2000-2017考研数学二历年真题word版
-
2017
年全国硕士研究生入学统一考试数学
二试题
一、选择题：
1~8
小题，每小题
4
分，
共
32
分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的
.
1
cos
x
,
x
0
（
1
）若函数
f
(
x
)
在
x=0
连续，则
ax
b
,
x
0
(A)
ab
1
1
(B)
a
b
(C)
a
b
0
(D)
ab
2
2
2<
/p>
（
2
）设二阶可到函数
< br>f
(
x
)
满足
f
(1)
f
(
1)
1,
f
(0)
1
且
f
(
x
)
0
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
< br>
1
1
1
f
(
x
)
dx
0
f
(
x
)
dx
0
f
(
x
)
dx
f
(
x
< br>)
dx
0
1
2
0
1<
/p>
1
1
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
0
1
（
3
）设数列
x
n
< br>
收敛，则
(A)
当
lim
sin
x
n
0
时，
lim
x
n
0
n
n
(B)
当
lim
x
n
(
x
n
n
x
n
)
0
时，则
lim
x
n
0
n
(C)
当
lim(
x
n
x
n
)
0
,
n
n
2
lim
< br>0
n
n
(D)
< br>当
lim(
x
n
sin
x
n
)
0
时，
< br>lim
x
n
< br>0
（
4
）微分方程
y
< br>
4
y
8
y
e
(1
cos2
x
)
的特解可设为
y
(A)
Ae
2
x
< br>2
x
k
e
2
x
(
B
cos2
x
C
sin
2
x
)
e<
/p>
2
x
(
B
cos2
x
C
sin
2
x
)
(B)
Axe
(
C)
Ae
2
x
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
si
n
2
x
)
<
/p>
xe
2
x
(
B
cos2
x<
/p>
C
sin
2<
/p>
x
)
f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
0,
则
x
y
(D)
Axe
2
x
（
5
）设
f
(
x
)
具有
一阶偏导数，且在任意的
(
x
,
y
)
，都有
(A)<
/p>
f
(0,0)
f
(1,1)
(B)
f
(0,0)
f
(1,1)
- 1 -
(C)
f
(0,1)
f
(1,0)
(D)
f<
/p>
(0,1)
f
(1,0)
（
6
）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方
10
（单位
:m
）处
,
图中，
实线表示甲的速度曲线
v
v
1
t
（单位
:m/s
）
虚线表示乙的速度曲线
v
< br>v
2
t
，
三块阴影部分面积的数值依次为
10,20,3
，
计时开始后乙追上甲的时刻记为
t
0
（单位
:s
）
,
则
(A)
t
0
10
< br>(B)
15
t
0
20
(C)
t
0
25
(D)
t
0
25<
/p>
v
(
m
/
s
)
10
20
0
5
10
15
20
25
30
t
(
s
)
0
0
0
< br>
1
（
7
）设
A
为三阶矩阵，
P
(
1
< br>,
2
,
3
)
为可逆矩阵，使得
P
AP
0
1
0
，则
A
(
1
,
2
,
3
)
<
/p>
0
0
2
(A)
1
2
(B)
2
2
3
(C)
2
3
(D)
1
2
2
2
0
0
< br>
2
1
0
1
0
0
（
8
）已知矩阵
A
0
2
1
，
B
0
2
0
，
C
< br>
0
2
0
，则
<
/p>
0
0
1
0
0
1
0
0
0
(A) A
与
C
相似，
B
与
C
相似
< br>
(B) A
与
C
相似，
B
与
C
不相似
(C) A
与
C
不相似，
B
与
C
相似
(D) A
与
C
不相似，
B
与
C
不相似
二、填空题：
9~14
题，每小题
4
分，共
24<
/p>
分
.
（
9
）曲线
y
x
1
arcsin
x
的斜渐近线方程为
2
x
t
e
t
d
2
y
< br>（
10
）设函数
y
y
(
x
< br>)
由参数方程
确定，则
dx
2
y
sin
t
- 2 -
t
0
（
11<
/p>
）
ln(
1
x
)
0<
/p>
1
x
2
dx
=
（
12
）<
/p>
设函数
f
x
,<
/p>
y
具有一阶连续偏导数，
且
df
x
,
y
1
1
ye
y
dx
x
1
y
e<
/p>
y
dy
,
f
0,0
0
，
x
y
,
则
f
=
（
13<
/p>
）
0
dy
tan
x
y
x
dx
4
1
2
1
（
< br>14
）设矩阵
A
1
2
a
< br>
的一个特征向量为
1
，则
a
3
1
1
2
< br>三、解答题：
15~23
小题，共
94
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
（
15
）
（本题满
分
10
分）
求
lim
x
0
x
te
t
dt
x
3
x<
/p>
0
（
16
）
（本题满分
10
分）
d
y
设函数
f
u
,
v
具有
2
阶连续性偏导数，
y
f
e
,
cosx
,
求
d
< br>x
x
d
2
y
,
2
d
x
x
0
x
0
（
17
）
（本题满分
10
分）
<
/p>
求
lim
k<
/p>
k
ln
1
n
n
2
n
k
1
n
（
18
）
（本题满分
10
分）
已知函数
由方程
确定，求
的极值
（
19
）
（本题满分
10
分）
f
(
x
)
在
0,1
上具有
2
阶导数，
f
(1)
0,
lim
x
0
f
(
x
)
0
，证明
x
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(0,1)
至少存在一个根
（
2<
/p>
）方程
f
(
x<
/p>
)
f
(
x
)
f
(
x
)
0
在区间
(0,1)
内至少存在两个不同的实根
< br>（
20
）
（本题满分
11
分）
已知平面区域
D
2
x
,
y
x
2
y
2
2
< br>y
，计算二重积分
x
1
dxdy
2
D
（
21
）
（本题满分
11
分）
<
/p>
设
y
(
x
)
是区间
(0,
)<
/p>
内的可导函数，
且
y
(1)
0
，
点
P
是曲线
L
:
y
y
(
x
)
上的任意一点，
L
在点
P
处的切线与
y
轴相交于点
(0,
Y
P
)
，法线与
x
轴相交于点
(
X
P
,0)
，若
X
< br>p
Y
P
，求
L
上点的坐标
(
x
,
y
)
满足的方程。
- 3 -
3
2
（
22
）
（本题满分
11
分）
三阶行列式
A
(
1
,
2
,
3
)
有<
/p>
3
个不同的特征值，且
3
1
2
2
（
1
）证明
r
(
A
)
2
（
2
）如果
1
2
3
< br>求方程组
Ax
b
的通解
（
23
）
（本题满分
11
分）
2
2
设
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
2
x
1
x
2<
/p>
ax
3
2
x
1
x
2
8
x
1
x
3
< br>2
x
2
x
3
在正交变换
x
< br>Qy
下的标准型为
1
y
1
求
a
的值及
2
y
2
2
< br>2
2
一个正交矩阵
Q
.
2016
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、
选择：
1~8
小题，每小题
4
分，共
32
分
.
下列每题给出
的四个选项中，只有一个选项是符合要求的
.
（
1
）
设
a
1
x
(cos
x
1)
，
a
2
到高阶拓排序是
x
ln(1
3
x
)
，
a
3<
/p>
3
x
1
1
.
当
x
0
时，以上
3
个无穷小量按照
从低阶
（
A
）
a
1
,
a
2<
/p>
,
a
3
.
（
B
）
a
2
,
a
3
,
a
1
.
（
C
）
a
2
,
a
1
,
a
3
.
（
D
）
a
3
,
a
2
,
a
1
.
（
2
）已知函数
f
(
x
)
2(
x
1),
x
1,
则
f
(
x
)
的一个原函数是
ln
x
,
x
1,
(
x
1)
2
,
x
< br>
1.
(
x
1)
2
,
x
1.
（
A
）
F
(<
/p>
x
)
（
B
）
F
(
x
)
x
(ln
x
1),
x
1.
x
(ln
x
1)
1,
x
1.
(
x
1)
2
,
(
x
1)
2
,
x<
/p>
1.
x
1.
