2009年考研数学二试题及答案解析
-
2009
年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、
选择题：
1
～
8
小题
,
每小题
4
分
,
共
32
分
,
下列每小题给出的
四个选项中
,
只有一项符合
题目要求<
/p>
,
把所选项前的字母填在题后的括号内
.
x
x
3
(1)
函数
f
x
的可去
间断点的个数为
sin
x
A
1
B
2
C
3
D
无穷多个
【答案】
C
x
x
3
【解
析】由于
f
x
,
则当
x
取任何整数时
,
f
< br>
x
均无意义
.
sin
x
故
f
x
< br>
的间断点有无穷多个
,
但可去
间断点为极限存在的点
,
故应是
x
x
0
的解
3
x
1,2,3
0,
1
.
x
x
3
1
3
x
2
1
lim
lim
,
x
0
sin
x
x
0
cos
x
x
x
3
1
3
x
2
2<
/p>
lim
lim
,
x
<
/p>
1
sin
x<
/p>
x
1
cos
x
x
x
3
1
3
x
2
2
lim
lim
.
x
1
sin
x
x
1
cos
x
故可去间断点为
3
个
,
即
0,
1
.
(2)
当
x
0
时
,
f
x
x
< br>sin
ax
与
g
x
x
ln
1
bx
是等价无穷小
,
则
2
< br>1
1
1
1
a
1,
b
a
1,
b
a
1,
b
a
1,
b
D
A
B
C
<
/p>
6
6
6
6
【答案】
A
【解析】
lim
x
0
f
(
x
)
x
sin
ax<
/p>
x
sin
ax
lim
2
lim
2
x
0
x
0
g
(
x
)
x
ln(1
bx
)
x
(
bx
)
1
a
cos
ax
a
2
sin
ax
洛
lim
洛
lim
2
x
0
x
0
3
bx
6
bx
a
2
sin
ax
a
3
lim
1,
x
0
6
b
6
b
< br>
ax
a
a
3
6
b
,
故排除
B
,
C
.
1
a
cos
ax
存在
,
蕴
含了
1
a
c
os
ax
0
x
0
<
/p>
,
故
a
1.
排除
D
.
x
0
3
bx
2
所以本题选<
/p>
A
.
另外
,<
/p>
lim
(3)
设函数
< br>z
f
x
,
y
的
全微分为
dz
xdx
ydy
,
则点
0,0
A
不是
f
x
,
y
的连续点
B
不是
f
x
,
y
的极值点
C
是
f
x
,
y
的极大值点
D
是
f
x
,
y
的极小值点
【答案】
D
【解析】因
dz
xdx
ydy
可得
z
z
x
,
y
.
x
y
2
z
2
z
2
z
2
z
A
2
1,
B
0,
< br>C
2
1
,
x
x
y
<
/p>
y
x
y
又在
0,0
处
,
z
z
0,
0
,
AC
B
2
< br>
1
0
,
x
y
故
0,0
为函数
z
f
(
x
,
y<
/p>
)
的一个极小值点
.
(4)
设函数
f
x
,
y
连续
,
则
dx
f
<
/p>
x
,
y
dy
1
x
2
1
2
2
2
1
dy
x
4
y
y
f
x
,
y
dx
A
1
dx
1
2
2
2
2
4
x
f
x
,
y
dy
B
dx
f
x
,
y
dx
2
1
x
4
x
f
x
,
y
dy
< br>
C
1
dy
1
【解析】
4
y
D<
/p>
2
2
1
dy
f
x
,
y
dx
【答案】
C
y
2
1
dx
f
(
x
,
y
)
dy
dy
f
(
x
,
y
)
dx
的积分区域为两部
分：
x
D
1
(
x
,
y
)
1
x
2,
x
y
2
,
D
2
(
x
,
y
)
1<
/p>
y
2,
y
x
4
y
,
将其写成一块
D
(
x
,
y
)
1
y
2,1
x
4
y
< br>,
故二重积分可以表示为
2
1
dy<
/p>
4
y
1
f
(
x
,
y
)
dx
,
故答案为
C
.
