2014年数学二真题及答案解析
-
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选
择题
:1
:
8
小题
,
每小题
4
分
,
共
32
分
.
下列每题给出的四个选项中
,
只有一个选项符合题
目要求的
,
请将所选项前的字母填在答题纸
指定位置上
. <
/p>
．．．
1
(1
cos
x
)
均
是比
x
高阶的无穷小，
(1)
当
x
0
时，
若
ln
(1
2
x
)
，
则
的取值范围是
( )
(A)
(2,
)
(B)
(1,2)
(C)
(
,1)
1
2
(D)
(0,
)
1
2
(2)
下列曲线中有渐近线的是
(
)
(A)
y
x
sin
x
(C)
y
x
sin
(B)
y
x
sin
x
(D)
y
x
sin
2
2
1
x
1
x
(3)
设函数
f
(
x
)
具有
2
阶导数，
g
(
x
)
f
(0)(1
x
)
f
(1)
x
，
则在区间
[0,1]
上
（
）
(A)
当
f
(
x<
/p>
)
0
时，
f
(
x
)
g
(
x
)
(C)
当
f
(
x
)
0
时，
f
(
x
)
g
(
x
)
(B)
当
f
(
x
)<
/p>
0
时，
f
(
x
)
g
(
x
)
(D)
当
f
(
x
)
0
时，
< br>f
(
x
)
g
(
x
)
2
x
t
7
(4)
曲线
上对应于
t
1<
/p>
的点处的曲率半径是
（
）
2
y
t
4
t
1
(A)
10
50
(B)
10
100
(
C)
10
10
(D)
5
10
(5)
设函数
f
(
x
)
arctan
x
，
若
< br>f
(
x
)
xf
(
)
，
则
li
m
x
0
<
/p>
2
x
2
（
）
(D)
(A)
1
(B)
2
3
(C)
1
2
1
3
2
u
0
(6)
设函数
u<
/p>
(
x
,
y
)
在有界闭区域
D
上
连续，
在
D
的内部具有
2
阶连续偏导数，
且满足
<
/p>
x
y
2
u
2
u
及
2
2
0
，
则
（
）
x
y
(A)
u
(
x
,
y
)
的最大值和
最小值都在
D
的边界上取得
(B)
u
(
x
,
y
)
的最
大值和最小值都在
D
的内部上取得
1
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(C)
u
(
< br>x
,
y
)
的最大值在
D
的内部取得，最小值在
D
的边界上取得
(D)
u
(
x
,
y
)
的最小值在
D
的内部取得，最大值在
D
的边界上取得
0
a
(7)
行列式
b
0
d
0
2
0
b
0
d
(B)
(
ad
b
c
)
(D)
b
c
a
d
2
2
2
2
2
a
0
0
c
c
0
（
）
(A)
(
ad
bc
)
(C)
a
d
b
c
2
2
2
2
(8)
设
1
,
2
,
3
均为
3
维向量，
则对任意常数
k
,
l
，
向量组
1
k
3<
/p>
,
2
l
3
线性无关是向
量组
1
,
2
,
3
线性无关的
（
）
(A)
必要非充分条件
(B)
充分非必要条件
(C)
充分必要条件
(D)
既非充分也非必要条件
二、填空题：
9
:
14
小题
,
每小题
4
分
,
共
24
分
.
请将答案写在答题纸
指定位置上
.
．．．
((9)
1
< br>
x
2
2
x
5
dx
__________.
1
(10)
设
f
(
x
)
是
周期为
4
的可导奇函数，
且
f
(
x
)
2(
x
< br>
1),
2
yz
则
f
(7)
__________.
x
[0,
2]
，
(11)
设
z
z
(
x
,
y
)
是由方程
e
x
y<
/p>
2
z
7
确定的函数，则
dz
4
1
1
(
,
)
2
2
__________.
(12)
曲线
r
r
(
)
的极坐标方程是
r
，
则
L
在点
(
r<
/p>
,
)
(
__________.
,
)
处的切线的直角坐标
方程是
2
2
2
(13)
一根长为
1
的细棒位于
x
轴的区间
[0,1]
上
,
若其线密度
x
x
2
x
1
,
则该
细棒的质
心坐标
x
< br>__________.