（
C
）
F
(
x
)
（
D
）
F
(
x
)
x
(ln
x
1)
1,
x
1.
x
(ln
x
1
)
1,
x
1.
1
+
<
/p>
1
1
1
e
x
dx
，
②
e
x
dx
的敛散性为
（
3
）反常积分
①
2<
/p>
2
x
0
x
0
（
A
）
①
收敛，
②
收敛
.
（
B
）
①
收敛，
②
发散
.
（
C
）
①
收敛，
②
收敛
.
（
D
）
①
收敛，
②
发散
.
（
4
）设函数
f
(
x
)
在
(
,
)
内连续，求导函数
的图形如图所示，则
- 4 -
（
A
）函数
f
(
x
)
有
2
个极值点，曲线
y
f
(
x
)
有
2
个拐点
.
（
B
）函
数
f
(
x
)<
/p>
有
2
个极值点，曲线
y
f
(
x
)
有
3
个拐
点
.
（
C
）
函数
f
(
x
)
有
3
个极值点，曲线
< br>y
f
(
x
)
有
1
个
拐点
.
（
D
）函数
f
(
x
)
有
3
个极值点，曲线
y
f
(
x
)
有
2
个拐点
.
（
5
）设函数
f
i
(
x
)(
i
1
,2)
具有二阶连续导数，且
f<
/p>
i
(
x
0
)
0(
i
1
,2)
，若两条曲
线
且在该点处曲线
y
f
1
(
x
)
的曲率大于曲线
y
f
2
(
x
)
的曲率，
y
f
i
(
< br>x
)(
i
1
,2)
在点
(
< br>x
0
,
y
0
)
处具有公切线
y
g
(
x
)
，
则在
x
0
的某个领域内，有
（
A
）
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
g
(
x<
/p>
)
（
B
）
f
2
(
x
)
f
1
(
x
)
g
(
x
)
（
C
）<
/p>
f
1
(
x
)
g
(
x
)
f
2
(
x
)
（
D
）
f
2
(
x
)<
/p>
g
(
x
)
f
1
(
x
)
e
x
（
6
）已知函数
f
(
x
,
y
)
，则
x
y
（
A
）
f
x
f
y
0
（
B
）
f
x
f
y
< br>0
（
C
）
f
x
f
y
f
（
D
）
f
x
f
y
f
（
< br>7
）设
A
，
B
是可逆矩阵，且
A
与
B
相似，则下列结论错误的是
< br>（
A
）
A
与
B
相似
（
B
）
A
与<
/p>
B
相似
（
C
）
A
A
与
B
B
相似
（
D
）
A
A
与
B
B
相似
2
2
2
（
8
）设二
次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
a
(
x
1
x
2
< br>x
3
)
2
x
1
x
2
2
x
2
x
3
2
x
1
x
3
的正、负惯性指数分别为
1,2
，则
1
1
T
T
1
1
T
T<
/p>
'
'
'
'
'
'
'
'
（
A
）
a
1
（
B
）
a
2
（
C<
/p>
）
2
a
1
- 5 -
（
D
）
a
1
与
a
<
/p>
2
二、填空
题：
9~14
小题，每小题
4
分，共
24
分。
x
3
arcta
n(1
x
2
)
的斜渐近线方程为
____________.
（
9
）曲线
y
2
1
x
（
10
< br>）极限
lim
（
11
）以
y
x
2
e
< br>x
和
y
x
2
为特解的一阶非齐次线性微分方程为
____________.
（
12
）已知函数
f
(
x
)
在
(
,
)
上连续，且
f
(
x
)
(
x
1)
2
2
1
1
2
(
sin
2sin
< br>n
n
2
n
n
n
n
sin
)
____________.
n
x
0
f
(
t
)d
t
，则当
n<
/p>
2
时，
f
(
n
)
(0)
____________.
（
13
）已知动点
P
在
曲线
y
x
3
上运动，记坐标原点与点
P
间的距离为
l
.
若点
P<
/p>
的横坐标时间的变化率为常数
v
0
，则
当点
P
运动到点
(1,1)
时，
l
对时间的变化率是
_______.
a
1
1
1<
/p>
1
0
（
14
）设矩阵
1
a
1
与
0
1
1
等价，则
a
_______
__.
<
/p>
1
1
a
1
0
1
解答题：
15~23
小题，
共
94
分
.
解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
（
15
）
（本题满分
10
分）
（
16
）
（本题满分
10
分
）
设函数
f
(
x
)
<
/p>
1
0
t
2
x
2
dt
(
x
0)
，求
f
'
(
x
)
并求
f
(
x
)
的最小值
.
（
17
）
（本题满分
10
分）
已知函数
z
z<
/p>
(
x
,
y
)
由方程
(
x
y
)
z
ln
z
2(
x
y
1)
0
< br>确定，求
z
z
(
x
,
y
)
的极值
.
< br>（
18
）
（本题满分
10
分）
2
2
x
2
xy
y
2
< br>设
D
是由直线
y
1
，
y
x
，
y
x
围成的有界区域，计算二重积分
dxdy
.
2
2
x
y
D
（
19
）
（本题满分
10
分）
已知
y
1
(
x
)
e
x
，
y
2
(
x
)
u
(
x
)
e
x
< br>是二阶微分方程
(2
x
1)
y
(2
x
1)
y
'
2
y
0
的解，若
u
(
1)
e
，
u
(0)
1
，求
n
u
(
x
)
，并写出该微分方程的通解。
（
20
）
（本
题满分
11
分）
3
x
cos
t
0
t<
/p>
设
D
是由曲线
y
1
x
(0
x
1)
与
求
D
绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体
围成的平面区域，
3
2
y
sin
t
2
积和表面积。
- 6
-
（
2
1
）
（本题满分
11
< br>分）
3
3
cos
x
]
上连续，在
(0,
)
内是函数
的一个原函数
f
(0)
0
。
2
2
2
x
3
3
]
上的平均值；
<
/p>
（Ⅰ）求
f
(
x
)
在区间
[0,
2
3
)
内
存在唯一零点。
（Ⅱ）证明
f
(
x
)
在区间
(0,
2
已知
f
(
x
)
在
[0,
（
22
）
（本题满分
11
分
）
1
1
<
/p>
a
1
0
0
a
，
1
设矩阵
A
1
，且方程组
Ax
< br>
无解。
< br>a
1
1
a
1
2
a
2
（Ⅰ）求
a
的值；<
/p>
（Ⅱ）求方程组
A
Ax
A
（
23
）
（本题满分
11
分）
T
T
的通解。
0
1
< br>1
已知矩阵
A
2
3
0
0
0<
/p>
0
（Ⅰ）求
A
99<
/p>
（Ⅱ）设
3
阶矩阵
B
(
1
,
2
,
3
)
满足
B
BA
。记
B
100
(
1
,
2
,
3
)
，将
1
< br>,
2
,
3
分别表示为
< br>1
,
2
,
3
的线性组
合。
2
2015
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择
题
:1
～
8
小
题，每小题
4
分，共
32
分
.
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
指定位置上
.
．．．
(1)
下列反常积分中收敛的是（）
<
/p>
（
A
）
2
1
dx
（
B
）
x
2
2
ln
x
dx
(C)
x
2
1
dx
(D)
x
ln
x
2
x
dx
x
e
sin
t
x
t
)
在
(
,
)
内（）
(2)
函数
f
(
x
)
lim(1
t
0
x
（
A
）连续
（
B
）有可去间断点
<
/p>
（
C
）有跳跃间断点
(D)
有无穷间断点
1
x
cos
,
x
0
(
< br>
0,
0)
，若
f
(
x
)
在
x
0
处连续，则（）
(3)
设函数
f
(
x
)
x
0,
< br>x
0
- 7 -
（
A
）
1
(B)
0
1
<
/p>
(C)
<
/p>
2
(D)<
/p>
0
2
(4)
设函数
f
(
x
)
在
(
,
)
连续，其二阶导函数
f
(
x
)
的图形如右图所示，则曲线
y
f
(
x
)
的
拐点个数为（）
（
A
）
0
(B)1
(C)2
(D)3
2
2
(5).