(5)
若
f
x
不变号
,
且曲线
y
f
x
在点
1,1
上的曲率圆为
x
2
y
2
2
,
则函数
f
x
在区间
1,2
内
A
有极值点
,
无零点
C
有极值点
,
有零点
B
无极值点
,
有零点
D
无极值点
,
无零点
【答案】
B
【解析】由题意可知
,
f
(
x
)
是一个凸函数
,
即
f
(
x
)
0
,
且在点
(1,1)
处的曲率
<
/p>
|
y
|
(1
(
y
)
)
3
2
2
< br>1
,
而
f
(1)
1
,
由此可得
,
f
(1)
2
.
2
在
[1,
2]
上
,
f
(
x
)
<
/p>
f
(1)
<
/p>
1
0
,
即
f
(
x
)
单调减少
,
没有极值点
.
对于
f
(2)
f
(
1)
f
(
)
1
(1,
2)
,(
拉格朗日中值定理
)
f
(2)
0
而
f
(1)
1
0
,
由零点定理知
,
在
[1,
2]
上
,
f
(
x
)
有零点
.
故应选
B
.
（
6
）设函数
y
f
x
在区间
1
,3
上的图形为：
则函数
F
x
f
t
dt
的图形为
0
x
A
B
C
【答案】
D
D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
y
f
(
x
)
的图形可见，其图像与
x
轴及
y
轴、
x
x
0
所围的图形的代数面积为所求函数
F
(
x
)
，从而可得出几个方面的特征：
①
< br>x
0,1
< br>
时，
F
(
x
)
0
，且单调递减。
②
x
1
,2
< br>
时，
F
(
x
)
单调递增。
③
x
2,3
时，
F
< br>(
x
)
为常函数。
④
x
< br>
1
,0
时，
F
(
x
)
0
为
线性函数，单调递增。
⑤由于
F(x
)
为连续函数
结合这些特点，可见正
确选项为
D
。
（
7
）设
A
,
B
均为
2
阶
矩阵，
A
*
,
B
*
分别为
A
,
B
的伴随矩阵，若
A
2,
B
< br>3
，则分块
O
A
矩阵
< br>
的伴随矩阵为
B
O
O
A
*
2
A
O
C<
/p>
*
2
B
3
B
*
.
O
3
A
*
.
O
O
B
*
3
A
O
D<
/p>
*
3
B
1
1
2
B
*
.
O
2
A
*
.
【答案】
B
O
【解析
】根据
CC
C
E
若
C
C
C
,
C
1
C
C
0
分块矩阵
B
A
0
的行列式
B
0
A
2
2
< br>（
1
）
A
B
2
3
6
即分块
矩阵可逆
0
0
B
A
0
0
B
A
0
0
B
< br>A
0
6
1
0
A
1
0
1
B
< br>6
1
0
A
A
1
B
B
0
< br>0
6
1
A
2
1
B
3
0
3
A
< br>0
2
B
0
1
0
0
T
T
（
8
）
< br>设
A
,
P
均
为
3
阶
矩
阵
，
P
为
P
的
转
置
矩
阵
，
且
P
AP
0
1
0
，
若
0
0
2
<
/p>
T
P
(
1
,
2
,
3
)
Q
,
(
1
2
,
<
/p>
2
,
，则
3
)
Q
AQ
为
2
1
0
1
1
0
A
.
< br>
0
0
2
2
0
0
0
1
0
C
.
< br>
0
0
2
1
1
0
B
. <
/p>
1
2
0
0
0
2
1
0
0
< br>
D
.
0
2
0
【答案】
A
0
0<
/p>
2
1
0
0
【解析】
Q
(
1
< br>2
,
2
,
3
)
(
1
,
2
,
3
)
1
1
0
(
< br>1
,
2
,
3
)
E
12
(1)
，即：
0
0
1
<
/p>
Q
PE
12
(1)
T
Q<
/p>
T
AQ
[
PE
12
(1)]
T
A
[
PE
1
2
(1)]
E
12
(1)[
P
T
< br>AP
]
E
12
< br>(1)
1
0
< br>
E
21
(1)
0
1
0
0
1
1
0
<
/p>
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
<
/p>
0
E
12
(1)
2
0
0
1
0
0
2
1
< br>0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
2
< br>
0
0
1
0
0
2
二、填空题：
9-14
小题，每小题
4
分，共
24
分，请将答案写在答题纸指定位置上
.