(14)
设二次型
f
x
1
,
x
2
,
< br>x
3
x
1
x
2
2
ax
1<
/p>
x
3
4
x
2
x
3
的负惯性指数为
1
，则
a
的取值范围为
2
2
_______.
三、解答题：
15
～
23
小题
,
共
94
分
.
请将解答写在答题纸
指定位置上
.
解
答应写出文字说明、证
．．．
明过程或演算步骤
.
(15)(
本题满分
10
分
)
2
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
求极限
lim
x
x
1
2
1
t
t
e
1
<
/p>
t
dt
.
1
x
2
< br>ln
1
x
2
2
(16)(
本题满分
10
分
)
已知函数
y
y
x
满足微分方程
x
y
y
1
y
，
且
y
< br>
2
0
，
求
y
x
的极大值与极小
< br>
值
.
(17)(
本题满分
10
分
)
设平面区域
D
x
,
y
1
x
2
y
2
4,
x
0,
y
0
< br>,
计算
D
< br>x
x
sin
< br>
x
2
y
2
x
y
dxdy
.
(18)(
本题满分
10
分
)
2
z
2
z
x
2
x
设函数
f
(
u
)
具有二阶连续导数，
z
f
(e
cosy)
满足
2
2
(4
z
e
cos
y
)
e
，若<
/p>
x
y
f
(0)
0,
f
'
(0)
0
，求
f
(
u
)
的表达式
. <
/p>
(19)(
本题满分
10
分
)
设函数
f
(
x
),
g
(
x
)
的区间
[a,b]
上连续，且
f
(<
/p>
x
)
单调增加，
0
g
(
x<
/p>
)
1
.
证明：
(I)
0<
/p>
g
(
t
)
dt
x
a
,
x
[
a
< br>,
b
]
,
a
b
x
(II)
< br>
a
a
a
g
(
t
)
dt
f
(<
/p>
x
)d
x
b
f
(
x
)g(
x
)
dx
.
a
(20)(
本题满分
11
分
)
设函数
f
(x)
x
,
x
< br>
0,1
< br>，定义函数列
f
1
(
x
)
f
(
x
),
f
< br>2
(
x
)
f
(
f
1
(
x
)),
L
,
1
x
f
n
(
x
)
f
(
f
n
< br>1
(
x
)),
< br>L
，
记
S
n
是由曲线
y
f
n
(
x
)
，
直线
x
1
及
x
轴所围
成平面图形的面积，
求
极限
lim
nS
n
.
n
(21)(
本
题满分
11
分
)
已知函数
f
(
x
< br>,
y
)
满足
f
2(
y
1)
，且
f
(
y
,
y
)
(
y
1)
2
(2
y
)ln
y
,
求曲线
f
(
x
,
y
)
0
y
所围成的图形绕直线
y
1
旋转所成的旋转体的体积
.
3
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(22)(
本题满分
11
分
)
1
2
3
4
设矩阵
A
0
1
1
1
，
E
为三阶单位矩阵
.
1
2
0
3
(I)
求方程组
Ax
0
的一个基础
解系；
(II)
求满足
AB
E
的所有矩阵
.
(23)(
本题满分
11
分
)
1
1
L
1
1
L
证明
n
阶矩阵
M
M
M
<
/p>
1
1
L
1
0
1
0
与
M
M
1
<
/p>
0
L
0
1
L
0
2
相似
.
M
M
M
L
0
n
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题
:1
:
8
小题
,
每小
题
4
分
,
共<
/p>
32
分
.
下列每
题给出的四个选项中
,
只有一个选项符合题
目要求的
,
请将所选项前的字母填在答题纸
指定位置上
.