设函数
f
(u
，
v)
满足
f
(
x
y
,
)
x
y
< br>，则
y
x
f
f
与
依次是（）
u
u
1
v
u
1
v<
/p>
1
v
1
（
A
）
1
1
1
1
,0
(B)0
，
（
C
）
-
,0
(D)0 ,-
2
< br>2
2
2
(6).
设
D
是第一象限中曲线
2<
/p>
xy
1,4
x
y
1
与直线
y
x
,
y<
/p>
3
x
围成的平
面区域，函数
f
(
x
< br>,
y
)
在
D
上连续，则
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
（）
D
2
d
（
A
）
4<
/p>
1
sin
2
<
/p>
1
2sin
2
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
<
/p>
（
B
）
d
2
4
1
sin
2
1
2sin
2
1
sin
2
1
2sin
2
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
（
C
）
< br>3
4
d
1
sin
2
1
2sin
2
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
（
D
）
3
d
4
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
1
1
1
1
(7)
．设矩阵
A=
1
2
a
，
b=
< br>
d
,
若集合
Ω=
1,2
，则线性方程组
Ax
b
有无穷多个解的充分必要条件为（）
<
/p>
1
4
a
2
d
2
（
A
）
a
,
d
(B)
a
,<
/p>
d
(C)
a
,
d<
/p>
(D)
a
,
d
2
2<
/p>
2
(8)
设二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
在正交变换
x
Py
下的标准形为
< br>2
y
1
y
2
y
3
,
其中
P=(e
1
,e
2
,e
3
)
，若
Q
(
e
1
,<
/p>
e
3
,
e
2
)
，则
f
(
x
1
,
x
2
,
< br>x
3
)
在正交变换
x
Py
下的标准形为（<
/p>
）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(A):
2
y
1
< br>
(B)
2
y
1
(C)
2
y
1
(D)
2
y
1
y
2
y
3
y
2
y
3
< br>
y
2
y
3
y
2
y
3
二、填空题：
9
～
14
小题
,
每小题
4
分
,
共
24
分
.
请将答案写在答题纸
指定位置上
.
．．．
x
arctan
< br>t
d
2
y
(9)
设
,
则
2
3
dx
t
1
y
3
t
t
（
10
）函数
f
(
x
)
x
2
在
x
0
处的
n
阶导数
f
（
11
）设函数
f
(
x
)
连续，
(
x
)
2
x
(
n
)
(0)
x
2
0
xf
(
t
)
dt
,
若
(1)
1
，
'
(1
)
5
，则
f
(1)
'
（
12
）设函数
y
y
(
x
)
是微分方程
y
y
2
y
0
的解，且在
x
0
处
y
(
x
)
取值<
/p>
3
，则
y
(
x
)
=
（
13
）若函数
z
<
/p>
z
(
x
,
y
)
由方程
e
x
2
y
3
z
''
xyz
1
确定，则
dz
(0,0)
=
- 8 -
（
14
）设
3
阶矩阵
A
的
特征值为
2
，
-2,1
，
B
A
A
E
，其中
E
为
3
阶单位矩阵，则行列式
B
=
三、解答
题：
15
～
23
小题
,
共
94
分
.
请将解答写在答题纸
指定位置上
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
< br>.
．．．
15
、
（本题满分
10
分）
设函数
f
(
x
)
x
ln(1
x
)
bx
sin
x
，
g
(
x
)
kx
2
，若
f
(
x
)
与
g
< br>(
x
)
在
x
0
是等价无穷小，求
a
,
b
,
k
的值。
16
、
（本题满分
10
分）
设
A
0
，
D
是由曲线段
y
A
sin
x
(0
x
2
2
)
及直线
y
o
,
x
所形成的平面区域，
<
/p>
V
1
，
V
2
分别表示
D
绕
X
轴
2
与绕
Y
轴旋转所成旋转体的体积，若
V
1
V
2
，求
A
的值。
17
、
（本
题满分
10
分）
(
x
,
y
)
2(
y
1)
e<
/p>
x
，
f
x
(
x
,0)
(
x
1
)
e
x
，
f
(0,
y
)
2
y
,
求
f
(
x
,
y
)<
/p>
的极值。
已知函数
f
(
x
,
y
)
满足
f
x
y
18
、
（
本题满分
10
分）
< br>计算二重积分
2
2
2
D
(
x
,
y
)
x
y
2,
y
x
，其中
。
x
(
x
y
)
dxd
y
D
19
、
（本
题满分
10
分）
已知函数
f
(
x
< br>)
1
x
1
t
d
t
2
x<
/p>
2
1
1
tdt
，求
f
(
x
)
零点的个数。
20
、
（本
题满分
11
分）
已知高温物体置于低温介质中，
任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体
和介质的温差成正比，
现将一初始
温度为
120
C
的物体在
20
C
恒温介质中冷却，
30min
后该物体温度降至
30
C
，若要使
物体的温度继续降至
21
C
，
还需冷却多长时间？
21
、
（本题满分
11
分）
已知函数
f
(
x
)
在区间
a
,
上具有
2
阶导数，
f
(
a
)
0,
f
(
x
)
0,
设
b
< br>a
,
曲线
y
f
(
x
)
在点
(
b
,
f
(
b
))<
/p>
处的切线与
X
轴的交点是
(
x
0
,0)
，证明：
a
x
0
b
。
< br>
22
、
（本题满分
11
分）
0
0
0
0
a
1
0
3
2
2
设矩阵
A
1
a
<
/p>
1
,
且
A
0
，
（
1
）求
a
的值；
（
2
）若矩阵
X
满足
X
XA
AX
AXA
Z
,
其中
Z
为
3
阶单
0
1
a
< br>位矩阵，求
X
。
- 9
-
23
、
（本题满分
11
分）
0
2
3
1
2
0
<
/p>
设矩阵<
/p>
A
1
3
3
，相似于矩阵
B
0
b
0
，
1
2
a
< br>
0
3
1
（
1
）求<
/p>
a,b
的值（
2
）求可逆矩阵
P
，使
P
AP
为对角矩阵。
1
-
10 -
- 11 -
- 12 -
- 13 -
2013
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题
1
—
8
小题．每小题
4
分，共
32
分．
１．设
c
os
x
1
x
sin
(
x
),
(<
/p>
x
)
，当
x
0
时，
x
（
）
2
（
A
）比
x
高阶的无穷小
（
B
）比
x
低阶的无穷小
（
C
）与
x
同阶但不等价无穷小
（
D
）与<
/p>
x
等价无穷小
2
．已知
y
f
x
是由
方程
cos
xy
ln
y
x
1
确
定，则
lim
n
f
1
<
/p>
（
）
n
2
n
（
< br>A
）
2
（
B
）
1
（
C
）
-1
（
D
）
-2
x
sin
x
,
x
[
0
,
)
３．设
f
(
x
)
，
F
(
x
)
< br>
f
(
t
)
dt
则（
）
0
2
,
x
[
,
2
]
（Ａ）
x
为
F
(
x
)
< br>的跳跃间断点．
（Ｂ）
x
为
F
(
x
)
的可去间断点．
（Ｃ）
F
(
x
)
在
x
连续但不可导．
（Ｄ）
F
(
x
)
在
x
可导．
1
,
1
x
e
1
(
x
< br>
1
)
４．设函数
f
(
x
)
< br>
，且反常积分
f
x
dx
收敛，则（
）
1
,
x
e
1
x
ln
x
（
A
）
2
（
B
）
a
2
（
C
）
2
a
0
（
D
）
0
2
- 14 -
< br>５．设函数
z
y
x
z
< br>z
f
xy
，其中
f
可微，则
（
）
x
y
x
y
2
2
f
(
xy
)
（
D
）
f
(
xy
)
x
x
6
．设
D
k
是圆域
D
(
x
,
y
)
< br>|
x
2
y
2
1
的
第
k
象限的部分，记
I
k
(
< br>y
x
)
dxdy
，则（
）
（
A
）
2
yf
'
(
xy
)
（
B
）
2
yf
'
(
xy
)
（
C
）
D
k
（
A
< br>）
I
1
0
（
B
）
I
2
0
（
C
）
I
< br>3
0
（
D
）
I
4
0
7
．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为
n
阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（
A
）矩阵
C
的行向量组与矩阵
A
的行向量组等价．
（
B
）矩阵
C
的列向量组与矩阵
A
的列向量组
等价．
（
C
）矩阵
C
的行向量组与矩阵
B
的行向量组等价．
（
D
）矩阵
C
的列向量组与矩阵
B
的列向量组等价．
1
a
1
2
0
0
8
．矩阵
a
b
a
< br>
与矩阵
0
< br>b
0
相似的充分必要条件是<
/p>
1
a
1
0
0
0
（
A
）
a
0
,
b
2<
/p>
（
B
）
a
0
，
b
为任意常数
（
C
）
a
2
,
b
0
（
D
）
a
2
，
b
为任意常数
二、填空题（本题共
< br>6
小题，每小题
4
分，满分
24
分
.
