________
的相反数是负数；
______________
< br>的相反数是大于
0
的数；
(
３
)
如果两个数
的积是
1
，那么这两个数是
_____
_____
；
(
４
)
倒数等于本身的数是
____
_____
，一个数的相反数等于它本身的是
________
___
；
(
５
) _________
是－
19
相反数，－
1
9
是
_________
相反数，
19
和
________
< br>相反数；
(
６
)
在
一个数的前面添上一个
“－”后，就表示是原来那个数的
________________
< br>；
（７）在一个数的前面添上一个“
< br>+
”后，就表示是原来那个数的
___________
______
；
(
８
) ________
的相反数比它的本身大，
____________
的相反数比它的本身小。
例
３
、⑴、
点
A
在原点左边，离开原点
4
个单位，如果把
A
沿着数轴向右移动
8
个单位，
到
达
B
点，那
么
B
点表示的什么样的数？
⑵、
2
和它的相反数之间的距离是多少个单位？
□
达标检测
【基础训练】
1
．－
2
的相反数是
，
0.5
的相反数是
< br>
，
0
的相
反数是
。
2
．如果
a
的相反数是－<
/p>
3,
那么
a=
.
3.
如
a=+2.5,
那么
,
－
a
＝
．如－
a=
－
4
，则
a=
4.
如果
a,b
互为相反数
,
那么
a+b=
,2a+2b = .
5.
―<
/p>
(
―
2)= .
与―［―
(
―
8)
］互为相反数
.
6.
如果
a
的相反数是最大的负整数
,b
的相反数是最小的正整数
,
则
a+b= .
7.a
－
2
的相反数是<
/p>
3,
那么
, a= .
8.
一个数的相反数大于它本身
,
那么
,
这个数是
.
一个数的相反数等于它本身
,
这
个数是
,
一个数的相反
数小于它本身
,
这个数是
.
9. .a
－
b
的相反数是
.
10.
若果
a
和
b
是符号相反的两个数
,
在数轴上
a
所对应的数
和
b
所对应的点相距
6
个单位长
度
,
如果
a=
－
2,
则
b
的值为
.
11.
下列几组数中是互为相反数的是
( )
1
1
1
Ａ
―
和
0.7 B
和―
0.333 C
―
(
―
6)
和
6 D
―
和
0.25
7
3
4
12.
一个数在数轴上所对应的点向左移
6
个
单
位后
,
得到它的相反数的点
,
则这个数是
( )
A 3
B
－
3
C
6
D
－
6
13.
一个数是
7,
另一个数比它的相反数大
3.
则这两个数的和是
( )
A
－
3 B
3 C
－
10 D 11
14.
如果
2(x+3)
与
3(1
－
x)
互为相反数
,
那么
x<
/p>
的值是
( )
A
－
8
Ｂ
8 C
－
9 D 9
应用与提高
:
15.
如果
a
的相反数是－
2,
且
2x+3a=4
.
求
x
的值
.
a
16.
已
知
a
和
b
互为相反数且
b
≠
0,
求
a+b
与
的值
.
b
17.1 + 2 + 3 +
„
+ 2004 + (
－
1) +
(
－
2)+
(
－
3) +
„
+(
－
2004)
18.
小
李在做题时
,
画了一个数轴
,
在数轴上原有一点
A,
其表示的数是－
3,
由于粗心
,
把数
轴的
原点标错了位置
,
使点
A
正好落在－
3
的相反数
的位置
,
想一想
,
要把数轴画正确
,
原点要向哪个
方
向移动几个单位长度
?
1.2.4
绝对值
□
自学导读
【学习目标】
1
．借助数轴。从代数、几何两个角度来理解绝对值的概念，并能求出一个有理数的绝
对值；
2
．通过应用绝对值解决实际
问题，体会绝对值的意义和作用；
【重、难点】
给出一个数，会求它的
绝对值；难点是对绝对值的几何意义的理解。
【读书思考】
１
.
回答下列问题：
(1)
绝对值是
12
的数有几个
?
是什么
?
绝对值是
0
的数有几个
?
是什么
?
有没有绝对值是
-3
的数
?
为什么
?
(
２
)
有没
有最小的正数
?
有没有最大的负数
?<
/p>
为什么
?
(
３
)
有没
有绝对值最小的有理数
?
把它写出来
.
２．
下列判断是否正确
?
为什么
?
(1)
有理数的绝对值一定是正数；
(2)
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
(3)
如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；
(4)
如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数
.
３
.
一个正数的绝对值是
；一个负数的绝对值是
；
0
的绝对值是
。
即（
1<
/p>
）当
a
是正数时，｜
a
｜＝
；
（
2
）当
a
是负数时，｜
a
｜＝
；
（
3
）当
a
＝
0
时，｜
a
｜＝
.
□
典题解析
例１、用一用
（
1
）
15
的绝对值是
，即｜
15
｜＝
；
（２）＋
108
的绝对值是
，即｜＋
108
｜
＝
；
< br>（３）－
3.14
的绝对值是
，即｜－
3.14
｜＝
；
（４）
0
的绝对值是
，即｜
0
｜＝
.