．．．
1
(1
cos
x<
/p>
)
均是比
x
高阶
的无穷小，
(1)
当
x
0
时，
若
ln
(1
2
x
)
，
则
的取值范围是
( )
(A)
(2,
)
【答案】
B
(B)
(1,2)
(C)
(
,1)
1
2
(D)
(0,
)
1
2
ln
(1
2
x
)
(2
x
)
lim
lim<
/p>
2
x
1
0
【解析】由定义
li
m
x
0
x<
/p>
0
x
0
x
x
所以
1<
/p>
0
，故
1
.
4
201
4
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
2
1
当
x
0
时，
(1
cos
x
)
~
故选
B
x
1
是比
x<
/p>
的高阶无穷小，所以
2
2
1
0
，即
2
.
(2)
下列曲线中有渐近线的是
(
)
(A)
y
x
sin
x
(B)
y
x
2
<
/p>
sin
x
(C)
y
x
sin
1
(D)
y
x
2
si
n
1
x
x
【答案】
C
x
sin
1
sin
< br>1
【解析】关于
C
选项：
lim
x
x
x
lim1
x<
/p>
lim
x
x
x
<
/p>
1
0
1
.
lim[
1<
/p>
x
x
sin
x
x
]
limsin
1
x
x
0
，所以
y
x
sin
1
x
存在斜渐近线
y
x
.
故选
C
(3)
设函数
f
(
x
)
具有
2
阶导数，
g
(
x
)
f
(0)(1
x
)
f
(1)
x
，
则在区间
[0,1]
上
(A)
当
< br>f
(
x
)
0
时，
f
(
x
)
<
/p>
g
(
x
)
(B)
当
f
(
x
)
0
时，
f
(
x
)
g
(
x
)
(C)
< br>当
f
(
x
)
0
时，
f
(
x<
/p>
)
g
(
x
)
(D)
当
f
(
x
)<
/p>
0
时，
f
(
x
)
g
(
x
)
【答案】
D
【解析】令
F
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
f
< br>(0)(1
x
)
f
(1)
x
f
(
x
< br>)
，则
F
(0)
F
(1)
0
,
F
< br>
(
x
)
f
(0)
f
(1)
f
(
x
)
,
F
(
x
)
f
(
x
)
.
若
f
(
x
)
0
，则
F
(
x
)
0
，
F
(
x
)
在
[0,1]
上为凸的
.
又
F
(0)
F
(1)
0
，
所以当
x
[0,1]
时，
F
(
x
< br>)
0
，从而
< br>g
(
x
)
f
(
x
)
.
故选
D.
(4)
< br>曲线
x
t
2
7
t
4<
/p>
t
1
上对应于
t
1
的点处
的曲率半径是
< br>
y
2
(A)
10
50
< br>
(B)
10
100
(C)
10
10
(D)
5
10
【答案】
C
5
）
）
（
（
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
【解析】
dy
dx
2
t
< br>1
2
t
4
2
t
'
t
1
3
t
1
2
2
d
y
dy
t
t
1
t
1
dx
2
dx
2
t
1
k<
/p>
y
''
1
y
3
'2
2
1
1
q
3
2
,
R
1
10
10
k
故选
C
(5)
设函数
f
(
x
)
arctan
x
，
若
< br>f
(
x
)
xf
(
)
，
则
li
m
x
0
<
/p>
2
x
2
（
）
(D)
(
A)
1
【答案】
D
(B)
2
3
(C)
1
2
1
3
【解析】因为
f
(
x
)
1
x
<
/p>
f
(
x
)
2
f
'
(
)
，所以
x
1
2
f
(
x
)
2
lim
x
0
x
2
lim
x
0
x
f
(
x
)
x
arctan
< br>x
lim
< br>lim
2
2
x
< br>
0
x
f
(
x
)
x
a
rctan
x
x
0
1
1
1
x
2
<
/p>
1
3
x
2
3
故选
D.