把答案填在题中横线上）
9
．
lim
2
x
0
ln(
1
x
)
．
x
1
x
10
．设函数
f
(
x
)
x
1
1
e
t
dt
，则
y
f
(
x
< br>)
的反函数
x
f
1
(
y
)
在
y
0
处的导数
dx
|
y
0
．
dy
11
．
设封闭
曲线
L
的极坐标方程为
r
cos
3
< br>
则
L
所围成的平面图形的面积为
．
t
为参数，
6
6
x
arctan
t
12
．曲线上
对
应于
t
1
处
的法线方程为
．
2
y
ln
1
t
13
．
已
知
y
1
e
3
< br>x
xe
2
x
,
y
2
e
x
xe
2
x
,
y
3
xe
2
x
是
某
个
二
阶
常
系
数
线
性
微
分
方
程
三
个
解
，
则<
/p>
满
足
y
(
0
)
0
,
y
'
(
0
)
1
方程的解为
．
14<
/p>
．设
A
a
ij
是三阶非零矩阵，
A
< br>为其行列式，
A
ij
为元素
a
ij
的代数余子式，且满足
A
ij
a
ij
0
(
< br>i
,
j
1
,
2
,
3
)
，则
<
/p>
A
=
．
三、解答题
15
．
（本题满分
10
分）
- 15 -
<
/p>
n
当
x
0
时，
1
cos
x
cos
2
x
cos
3
x
与
ax
是等价无穷小，求常数
a
,
n
．
< br>
16
．
（本题满分
10
分）
设
D
是由曲线
y
3
x
，直线
x
a
(
a
0
)
及
< br>x
轴所转成的平面图形，
V
x<
/p>
,
V
y
分别是<
/p>
D
绕
x
轴和
y
轴旋转一周所形成
的立体的体积，若
10
V
x
V
y
，求
a
的值．
17
．
（本题满分
10
分）
设平面区域
D
是由曲线
x
3
y
,
y
3
x
,
x
y<
/p>
8
所围成，求
18
．
（本题满分
10
分）
设奇函数
f
(
x
)
在
1
,
1
上具有二阶导数，且
f
(
1
)
1
，证明：
（
1
）存在
(
0
,
1
)
，使得
f
'
< br>1
；
（
2
）存在
(
1
,
1
)
，使得
f
(
)
f
(
)
1
．
19
．
（本题满分
10
分）
求曲线
x
xy
y
1
(
x
0
,
y
0
< br>)
上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．
20
．
（本题满分
11
）
设函数
f
(
x
)
ln
x
3
3
2
x
dxdy
．
D
1
x
⑴求
f
(
x
)
的最小值；
⑵设
数列
x
n
满足
ln
x
n
21
．
（本
题满分
11
）
设曲线
L
的方程为
（
1
）求
L
的弧长．
（
2
）设
D
是由曲线
L
，直线
x
1
,
x
e
及
x
轴所围成的平面图形，求
D
的形心的横坐标．
22
．本题满分<
/p>
11
分）
设<
/p>
A
1
x
n
1
1
，证明极限
lim
x
n
存在，并
求此极限．
n
y
1
2
1
x
ln
x
(
1
x
e
)
．
4
2
1
a
< br>
0
1
，问当
a
,
b
为何值时，存在矩阵
C
，使得
AC
CA
B
，并求出所
有矩阵
C
．
,
B
<
/p>
1
0
1
b
23
（本题满分
11<
/p>
分）
a
1
b
1
2
2
< br>
a
,
设二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3<
/p>
)
2
(
a
1
x
1
a
2
x
2
a
3
x
3
)
(
b
1
x
1<
/p>
b
2
x
2
b
3
x
3
)
．记
2
< br>b
2
．
a
b
3
3
T
T
（
1
）证明二次型
f
对应的矩阵为
2
；
2
2
（
2
）若
<
/p>
,
正交且为单位向量，证明
f
在正交变换下的标准形为
2
y
1
y
2
．
- 16 -
< br>2012
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
<
/p>
一、
选择题
:1-8
小题
,
每小题
4
< br>分
,
共
32
分
.
下列每题给出的四个选项中
,
只有一个选项符合题目要求的
,
请将所
选项前的字
母填在答题纸
指定位置上
.
．．．
x
2
x
(1)
曲线
y
2
的渐近线条数
< br>
(
)
x
1
(A)
0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(2)
设函数
f
(
x
)
(
e
< br>x
1)(
e
< br>2
x
2)
(
e
nx
n
)
，其中
n
为正整数
,
则
f
(0)
(
)
(A)
(
1)
n
1
(
n
1)
!
(B)
(
1)
n<
/p>
(
n
1)!<
/p>
(C)
(
1)
n<
/p>
1
n
!
(D)
(
1)
n
n
!
(3)
设
a
n
0
(
n<
/p>
1,2,3
),
S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
，则数列
S
n
有界是数列<
/p>
a
n
收敛的
(
)
(A)
充分必要条件
(B)
充分非必要条件
(C)
必要非充分条件
(D)
非充分也非必要
(4)
设
I
k
e
x
sin
x
d
x
,(
< br>k
1,2,3),
则有
0
k
2
(
)
(A)
I
1
I
2
I
3
(B)
I
3
I
2<
/p>
I
1
(C)
I
2
I
3
I
1
(D)
I
2
I
1<
/p>
I
3
(5)
设函数
f
(
x
,
y
）
为可微函数，且对任意的
x
,
y
都有
(
x
,
y
)
(
x
,
< br>y
)
0,
0,
则使不等式
f
(
x
1
,
< br>y
1
)
f
(
x
2
,
y
2
)
成立的
一个
x
y
充分条件是
(
)
(A)
x
1
x
2
,
y
1
y
2
(B) <
/p>
x
1
x
2
,
y
1
y
2
(C)
x
1
x
2<
/p>
,
y
1
y
2
(D)
x
1
x
2
,<
/p>
y
1
y
2
(6)
设区域
D
由曲线
y
sin
x
,
x
2
,
y
1
围成，则
(
x
5
y
1)d
x
d
y
D
(
)
(A)
(B)
2
(C)
-2
(D) -
1
1
0
0
< br>
(7)
设
α
1
0
,
α
2
1
<
/p>
,
α
3
1
,
α
4
1
,
其
中
c
1
,
c
2<
/p>
,
c
3
,
c
4
为
任
意
常
数
，
则
下
列
向
量
组线
性
相
关
的为
c
c
c
c
3
< br>
4
1
2
(
)
(A)
α
1
,
α
2
,<
/p>
α
3
(B)
α
1
,
α
2
,<
/p>
α
4
(C)
α
1
,
α
3
,
α
4
(D)
α
2
,
α
3
,
α
4
- 17 -
1
0
0
(8)
设
A
为
3
阶矩阵，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P
1
AP
0
1
0
<
/p>
.