例２、想一想
（
1
）有一个数，在数轴上表示这个数的点与原点的距离为
2007
，则这个数的绝对值等
于
；
（
2
）－
23
的绝对值是
，即
＝
.
（
3
）一个数的符号为正，绝对值等于
7
，这个数是
；
（
4
）一个数的符号为负，绝对值等于
7
，这个
数是
.
例３
.
写出绝对值小于
5
的所有整数，并在数轴上表示出来
.
□
达标检测
【基础训练】
1.
数轴上表示数
a
的点到原点的距离叫做数
a
的
。
2. | +4
|
＝
，
|
－
4
|
＝
，
| 0
|
＝
。
3.
绝
对值等于
5
的数是
，它们互为
。
4.
绝
对值小于
4
且大于
2
< br>的整数有
个，它们是
。
7
7
5.
－
的绝对值是
，绝对值等于
的数是
。
2
2
6.
一个数的绝对值是正数，这个数是（
）
A
．不等
于
0
的有理数，
B.
正数，
C.
任意有理数，
D.
非负数
7.
一个正数的绝对值等于它
，一个负数的绝对值等于它
，
0
的绝对值是
。
8.
判断下列各式是否正确
<
/p>
（
1
）
|
－
3 |
＝
|+3
|
（
）
（
2
）
|
－
1.5 | > 0
（
）
（
3
）
| a
－
1|
＝
a<
/p>
－
1
（
）
（
4
）
| a
|
≥
a
（
）
9.
下列各式的结论成立的是（
）
A.
若
| m
|
＝
| n
|
，则
m > n
；
B.
若
m >
n
，则
| m | > | n
|
；
C.
若
| m | > | n
|
，则
m >
n
；
D.
若
m < n <
0
，则
| m | > | n
|
。
10.
如果
|
－
a
|
＝－
a
，那么（
）
A.
－
a
一定是负数，
B.
－
a
一定是非负数，
C. | a
|
一定是正数，
D.
－
| a
|
一定不能是
0
11.
如果
|
a
－
1 |
＝
0
，则
a
＝
；如果
| a+1 |
＝
2
，则
a
＝
。
【
能力提升
】
1.
若
|
x
－
3 |+| y+2 |
＝
0
，则
x
＝
，
y
＝
。
2
．绝对
值不大于
11.1
的整数有„„„„„„„„„„„„„„„„
„„„„〖
〗
A
．
11
个
B
．
12
个
C
．
22
个
D
．
23<
/p>
个
|
a
|
|
b
|
|
c
|
3
．
a
、
b
、
c
三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子：
a
b
c
a
b
c
0
1
－
1
<
/p>
４、已知︱
a
︱
=2,
︱
b
︱
=3,a
为负数，求
a
、
b
的值。
５、
数轴
上表示整数的点称为整点，
某数轴的单位长度是
1
㎝，
若在这个数轴上随意画出一
条长为
2006
㎝的线段
AB
，则
线段
AB
盖住的整点个数是多少？
1.2.5
有理数的大小比较
□
自学导读
【学习目标】
1
．能正确利用绝对值比较两个负数的大小；
2
．能充分利用数轴和绝对值的知识，通过直观演示，将数轴上在原点左侧表示的
数的“点距离原点越远”，与这个“数的绝对值越大”相对应起来；
3
．能通过推理过程，了解化归思想．
【重、难点】
利用绝对值比较两个负数的大小
【读书思考】
1.
数轴上表示两个数，
边的数总比
边的数大。
2
．正数都大于
；负数都小于
3
．最小的非负整数是
，最大的非正数是
４、比较两个负数的大小的步骤是
□
典题解析
5
4
例１
.<
/p>
比较
和
的大小
6
5
1
1
3
例２、将有
理数－２，＋１，０，－
2
，
4
按从大到小的顺序排列，用“＜”号连接起来。
2
[
点拨
]
方法一：
先把这些数在同一数轴上表示出来，
< br>再把它们在数轴上的顺序从左到右写出来。
方法二：先把所有负数按照绝对值从大到小的顺序写出来，再
把所给正数按照绝对值从
小到大写出来，再根据有理数的大小比较的法则可得。
例３、写出绝对值不大于５的所有非正整数，并计算它们的绝
对值的和。
□
达标检测
【基础训练】
1.
< br>比较下列各数大小，
。
（
1
）–<
/p>
5
与
0
（
2
）
-
与
-3.14
（
3
）–
(+3.12)
与
-
∣
< br>-3.125
∣
2
．下列各式中，不正确的是
（
）
A
．
|-4|=4
B. |-4|=-(-4) C. |-4|>|-3| D. |-3|<0
< br>3
．不小于
-4
，而小于
4
的整数有
（
）
A
．
6
个
B 7
个
C
8
个
D
9
个
４．如果甲数小于乙数，那么（
）