1-
t
u<
/p>
2
x=
e
du
（
0
，
0
）
（
9
）曲线
在
处的切线方程为
0
y
t
2
ln(2
t
2
)
【答案】
y
2
x
dy
2
t<
/p>
2
t
ln(2
t
2
)
t
2
dt
2
t
2
2
dx
e
(1
t
)
(
1)
t
1
1
dt
dy
2
所以
dx
【解
析】
所以
切线方程为
y
2
x
t
1
2
（
10
）已知
+
k
x
e
dx
1
,
则
k
【答案】
2
k
x
【解析】
1
e
dx
2
0
1<
/p>
e
dx
2
lim
e
kx
<
/p>
b
k
0<
/p>
kx
b
因为极限存在所以
k
0
1
0
2
k
k
<
/p>
2
1
x
（
11
）
lim
e
sin
nxdx
【答案】
0
n
0
x
x
x
【解
析】令
I
n
e
sin
nxdx
< br>
e
sin
nx
n
e
cos
nxdx
e
x
sin
nx
ne
x
cos
nx
<
/p>
n
2
I
n
n
cos
nx
sin
nx
<
/p>
x
e
C
n
2
1
1
n
cos
nx
sin
nx
x
1
x
e
0
)
即
lim
e
sin
nxdx
lim(
2
n
0
n
n
1
n
cos
n
sin
n
1
n
lim(
e
)
2
2
n
n
1
n
1
0
所以
I
n
d
2
y
（
12
）设
y
y
(
x
)
是由方程
xy
e
x
1
确定的隐函数，则
2
dx
y
y
y
x=0
=
【答案】
3
1
y
y
x
e
【解析】对方程
xy
e
x
1<
/p>
两边关于
x
求导有
y
xy
y
e
<
/p>
1
，得
y
对
y
xy
y
e
1
再次求导可得
2
y
xy
y
e
(
y
)
e
0
，
y
y<
/p>
2
y
2
y
(
y
)
2
e
y
得
y
(
*
)
x
e
y
当
x
0
时，
y
0
，
y
(0)
1
0
1
，代入
(*)
得
e
0
2
y
(0)
(
y
(0))
2
e
0
y
(
0)
(2
1)
3
0
3
(0
e
)
（
13
）函数
y
x
2
x
在区间
01
，
上的最小值为
【答案】
e
2
e
【解
析】因为
y
x
2
x
2
ln
x
2
，令
y
<
/p>
0
得驻点为
x
2
x
2
2
x
1
。
e
2
1
2
1
< br>
又
y
x
2
ln
x
2
x
，得<
/p>
y
2
e
e
0
，
x
e
2
1
2
x
故
x
<
/p>
为
y
x
的极小值点，此时
y
e
e
，
e
又当
x
<
/p>
0,
时，
y<
/p>
x
0
；
x
,1
时，
y
x
0
，
故
y
在
0,
上递减，
在
,1
上递增。
2ln
x
lim
x
0
1
x
lim
2
x
1
x
2
1
e
1<
/p>
e
1
e
1
e
x
而
y
1
1
，<
/p>
y
0
lim
x
0
2
x
lim
e
x
0
2
x
ln
x
< br>
e
e
x
0
e
x
0
lim
2
x
1
，
1
< br>e
所以
y
x
在区间
01
< br>上的最小值为
y
，
e
。
e
2
x
2
2
0
0
<
/p>
(14)
设
，
为
3
维列向量，
T
为
的转置，若矩阵
< br>
T
相似于
0
0
0
，则
T
=
0
0
0
【答案】
2
2
0
0
<
/p>
【解析】
因
为
T
相似于
0
0
0
，根据相似矩阵有相同的特征值，
得到
T
的特征值
0
0
0
是
2,0,0
，而
T
是一个常数，是矩阵
T
的对角元
素之和，则
T
2
0
0
2
。<
/p>
三、解答题：
15
－
23
小题，共
94
分
.
请将解答写在答题纸指定的位置上
.
解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤
.
（
15
）
（本题满分
9
分）求极限
lim
x
0
1
cos
x
x
ln(1
tan
< br>x
)
sin
< br>x
4