若
P
α
1
,
α
2
,
α
3
，
Q
α
1
α
2
,
α<
/p>
2
,
α
3
则
Q
1
AQ
0
0
2
(
)
<
/p>
1
0
0
(A)
0
2
0
(B)
0
0
1
1
0
0
0
1
< br>0
(C)
0
0
2
<
/p>
2
0
0
2
0
0
(D)
0
1
0
0
2
0
0
0
2
< br>0
0
1
二、填空题：
9-14
小题
,
每小题
4
分
,
共
24
分
.
请将答案写在答题纸
指
定位置上
.
．．．
d
2
y
(9)
设
y
y
(
< br>x
)
是由方程
x
y
1
e
所确定的隐函数，则
2
dx
2
y
x
0
.
(10)
lim
n
2
2
2
n
1
<
/p>
n
2
n
(11)
设
z<
/p>
f
ln
x
1
1
1
2
2
< br>
n
n
.
z
1
2
z
x
< br>y
.
,
其中函数
f<
/p>
u
可微，则
x
y
y
2
(12)
微分方程
y
d
x
x
3<
/p>
y
d
y
0
满足条件
y
x
1
1
的解为
y
.
(13)
曲线
y
x
x
x
0
<
/p>
上曲率为
2
2
的
点的坐标是
.
2
*
(14)
设
A
为
3
阶
矩阵，
A
=3
，
A
为
A
伴随矩阵，若交换
A
的第
1
行与第
2
行得矩阵
B
，
则
BA
*
.
三、
解答题：
15-23
小题
,
共
94
分
.
请将解答写在答题纸
指定位置上
.
< br>解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
．．．<
/p>
(15)(
本题满分
10
分
)
已知函数
f
x
(I)
求
a
的值
;
(II)
若
x
0
时，
f
x
a
与
x
是同阶无穷小，求常数
k
的值
.
k
1
x
1
，记
a
lim
f
x
，
< br>
x
0
sin
x
x
(16)(
本题满分
10
分
)
求函数
f
x
,
y<
/p>
xe
x
2
y
2
2
的极值
.
(17)(
本题满分
12
分
)
过
(0,1)
点作曲线
L
:
y
ln
x
的切线
,
切点为
A
,
又
L
与
x
轴交于
B
点
,
区域
D
由
L
与直线
AB
围成
,
求区域
D
的面积及
D
绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积
.
(18)(
本题满分
10
分
)
计算二重积分
xy
d
，其中区域
D
为曲线
r
1
cos
0
与极轴围成
.
D
(19)(
本题满分
10
分
)
已知函数
f
(
x
)
满足方程
f
(
< br>x
)
f
(
x
)
2
f
(
x
)
0
及
f
(
x
)
f
< br>(
x
)
2
e
x
,
- 18 -
(I)
求
f
(
x
)
的表达式
;
(II) <
/p>
求曲线
y
f<
/p>
(
x
2
)
f
(
t
2
)d
t
的拐点
.
0
x
(20)(
本题满分
10
分
)
1
x
x
2
cos
x
1
证明
x
ln
,
(
1
x
1)
.
1
x
2
< br>(21)(
本题满分
10
分
)
(I)
证明方程
x
n
+
x
n-1
1
x
1
n
1
的整数
，在区
间
,1
内
有且仅有一个实根；
2
n
(II)
记
(I)
中的实根为
x
n
，证明
lim
x
n
存在，并求此极限
.
(22)(
本题满分
11
分
)
1<
/p>
0
设
A
0
a
a
1
0
0
0
a
1
0
0
1
<
/p>
0
1
，
0
a
1
0
<
/p>
(I)
计算行列式
A
< br>；
(II)
当实数
a
为何值时，方程组
Ax
有无穷多解，并求其通解
.
(23)(
本题满分
11
分
)
1<
/p>
0
1
0
1
1
，二次型
f
x
1
,
x
2
,
x
3
< br>
x
T
A
T
A
x
的秩为
2
，
已知
A
<
/p>
1
0
a
0
a
1
(I)
求实数
a
的值；
(II)
求正交变换
x
Qy
将
f
化为标准形
.
2011
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
(A)
选择题：
1
～
8
小题，每小题
4
分，共
32
分。下列每题
给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将
所选项前的字母填在答题纸<
/p>
指定位置上。
．．．
< br>（
1
）已知当
x
0
时，函数
f
(
x
)
< br>3
sin
x
< br>sin
3
x
与
< br>cx
是等价无穷小，则（
）
（
A
）
k
1
,
c
4
（
B
）
k
1
,
c
4
（
C
）
< br>k
3
,
c
4
（
D
）
k
3
,
c
4
k
x
< br>2
f
(
x
)
2
f
(
x
3
)
（
）
（
2
）设函数
f
(
x<
/p>
)
在
x
0
处可导，且
f
(<
/p>
0
)
0
，则
lim
3
x
0
x
（
A
）
2
f
(
0
< br>)
（
B
）
f
(
0
)
（
C
）
f
(
0
)
（
D
）
0
- 19 -
（
< br>3
）函数
f
(
< br>x
)
ln
(
x
1
)(
x
2
)
(
x
3
)<
/p>
的驻点个数为（
）
（
A
）
0
（
B
）
1
（
C
）
2
（
D
）
3 <
/p>
（
4
）微分方程
y
<
/p>
2
y
e
x
e
x
(
0
)
的特解形式为（
）
（
A
）
a
(
e
x
e
x
)
< br>
（
B
）
ax
(
e
x
e
x
)
（
C
）
x
(
ae
x
be
x
)
（
D
）
x
2
(
ae
x
be
x
)
（
5
< br>）设函数
f
(
x
)
，
g
(
x
)
均有二阶连续导数，满足
f<
/p>
(
0
)
0
，
g
(
0
)
0
，
f
(
0
)
g
(
0
)
<
/p>
0
则函数
z
<
/p>
f
(
x
)
g
(
y
)
在
点
(
0
,
0
)
处取得极小值的一个充
分条件是（
）
（
A
）
f
(
0
)
0
，
g
< br>
(
0
)
0
（
B
）
f
(
0
)
0
，
g
< br>
(
0
)
0
（
C
）
f
(
0
)
0
，
g
(
0
< br>)
0
（
D
）
f
(
0
)
0
，
g
< br>(
0
)
0
0
0
（
6
）设
I
4
0
ln
sin
xdx
，
J
4
ln
cot
xdx
，
K<
/p>
4
ln
cos
xdx
，则
I
，
J
，
K<
/p>
的大小关系为（
）
（
A
）
I
J
K
（
B
）
I
K
J
（
C
）
J
I
K
（
D
）
K
J
I
1
0
0
< br>
（
7
）
设
A
为
3
阶矩阵，
将
A
的第
2
列加到第
1
列得矩阵
B
，
再交换
B
的第
2
行与第
3
行得单位矩阵。
记
P<
/p>
1
1
1
0
，
0
0
1
1
0
0
P
2
<
/p>
0
0
1
，则
A
=
（
）
0
1
0
（
A
）
P
1
P
2
（
B
）
P
2
P
1
（
D
）
P
1
P
2
（
C
）
P
2
P
1
*
A
*
为
A
的伴随矩阵。
（
8
）
设
A
(
1
,
2
,
3
,
4
)
是
4<
/p>
阶矩阵，
若
(
1
则
A
x
0
,
0
,
1
,
0
)
T
是方程组
Ax
0
的一个基础解系，
1
1
的基
础解系可为（
）
（
A
）
1
,
3
（
B
）
1
,
2
（
C
）
1
,
2
,
3
（
D
）
2
,
3
,
4
< br>二、填空题：
9
～
14
小题，每小题
4
分，共
24
分。请将答案写在答题纸
指定位置上。
．．．
（
9
）
lim
1
2
x
0
2<
/p>
x
。
'
x
1
x
（
10
）微分方程
y
y
e
（
11
）曲线
y
cos
