2019考研数学二真题及答案
-
2019
考研数学二真题及答案
一、选择题
:1
～
8
小题，每小题
4
分，共
32
分
.
下列每题给出的四个
选项中，
只有一个选项符合题目要求的，
请将
所选项前的字母填
在答题纸
指定位置上
.
．．．
1
、当
x
0
时，若
x
tan
x
与
x
k
是
同阶无穷小量，则
k
（
）
A
、
1
.
B
、
2
.
C
、
3
.
D
、
4
.
选：
C
.
x
3
点拨：因为
x
tan
x
~
，所以
k
3
，选
C
.
3
<
/p>
2
、曲线
y
<
/p>
x
sin
x
<
/p>
2cos
x
－
x
<
/p>
２
A
、
,
3
的拐点是（
）
２
0,2
.
C
、
,
2
.
D
、
.
B
、
２
２
3
3
,
< br>
.
２
２
选：
C
.
点拨：
y
x
cos
x
sin
x
< br>，
y
x
sin
x
，令
y
x<
/p>
sin
x
0<
/p>
，解得
x
0<
/p>
或
x
。
当
x
时，
y
0
< br>；当
x
时，
y
0
，所以
,
2
是拐点。故选
C
.
3
、下列反常积分发散的是（
）
A
、
0
xe
dx
.
B
、
x
0
xe
dx
.
C
、
x
2
0
arx
tan
x<
/p>
dx
.
D
、
1
x
2
0
x
dx
.
1
x
2
选：
D
.
点拨：
A
、
xe
x
dx
xde
x
xe
x
e
< br>x
dx
1
，收敛；
0
0
< br>0
0
B
、
0
xe
C
、
x
2
1
x
2
2
1
dx
<
/p>
e
dx
，收敛
；
2
0
2<
/p>
0
arx
t
an
x
1
2
2
dx
ar
ctan
x
，收敛；
2
0
1
x
2
8
D
、
0
x
1
1<
/p>
1
2
dx
d
(1
x
)
ln(1
x
2
)
，发散，
2
2
1
x
2
0
1
x
2
0
故选
D
。
4
、已知微分方程的
y
ay
by
ce
x
通解为
< br>y
(
C
1
C
2
x
)
e
x
e
x
，则
a
,
b
,
c
依次为（
）
A
、
1,0,1
.
B
、
1,0,
2
.
C
、
2,1,3
.
D
、
2,1,
4
.
选：
D.
点拨：
由题设可知
< br>r
1
是特征方程
r
2
< br>ar
b
0
的二重根，即特
征方程为
(
r
1)
2
0
，
所以
a
2,
b
1
。又知
y
*
e
x
是方程
y
2
y
y
ce
x
的特解，代入
方程的
c
4
。故选
D
。
5
、
已
知
积
分
区
域
D
<
/p>
x
y
，
I
1
x
2
y
2
dxdy
，
x
,
y
2
D
I
2
s
in
x
2
y
2
dxdy
，
D
I
3
1
cos<
/p>
x
2
y
2
dxdy
，则（
）
D
A
、
I
3
I
2
I
1
.
B
、
I
2
I
1
I
3
.
C
、
I
1
I
2
I
3
.
D
、
I
2
I
3
I
1
.
选：
A
.
点
拨：
比较积分的大小，
当积分区域一致时，
比较被积函数的大小即
可解决问题。
由
x
y
，可得
x
y
【画图发现
包含在圆
x
y
2<
/p>
2
2
2
2
2
，令
u
x
< br>2
y
2
，则
0
u
，于是有
u
sin
u
，
x
2
y
2
的内部】
2
2<
/p>
2
从而
<
/p>
x
2
y
2
dxdy
<
/p>
sin
x
2
<
/p>
y
2
dxdy
。
D
D
0,
令
f
(
u
)
1
cos
u
sin
u
，
则
f
(
u
)
sin
u
cos
u
，
f
(
)
0
。
f
(
u
)<
/p>
在
内
4
4
单调减少，
,
0,
在
单调增加，
又因为
，
故在
f
(0
)
f
(
)<
/p>
0
内
f
(
u
)
0
，
即
2
4
2
2
<
/p>
从而
<
/p>
sin
x
2
<
/p>
y
2
dxdy
(1
c
os
x
2
y
2
)
dxdy
。
综上，
选
A
。
1
co
s
u
sin
u
，
D
D
6<
/p>
、设函数
f
(
x
),
g
(
x<
/p>
)
的二阶导数在
x
a
处连续，则
lim
x
a
两条曲线
y
f
(
x
)
，
y
g
(
x
)
在
x
<
/p>
a
对应的点处相切及曲率相等的（
）
f
(
x
)
g
(
x
)
0
是
(
x
< br>
a
)
2
A
、
充分非必要条件
.
B
、
充分必要条件
. <
/p>
C
、
必要非充分条件
.
D
、既非充分也非必要条件
.
选：
A
.