2
u
0
(6
)
设函数
u
(
x
,
y
)
在
有界闭区域
D
上连续，
在
D
的内部具有
2
阶连续偏导
数，
且满足
x
y
2
u
2
u
及
2
2
0
，
则
（
）
x
y
(A)
u
(
x
,
y
)
的最大值和
最小值都在
D
的边界上取得
(B)
u
(
x
,
y
)
的最
大值和最小值都在
D
的内部上取得
(C)
u
(
x
,
y
)
的最
大值在
D
的内部取得，最小值在
D
的边界上取得
(D)
< br>u
(
x
,
y
)
的最小值在
D
< br>的内部取得，最大值在
D
的边界上取得
< br>
6
2014
年全国硕士研究生入学统一
考试数学二
【答案】
A
2
u
2
u
2
u
,
C
2
,
B
0,
A
,
C
相反数
【解析】记
A
2
,
B
x
x
y
y
则
=AC-B
0
,
所以
u
(x,
y)
在
D
内无极值，则极值在边界处取得
.
故选
A
2
0
a
(7)
行列式
b
0
d
0
2
0
b
0
d
2
a
0
0
c
c
0
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
(A)
(
ad
bc
)
(B)
(
ad
bc
)
(C)
a
d
b
c
(D)
b
c
a
d
【答案】
B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
0
a
a
0
0
c
c
0
b<
/p>
0
d
0
0
b
0
d
a
a
c
0
b
d
0
0
d
a
c
b
d
0
0
0<
/p>
c
0
0
b
ad
(
ad
bc
)
bc
(
ad
bc
)
(
ad
bc
)
.
(8)
设
a
1
,
a
2
,<
/p>
a
3
均为三维向量，则对任意常数
k
,
l
,
向量组
a
1
ka
3
,
a
2
la
3
线性无关是向量组
2
a
1
,
a
2
,
a
3
线性无关的
(
)
(A)
必要非充分条件
(C)
充分必要条件
【答案】
A
【解析】
1
k
3
(B)
充分非必要条件
(D)
既非充分也非必要条件
2
l
3
1
2
1
0
3
<
/p>
0
1
.
k
l
1
0
< br>
0
1
3
，
C
.
若
1
,
2
,
3
线性无
k
l
)
记
A
1
k
<
/p>
3
2
l
3
，
B
1
2
7
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学二
关，则
r
(
A
)
r
(
BC
)
r
(
C
)
2
，故
1
k
3
,
2
l
3
线性无关
.
)
举反例
.
令
3
0
，则
1
,
2
线性无关，但此时
1
,
2
,
3
却线性相关
.
综上所述，
对任意常数
k
,
l
，
向量
1
k
3
,
2
l
3
线性无关是向量
1
,
2
,
3
线性无关的必
要非充分条件
.
故选
A
二、
填空题：
9
:
14
小题
,
每小题
4
< br>分
,
共
24
分
.
请将答案写在答题纸
指定位置
上
.
．．．
1
x
2
2
x
5<
/p>
dx
__________.
3
【答案】
8
(9)
1
【解析】
1
1
1
1
x<
/p>
1
dx
dx
arctan
x
2
2
x
5<
/p>
x
1
2
4
2
2
1
1
1
3
<
/p>
2
4
2
8
(10)
设
f
(
x
)
是周期为
4
的可导奇函数，
且
f
(
x
)
2(
x
< br>1),
【答案】
1
【解析】<
/p>
f
则
f
'
'
则
f
(7)
__________.
x
[0,
2]
，
x
2
x
1
，
x
0,2
且为偶函数
x
2
x
1<
/p>
，
x
2,0
2
又
f
x
x
2
x
c
且为奇函数，故
c
=0
f
x
< br>
x
2
2
x
，
x
2,0
又
Q
f
x
的周期为
4
，
f
7
f
1
1
(11)
设
z
z
(
x
,
y
)
是由方程
< br>e
2
yz
x
y
2
z
7
确定
的函数，则
dz
4
1
< br>1
(
,
)
2
2
__________. <
/p>
【答案】
1
(
dx
dy
)
2
2
yz<
/p>
【解析】对
e
x
y
2<
/p>
z
7
方程两边同时对
x
,
y
求偏导
4
8