x
满足条件
y
(<
/p>
0
)
0
的解为
y
。
x
0
tan
tdt
(
0
x
4
)
的弧长
s
。
-
20 -
< br>
e
kx
,
x
0
,
（
12
）设函数
f
(
x
)
<
/p>
0
，则
xf
(
x
)
dx
。
x
0
,
0
,
（
13
）设平面区域
D
由直线
y
x
，圆<
/p>
x
2
y
2
2
y
及
y
轴所围成，则二重积分
xyd
。
D
2
2
2
（
14
）二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
1
< br>3
x
2
x
3
2
x
1
x
2
2
x
1
x
3
2
x
2
x
3
，则
f
的正惯性指数为
。
三、解
答题：
15
～
23
小题，共
94
分。请将解答写在答题纸
指定位置上，解答应字说明、
．．．
证明过程或演算步骤。
（
15
）
（本题满分
10
分）
已知函数
F
(
x
)
<
/p>
（
16
）
（本题
满分
11
分）
x
0
ln(
1
t
2
)
dt
x
F<
/p>
(
x
)
0
，试求
的取值范
围。
，设
lim
F
(
x
)
lim
x
x
0
1
3
1
x
t
t
,
3
3
设函数
y
y
(
x
)
由参数方程
确
定，求
y
y
(
x
)
的极值和曲线
< br>y
y
(
x
)
的凹凸区间及拐点。
y
1
t
3
t
< br>
1
3
3
（
1
7
）
（本题满分
9
分）
设函数
z
f
(
xy
,
yg
(
x
))
，其中函
数
f
具有二阶连续偏导数，函数
g
(
x
)
可导且在<
/p>
x
1
处取得极
值
g
(
1
)<
/p>
1
，求
2
z
x
y
。
x
1
,
y
1
（
18
）
（本题满分
10
分）
设函数
y
(
x
)
具有二
阶导数，
且曲线
l
:
< br>y
y
(
x
)
与直线
y
x
相切于原点，
记
为曲线
l
在点
(
x
,
y
< br>)
处切线的倾角，
若
（
19
）
（本题满分<
/p>
10
分）
（
I
）证明：对任意的正整数
n
，都有
（
II
）设
a
n
1
（
20
）
（本题满分<
/p>
11
分）
- 21 -
d
< br>dy
，求
y
< br>(
x
)
的表达式。
dx
dx
1
1
1
< br>
ln
1
成立。
n
1
n
n
1<
/p>
1
ln
n
(
n
1
,
2
,
)
< br>，证明数列
a
n
收敛。
2
n
一容器的内侧是由图中曲线绕
y
轴旋转一周而成的曲面，
该曲线由
x
y
2
y
(
y
连接而成。
（
I
）求容器的容积；
（
II
）若
将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：
m
，重力加速度为
g
m
s
2
，水的密度
为
10
3
kg
m
3
）
<
/p>
（
21
）
（本题
满分
11
分）
已
知
函
数
f
(
x
,
y
)
具
有
二
阶
< br>连
续
偏
导
数
，
且
f
(
1
,
y
)
0
，
f
(
x
,
1
)
0
，
< br>2
2
1
1
)
与
x
2
y
2
1
(
y
)
2
2
f
(
x
,
y
)
dxdy
a
，
其
中
D
< br>
(
x
,
y
)
dxdy
。
D
(
x
,
y<
/p>
)
0
x
1
,
0
y
1
，计算二重积分
I
xy
f
xy
D
（
22
）
（本题满分
11
分
）
设向量
组
1
(<
/p>
1
,
0
,
1
)
T
，
2
(
0
,
1
,
1
)
T
，
3
(
1<
/p>
,
3
,
5
)
T
不能由向量组
1
(
1
,
1
,
1
)
T
，
2
(
1
< br>,
2
,
3
)
T
，
3
(
3
,
4
,
a
)
T
线性表示。
（
I
）求
a
的值；
（
II
）将
1
,
2
,
3
用
1
,
2
< br>,
3
线性表示。
（
23
）
（本题满分
11
分）
1
1
1
1
0
0
0
<
/p>
。
设
A
为
3
阶实对称矩阵，
A
的秩为
2
，且
A
0
1
1<
/p>
1
1
（
I
）求
A
的所有的特征值与特征向量；
（
II<
/p>
）求矩阵
A
。
2010
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
x
2
x
1
(A)
函数
f
(
x
)
2
1
2
的无穷间断点的个数为
x
1
x
A0
B1
C2
D3
2.
设
y
1
,
y
2<
/p>
是一阶线性非齐次微分方程
y
p
(
x
)
y
q
< br>(
x
)
的两个特解，若常数
,
使
y
1
y
2
是该方程的解，
y
1
y
2
是该方程对应的
齐次方程的解，则
- 22 -
A
1
2
,
1
2
B
1
2
,
1
2
C
2
1
2
2
3
,
3
D
3
,
3
(1)
曲线
y
x
2
与曲
线
y
a
ln
x
(
a
0
)
相切，则
a<
/p>
A4e
B3e
C2e
De
4.
设
m
,
n
为正整数
,
则反常积分
1
< br>m
ln
2
(1
< br>
x
)
0
n
x
dx
的收敛性
< br>
A
仅与
m
取值有关
B
< br>仅与
n
取值有关
C
与
m
,
n
取值都有关
D
与
m
,
n
取值都无关
5.
设函
数
z
z
(<
/p>
x
,
y
)
由方程
F
(
y
,
z
)
0
确定
,
其中
F
为可微函数
,
且
F
2
0,
则
x
z
x
x
< br>x
y
z
y
=
A
x
B
z
C
x
D
z
n
n
6.(
4)
lim
n
x
i
1
j
1
(
n
i
)(<
/p>
n
2
j
2
)
=
A
1
x
1
(1
x
)(1
y
2
)
dy
B
1
0
dx
x
1
0
dx
0
0
(1
x
)(1
y
)
dy
C
< br>1
1
1
0
dx
1
0
(1
x
)(1
y
)
dy
D
1
0
dx
1
0
(1
x
)(1
y
2
)
dy
7.
设向量组
I
:
1
,
2
,
，
r
可由向量组
II
：
1
，
2
，
，
< br>
s
线性表示
，下列命题正确的
是：
A
若向量组
I
线性无关，则
r
s
< br>B
若向量组
I
线性相关，则
r>s
C
若向量组
II
线性无关，则
r
s
< br>D
若向量组
II
线性相关，则<
/p>
r>s
1
15.
设
A
为
4
阶
对
称
矩
阵
,
且
A
2
A
0,
若
A
的
秩
为
3,
< br>则
A
相
似
于
A
1
1
1
1
C
1
< br>
D
1
1
0
1
< br>
0
二填空题
9.3
阶常系数线性齐次
微分方程
y
2
y
y
2
y
0
的通解
y=__________
(1)
曲线
y
2
x
3<
/p>
x
2
1
的渐近线方程为
_______________
(2)
函数
y
ln(
1
2
x
)
在<
/p>
x
0
处的
n
阶导数
y
(
n
)
(
0
)
__________
- 23 -
1
B
0
1<
/p>
1
0
(3)
当
0
时，对数螺线
r
e
的弧长为
__________<
/p>
_
(4)
<
/p>
已知一个长方形的长
l
以
2cm/s
的速率增加，宽
w
以
3cm/s
的速率增加，则当
l=1
2cm,w=5cm
时，它的对角线增加
的速率为
___________
1
1
(5)
设
A
，
B
为
3
阶矩阵，且
A
3
,
B
2
,
A
<
/p>
B
2
,
则
A
B
__________
三解答题
(6)
求函数
f
(
x
)
16.(1)
比较
< br>x
2
1
(
x
2
t
)
e
t
dt
的单调区间与极值。
n
1
2
1
0
ln
t
[ln(1
t
)]
dt
与
t
n
< br>ln
t
dt
(
< br>n
1,
2,
< br>)
的大小
,
说明理由
.