点
拨：充分性：利用洛必达法则，由
lim
x
a
lim
x
a
f
(
x
)
g
(<
/p>
x
)
0
可得
2
(
x
a
)
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x<
/p>
)
g
(
x
)
0
，
0
及
lim
x
a
2(
x
< br>
a
)
2
进而推出
f
(
a
)
g
(
a
)
，
f<
/p>
(
a
)
g
(
a
)
，
f
(
a
)
g
(
a
)
。由
此可知两曲线
在
x
< br>a
处有相同切线，且由曲率公式
K
曲率也相等，充分性得证。
必要
性：由曲线
y
f
(
x
)
，
y
g
(
x<
/p>
)
在
x
a
处相切，可得
f
(
a
)
g
(
a
)
，
f
(
a
)
g
< br>(
a
)
；
y
[
1
(
y
<
/p>
)
]
3
2
2
可知曲线在
x
<
/p>
a
处
由
曲
率
相
等
f
(
a
)
g
(
a
)
。
f
<
/p>
(
a
)
[1
(
f
(
a
))
]
3
2
2
g
(
a
)
[1
(
g
(
a
))
]
3<
/p>
2
2
，
可
知
f
(
a
)
g
(
a
)
或
当
f
(
a<
/p>
)
g
(
a
)
时，所求极限
lim
x
a
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
< br>)
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
lim
lim
f
(
a
)
，而
f
(
a
)
未必等
2
x
a
x
a
(
x
a<
/p>
)
2(
x
a
)
2
于
0
，因此必要性不一定成立。故选
A
。
7
、设
A
是
4
阶矩阵，
A
*
为
A
的伴随矩阵，若线性方程组
Ax
0
的基
础解系中只有
2
个向量，则
r
(
A
*
)
（
）
。
A
、
0
.
B
、
1
.
C
、
2
.
D
、
3
.
选：
A
.
点
拨：
因为方程组
Ax
0
的基础解系中只有
2
个向量
，
，
所以
4
r
(
A
)
2
，
从而
r
(
A
)
2
4
1
，
则
r
(
A
*
)
0
，故
选
A
。
<
/p>
8
、
设
A
是
3
阶实对称矩阵，
若
A
2
A<
/p>
2
E
,
且
A
4
，
E
是
3
阶单位矩阵，
则二次型
x
T<
/p>
Ax
的规范型为（
）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
、
y
1
< br>y
2
y
3
.
B
、
y
1
y
2
y
3
.
C
、
y
1
y
2
y
3
.
D
、
2
2
.
< br>y
1
2
y
2
y
3
选：
C
.
点
拨：设
是
A
的特征值，根据
A
2
A
2
E
得
2
2
，解得
1
或
<
/p>
2
；
又因为
A
4
，
所以
A
的特征值为
1
，
-2
，<
/p>
-2
，
根据惯性定理，
< br>2
2
2
x
T
Ax
的规范型为
y
1
。故选
C
。
y
2
y
3
二、填空题：
9
～
14
小题
,
每小题
4
分
,
共
24
分
.
请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上
.
9
、
< br>lim(
x
2
)
x
0
2
x
x
.
选：
4
e
2
。
点拨：
lim(
x
2
)
lim[1
< br>(
x
2
1)]
e
x
x
0
x
0
2
x
x
2
x
x
0
x
2
lim
ln[1
(
x
2
x
1)]
e
10
、
曲
线
2
lim
x
2
x
< br>
1
x
0
x
e
2
(1
ln
2)
4
e
2
.
x
t
sin
t
3
在
t
对
应
点
处
的
切
线
在
< br>y
轴
上
的
截
距
2
y
1
cos
t
为
。
选：
3<
/p>
2
.
2
3
dy
sin
t
y
x
2
，截距
1
，切线方程为
点拨：斜率
2
dx
1
cos
t
t
3
2
为
3<
/p>
2
。
2
y
2
z
z
11
、设函数
f
(
u
)
可导，
z
yf
(
)
，则
2
x
y
。
x
x
y
y
2
选：
yf
.
x
y
2
2
y
2
y
2
y
2<
/p>
z
y
3
y
2
z
z
z
点拨：
2
f
,
f
f
，
2
x
y
yf
．
x
x
x
y
x
x
x
x
y<
/p>
x
12
、曲线
y
ln
cos
x
(0
x
)
的弧长为
．
6
选：
ln
3
点拨：
ds
1<
/p>
y
2
dx
1
tan
2
xdx
sec
xdx
1
6
s
sec
xdx
ln(sec
x
tan
x
)
0
ln3.
2
6
< br>0
1
2
13
、已知函数
f
(
x
)
x
1
选：
(cos1
1)
．
点拨：设
F
(
x
)
< br>1
x
x
1
sin
t
2
dt
，则
f
(
x
)
dx
．
0
t
1
4
sin
t
2
dt
,
则
t
1
0
1
1
1
1
2
1
1
2
2
f
(
x
)
dx
xF
(
x
)<
/p>
dx
F
(
x
)
dx
[
x
F
(
x
)]
x
dF
(
x
)
0
< br>0
2
0
2
2
0
1
1
1
2
1
1
2
sin
x
2
1
1
1
1
2
2
1
x
F
< br>(
x
)
dx
x
dx
x
sin
x
dx
cos
x
(cos1
1)
0
< br>2
0
2
0
x
2
0
4
4
.
1
<
/p>
1
0
0
2
1
1
1
，
A
表示元素
a
的代数余子式，则
14
、
已知矩阵
A
ij
ij
3
2
2
1
0
0
3
4
A
11
A
12
．
选：
4
.
点拨：由行列式展开定理得