0
(2)
记
u
n
1
0
< br>ln
t
[ln(1
t
)]
n
dt
(
n
1,2,
),
求极限
lim
u<
/p>
n
.
x
x
2
t
t
2
,
5
(
< br>t
1
)
所确定，其中
(
t
)
具有
2
< br>阶导数，且
(
1
)
，
< br>2
y
(
t
),
2
d
y
3
设函
数
y=f(x)
由参数方程
(
1
)
6
，已知
,
求函数
(
t
)
。
九、
dx
2
4
< br>(
1
t
)
3
b
2
十
、一个高为
l
的柱体形贮油罐，底面是长轴为
< br>2a,
短轴为
2b
的椭圆。现将
贮油罐平放，当油罐中油面高度为
时，
计算油的质量。
（长度单位为
m
，质
量单位为
kg
，油的密度为
十一、
kg
/
m
3
）
2
u
2
u
2
u
设函数
u
f
(
x
,
y
)
具有二阶连续偏导数，
且满足等式
4
2
12<
/p>
5
2
0
.
x
x
y
y
2
u
确定
a
,
b
的值，使等式在变换
x
ay
,
x
by
下简化
0
< br>
计算二重积分
I
r
2
sin
1
r
2
cos
2
drd
,
其中
D
｛
(
r
,
)
0
r
sec
,
0
}.
4
十二、
D
1
十三、设
函
数
f(x)
在
闭
区
间
[0,1]
上
连
< br>续
，
在
开
区
间
(0,1)
内
< br>可
导
，
且
f(0)=0,f(1)=
3
,
证<
/p>
明
：
存
在
(
0
,
),
(
,
1
< br>),
使得
f
< br>(
)
f
(
)
2
2
.
十四、
1
2
1
2
- 24 -
1
1
a
1
0
,
< br>b
1
.
已知线性方程组
Ax
b
存在
2
个不同的解。
1
1
0
1
4
23.
设
A
1
3
a
，<
/p>
（
1
）求
、
a
.
4
a
0
(
2
)
求方程组
Ax
b
的通解。
正交矩阵
Q
使得
Q
AQ
为对角
矩阵，若
Q
的第一列为
T
设
< br>A
0
1
1
(
1
,
2
,
1
)
T
，求
a
、
Q.
6
2009
年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：
1
～
8
小题，每小题
4
分，共
32
分，
下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前
的字母填在题后的括
号内
.
x
x
3
（
1
）函
数
f
x
<
/p>
的可去间断点的个数，则（
）
sin
nx
A<
/p>
1.
B
2.
C
3.
2
D
无穷多个
.
（
2
）当
x<
/p>
0
时，
f
x
x
sin
ax
与
g
x
x
ln
1
bx
是等价无穷小，则（
）
A
a
1,
b
6
.
B
a
1,
b
6
.
C
a
1,
b
6
.
D
a
1,
b
6
.
< br>（
3
）设函数
z
f
x
,
y
的全微分为
dz
xdx
ydy
，则点
0,0
（
）
1
1
1
1
A
不是
f
x
,
y
的连续点
.
B
不是
f
x
,
y
< br>
的极值点
.
C
是
f
x
,
y
的极大值点
.
D
是
f
x
,
y
的极小值点
.
（
4
）设函数
f
x
,
y
连续，则
dx
f
x
,
y
dy
1
x
2
< br>2
2
1
dy
4
y
y
f
x
,<
/p>
y
dx
（
）
A
1
dx
1
2
2
4
x
f
x
,
y
dy
.
f
x
,
y
dx
.
B
1
dx
x
2
2
4
x
f
< br>x
,
y
dy
.
<
/p>
C
1
dy
1
4
y
D
.
1
< br>dy
y
f
x
,
y
dx
2
2
2
（
5
）若<
/p>
f
x
不变号，且曲线
y
f
x<
/p>
在点
1
,1
上的曲率圆为
x
y
2
，则
f
x<
/p>
在区间
1,
2
内（
）
A
有极值点，无零点
.
B
无极值点，有零点
.
C
有极值点，有零点
.
D
无极值点，无零点
.
- 25
-
（
6
）设函数
y
f
x
在区
间
1
,3
上的图形为：
f
(
x
)
O
-2
0
-1
1
2
3
x
则函数
F
x
x
0
f
t
dt
的图形为（
）
f
(
x
)
f
(
x
)
1
1
-2
0
1
2
3
x
-2
0
1
2
3
x
A
.
-1
B
.
-1
f
(
x
)
f
(
x
)
1
1
-1
0
1
2
3
x
-2
0
1
2
3
x
C
.<
/p>
D
.
-1
（
7
）设
A
、
B
均为
2
阶矩阵，<
/p>
A
*
，
B
*
分别为
A
、
B
的伴随矩阵。若
A
=2
，
B
=3
，则分块矩阵
0
< br>
B
为（
）
A
.
0
3
B
*
< br>
2
A
*
0
B
.
0
2B
*
3A
*
0
C
.
0
3A
*
2B
*
0
D
.
0
2A
*
3B
*
0
- 26 -
A
< br>0
的伴随矩阵
1
0
< br>0
T
T
（
8
）
设
A
，
P
均为
3
阶矩阵，
P
为
P
的转置矩阵，且
P
AP=
0
1
0
，若
< br>
0
0
2
，则
Q
T
AQ
为（
）
P=
（
1
，
2
，
3
），
Q=
（
1
+
2
，
2
，
3
）
2
1
0<
/p>
1
1
0
A
.
0
0
2
2
0
0
<
/p>
0
1
0
C
.
0
0
2
1
1
0
<
/p>
1
2
0
B
.
0
0
2
1
0
0
0
2
< br>0
D
.
0
0
2
二、填空题：
9-14
小题，每小题
4
分，共
24
分，请将答案写在答题纸指定位置上
.
1-
t
u
2
x=
0
e
du
在<
/p>
（
0
，
0
）
（
9
）曲线
处的切线方程为
y
t
2
ln(2<
/p>
t
2
)
+
k
x
（
10
）已知
e
dx
1
,
则
k
（
11
）
lim
1
x
e
sin
n
xdx
n
<
/p>
0
y
d
2
y
（
12
）设
y
y
(
x
)
是由方程
xy
e
x
1
确定的隐函数，则
2
dx
（
13
）
函数
y
x
在
区间
01
，
上的最小值为
2
x
x=0
=
2
0
0
T
T
T
(14)
设
，
为
3
维列向量，
为
的转置，若矩
阵
相似于
0
0
0
，
则
=
0
0
0
三、解答题：
15
－
23<
/p>
小题，共
94
分
.
请将解答写在答题纸指定的位置上
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
（
15
）
（本题满分
9
分）求极限
（
16
）
（本题满分
10
< br>分）计算不定积分
ln(1
1
cos
x
x
ln(
1
tan
x
)
lim
x
0
sin
4
x
1<
/p>
x
)
dx
(
x
0)
x
2
z
（
17
）
（本题满分
10
分）设<
/p>
z
f
x
y
,
x
y
,
xy
，其中
f
具有
2
阶连续偏导数，求
d
z
与
x<
/p>
y
- 27 -
（
< br>18
）
（本题满分
10
分）
设非负函数
y<
/p>
y
x
x
0
满足微分方程
xy
y
2
0
，
当曲线
y
y
x
过原点时，
其与直线
x
1
及
y
0
围成
平面区域
D
的面积为<
/p>
2
，求
D
绕
y
轴旋转所得旋转体体积。
（
19
）<
/p>
（本题满分
10
分）求二重积分
其中
D
x
y
dxdy
，
D
x
,
y
x
1
y
1<
/p>
2
2
2,
y
x
（
20
）
（本题满分
12
分）
（
-
，
）
（
-
设
y
y
(
x
)
是区间
内过
< br>，
）
的光滑曲线，当
-
x
0
时，曲线上任一点处的法线都过原点，当
2
2
0
x
时，函数
y
(
x
)
满足
y
y
x
0
。求
y
(
x
)
的表达式
（
21
）
（本题满分
11
分）
（
Ⅰ
）
< br>证
明
拉
格
朗
日
中
值
定
理
：
若
函
数
f
x
在
a
,
b
上
< br>连
续
，
在
a
,
b
可
导
，
则
存
在
a
,
b
，
使
得
< br>f
b
f
a
f
b
a
（Ⅱ）
证明：<
/p>
若函数
f
x<
/p>
在
x
0
处连续，
在
0,
0
内可导，<
/p>
且
lim
f<
/p>
x
A
，
x
0
则
f
0
存在，且
f
< br>
0
A
。
1
1
1
1
1
< br>
，
1
1
（
22
）
（本
题满分
11
分）设
A
< br>
1
1
0
4
2
2
（Ⅰ）求满足<
/p>
A
2
1
,
A
2
3
1
的所有向量
2
,
3
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量
2
,
3
，证明：
1
,
2
,
3
线性无关。
（
23
）
（本题满分
11
分）设二次型
f
x
1
,
x
2
,
x
3
ax
1
< br>
ax
2
a
1
x
3
2<
/p>
x
1
x
3
2
x
2
x
3
2
2
2
（Ⅰ）求二次型
f
的矩阵的所有特征值；
2
< br>2
（Ⅱ）若二次型
f
的规范形为
y
1
，求
a<
/p>
的值。
y
2
2008
年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
- 28 -
一、选择题：
1
～
8
小题，每小题
4
分，共
32
分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前
的字母填在题后
的括号内
.
（
1
）设
f
(
x
)
x
2
(
x
1
)(<
/p>
x
2)
，则<
/p>
f
'
(
x
)
的零点个数为（
）
A
0
B
1.
C
2
D
3 <
/p>
（
2
）曲线方程为
y
f
(
x
)
函数在区间
[0,
< br>a
]
上有连续导数，则定积分
a
0
af
t<
/p>
(
x
)
dx
（
）
A
曲边梯形
ABOD
面积
.
B
梯形
ABOD
< br>面积
.
C
< br>
曲边三角形
ACD
面积
.
D
三角形
ACD
面积<
/p>
.
（
3
）在下
列微分方程中，以
y
C
1
e
x
< br>C
2
cos2
x
C
3
sin
2
x
（
C
1
,
C
2
,
C
3
为任意常数）为通解的是（
A
y
'''
y
''
4
y
'
4
y
0
B
y
'
'
'
y
'
'
4
< br>y
'
4
y
0
C
y
'''
y
''
<
/p>
4
y
'
4
y
0
D
y
'''
y
''
< br>4
y
'
4
y
0
（
5
）设函数
f
(
x
)
在<
/p>
(
,
<
/p>
)
内单调有界，
x
n
为数列，下列命题正确的是（
）
A
若
x
n
收敛，则
f
(
x
n
)
收敛
.
B
若
x
n
单调，则
f
(
x
n
)
收敛
.
C
若
f
(
x
n
)
收敛，则
x
n
收敛
.
D
若
f
(
x
n
)
单调，则
x
n
收敛
.
（
6
）设函数
f
连续，若
F
(
u
,
v
)
f
(
x
2
y
2
< br>)
x
2
y
2
dxdy
，其中区域
D
F
uv
为图中阴影部分，则
u
D
uv
<
/p>
A
vf
(
u
2
)
B
v
u
f
(
u
2
)
C
vf
(
u
)
D
v
u
f
(
u
)
（
< br>7
）设
A
为
n
阶非零矩阵，
E
为
n
阶单位矩阵
.
若
A
3
0
，则（
）
A
E
A
不可逆，
E
A
不可逆
.
B
E
A
不可逆，<
/p>
E
A
可逆
.
C
E
A
可逆，
E
A
可逆
.
D
E
A
可逆，
E
A
不可逆
.
（
8
）设
A
1
2
2
1
，则在实数域上与<
/p>
A
合同的矩阵为（
）
-
29 -
）
2
1
A
.
1
2
2
1
B
<
/p>
.
1
2
1
2
.
2
1
1
cos[
< br>xf
(
x
)]
< br>(
e
1)
f
(
x
)
x
2
C
<
/p>
2
1
.
1
2
D
< br>
二、填空题：
9-14
小题，每小题
4
分，共
24
分，请将答案写在答题纸指定位置上
.
（
9
）
已知函数
f
(
x<
/p>
)
连续，且
lim
x
0
1
，则
f
(0)
____
.
（
10
）微分方程
(
y
x
2
e
< br>
x
)
dx
xdy
0
的通解是
y
____
.
（
11
）曲线
sin
xy
ln
y
x
x
在点
0,1
处的切线方程为
.
（
12
< br>）曲线
y
(
< br>x
5)
x
的拐点坐标为
______.
（
13
）设
z
2
3
z<
/p>
y
，则
x
x
x
y
(1,2)
____
.
（
14
）设
3
阶矩阵
A
的特征值为
< br>2,3,
.
若行列式
2
A
48
，则
___
.
三、解答题：<
/p>
15
－
23
题，
共
94
分
.
请
将解答写在答题纸指定位置上
.
解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤
.
(15)
（本题满分<
/p>
9
分）求极限
lim
(16)
（本题满分
10
分）
sin
x
sin
sin
x
sin
x
.
x
0
x
4
dx
x
x
(
t
)
2
< br>
2
te
x
0
y
2
x<
/p>
(
t
)
设函数<
/p>
y
y
(
x
)
由参数方程
<
/p>
确定，其中
是初值问题
的解
.
求
.
dt
t
2
< br>x
y
ln(1
u
)
du
x
t
0
0
0
(17)
（本题满分
9
分）求积分
(18)
（本题满分
11
分）
求二重积分
1
x
arcsin
x
1
x
2
0
dx
.
max(
xy
,1)
dxdy
,<
/p>
其中
D
{(<
/p>
x
,
y
)
0
x
2,0
y
2}
D
(19)
（本题满分
11
分
）
设
f
(<
/p>
x
)
是区间
<
/p>
0,
上具
有连续导数的单调增加函数，且
f
(0)
1
.
对任意的
t
0,
，直线
x
0,
x
t
，
曲线
y
f
(
x
)<
/p>
以及
x
轴所围成的曲边梯形绕
x
轴旋转一周生成一旋转体
.
若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的
2
倍，求函数<
/p>
f
(
x
)
的表达式
.
-
30 -
(20)
（本题满分
11
分）
(1)
证
明
积
分
中
值
定<
/p>
理
：
若
函
数
f
(
x
)
在
闭
区
间
[
a
,
b
]
上
连
续
，
则
至
少<
/p>
存
在
一
点
[
a
,
b
]
，
使
得
b
a
f
(
x
)
d
x
(2
)
f
(
)<
/p>
(
b
a
)
若函数
(
x
)
具有二阶导数
，且满足
(2)
< br>
(1),
(2)
(
x
)
dx
，证明至少存在一点
2
3
(1
,3),
使得
(
<
/p>
)
0
（
21
）<
/p>
（本题满分
11
分）
求函数
u
x
2
y
2
z
2
在约
束条件
z
x
2
y
2
和<
/p>
x
y
z
4
下的最大值与
最小值
.
（
22
）
（本题满分
12
分）
2
a
1
< br>2
a
2
a
设矩阵
A
a
2
（
1
）求证
A
n
1
a
n
；
，现矩阵
A
满足方程
AX
B
，其中<
/p>
X
x
,
1
1
2
a
n
n
,
x
n
，
B
1
,0
,
T
,0
，
（
2
）
a
为何值，方程组有唯一解，并求
x
1
；
（
3
）
a
为何值，方程组有
无穷多解，并求通解
.
（
23
）
（本题满分
10
分）
设
A<
/p>
为
3
阶矩阵，
1
,
2
为
A
的分别属于特征值
1,1
特征向量，向量
3
满足
A
3
2
3
，
< br>
（
1
）证明
< br>
1
,
2
,
3
线
性无关；
（
2
）令
P
1
,
2<
/p>
,
3
，求
P
AP
.
1
200
7
年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：
1
～
10
小题，每小题<
/p>
4
分，共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所
选项前的
字母填在题后的括号内
.
（
1
）当
x
<
/p>
0
时，与
x
等价
的无穷小量是
（
A
）
1
e
x
（
B
）
ln
1
x
（
C
）
1
x
1
（
D
）
1
< br>cos
x
[
]
1
x
-
31 -