数学竞赛教案讲义数列
-
第五章
数列
一、基础知识
定义
1
数
列，按顺序给出的一列数，例如
1
，
2
，
3
，…，
n
，…
.
数列分有穷数列和无穷数
列两种，数列
{
a
n
}
的一般形式通常记作
a
1
,
a
2
,
a<
/p>
3
,
…，
a
n
或
a
1
,
a
2
,
a<
/p>
3
,
…，
a
n
…。其中
a
1<
/p>
叫做数
列的首项，
a
n
是关于
n
的具体表达式，称为数
列的通项。
定理
1
若
S
n
表示
{
a
n
}
的前
n
项和，则<
/p>
S
1
=
a
1
,
当
n
>1
时，
a
n
=S
n
-S
n
-1
.
定义
2
等
差数列，如果对任意的正整数
n
，都有
a
n
+1
-
a
n
=d
（常数）
，则
{
a
n
}
称为等差数列，
d
叫做公差。
若三个数
a
,
b
,
c
成等
差数列，
即
2
b
=
a
+
c
，
则称
b
为
a<
/p>
和
c
的等差中项，
若公差为
d,
则
a
=
b
-d,
c
=
b
+d.
定理
2
等
差数列的性质：
1
）通项公式
a
n
=
a
1
+(
n
-1)d
；
2
）前
n
项和公式：
S
n
=
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
< br>)
na
1
d
；
3
）
a
n
-
a<
/p>
m
=(
n
-m)
d
，
其中
n
,
m
为正整数；
4
）
若
n
+m=
p
+
q
，
2
2
则
a
n
+<
/p>
a
m
=
a
p
+
a
q
；
5
）对任意正整数
p<
/p>
,
q
，恒有
a
p
-
a
q
=(
p
-
q
)(
a
2
-
a
1
)
；
6
）若
A
，
B
至少有一个不
为零，则
{<
/p>
a
n
}
是等差数
列的充要条件是
S
n
=
An
2
+
Bn
.
定义
3
等比数列，
若对任意的正整数
n
，
都有
a
n
1
q
，
则
{
a
n
}
称为等比数列，
q
叫做公比。
a
n
< br>a
1
(
1
q
n
)
定
理
3
等比数列的性质：
1
）
a
n
=
a
1
q
；
2
）前
n
项和
S
n
，当
q
1
时，
S
n
=
；当
q
=
1
1
q
n<
/p>
-1
时，
S
n<
/p>
=
na
1
；
3
）如果
a
,
b
,
c
成等
比数列，即
b
2
=
ac
(
b
0)
，则
b
叫做
a
,
c
的等比中项；
4
）若
m+
n
=
p
+
q
，则
a
m
a
n
< br>=
a
p
a
q
。
定义
4
极
限，给定数列
{
a
n
< br>}
和实数
A
，若对任意的
>0
，存在
M
，对任
意的
n
>M(
n
∈
N
),
都有
|
a
n
-
A
|<
，则称
A
为
n
→
+
∞时
数列
{
a
n
}
的极限，记作
lim
a
n
A
.
n
定义
5
无穷递缩等比数列，若等比
数列
{
a
n
}
的公比
q
满足
|
q
|<1
，则称之为无穷递增等比数
列，其前
n
项和
S
n
的极限（即其所有项的和）为
a
1
（由极限的定义可得）
。
1
q
定理
3
第一数学归纳法：
给定命题
p
(
n
)
，若：
（
1
）
p
(
n
0
)
成立；
（
2
）当
p
(
n<
/p>
)
时
n
=
k
成立时能
推出
p<
/p>
(
n
)
对
n
=
k
+1
成立，则由（
1
）
，<
/p>
（
2
）可得命题
p
(
n
)
对一
切自然数
n
≥
n
0
成立。
竞赛常用定理
定理
4
第
二数学归纳法：给定命题
p
(
n
)
，若：
（
1
）
p
(
n
0
)
成立；
（
2
）当
p
(
n
)
对一切
n
≤
k
的自
然数
n
都成立时（
k
≥
n
0
）可推出
p
(
k
+1)
成立，则
由（
1
）
，
（
2
）可得命题
p
(
n
)
对一切自然数
n
≥
n
0
成立。
定理
5
对于齐次二阶线性递归数列
x
n
=
ax
n
-1
+
bx
n
-2
，设它的特征方程
x
2
=
ax
+
b
的两个根为
α
,
β
:(1)
若
α
< br>β
，则
x
n
=
c
1
a
n
-1
+
c
2
β
x
n
=(<
/p>
c
1
n
+
c
2
)
α
n
-1
n
-1
，其中
c
1
,
c
2
由初始条件
x<
/p>
1
,
x
2
的值确定；
(2)
若
α
=
β
，则
，其中
c
1
,
c
2
的值由
x
1
,
x
2
的值确定。
二、方法与例题
1
．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，
当然结论未必都是正确的，<
/p>
但却是人类探
索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜
想→数学归纳法证明。
例
1
试给出以下几个数列的通项（不要求证明）
< br>；
1
）
0
，
3
，
8
，
15
，
24
，
35
，…；
2
）
1
，
5
，<
/p>
19
，
65
，…
；
3
）
-1
，
0
，
3
，
8
，
15
，…。<
/p>
例
2
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
=
1
,
a
1
+
a
2
+
…
+
a
< br>n
=
n
2
a
n
,
n
≥
1
，求通项
a
n
.
2
例
3
<
/p>
设
0<
a
<1<
/p>
，数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
=1+
a
,
a<
/p>
n
-1
=
a
+
2
迭代法。
<
/p>
1
，求证：对任意
n
∈
N
+
,
有
a
n
>1.
a
n
数列的通项
a
< br>n
或前
n
项和
< br>S
n
中的
n
通常是对任意
n
∈
N
成立，因此可将其中的
n
换成
n
+1
或
n
-1
等，这种办法通常称迭代或递推。
例
4
数列
{
a
n
}
满足
a
n
+
pa
n
-1
+
qa
n
-2
=0,
n
≥
3
，
q
0
，求证：存在常数
c
，使得
2
2
n
a
n
1
pa
n
1
·
a
n
+
qa
n
cq
0
.
例
5
已知
a
1
=0,
a
n
+1
=5
a
n
+
24
a
n
1
，求证：
a
n
都是整数，<
/p>
n
∈
N
+
.
3
．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例
6
已知
a
n
=
2
1
(
n
=1,
2,
…
)
，求
S
99
=
a
1
+
a
2
+<
/p>
…
+
a
99
.
4
n
2
100
例
7
求和：
S
n
1
1
1
.
+
…
+
1
2
3
2
< br>
3
4
n
(
n
1
)(
n
2<
/p>
)
a
n
例
8
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=
a
2
=1
，
a
n
+2
=
a
n
+1
+
a
n
, S
n
为数列
n
的前
n
项和，求证：
S
n
<2
。
2
4
．特征方程法。
例
9
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
1
=3
,
a
2
=6,
a
n
+2
=4
n
+1
-4
a
n
，求
a
n
.
例
10
已知数列
{
a
n
< br>}
满足
a
1
=3,
a
2
=6,
a
n
+2
=2
a
n
+1
+3
a
n
，求通项
a
n
.
5
．构造等差或等比数列。
例
11
正
数列
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
,
…满足
a
n
a
n
2
a
n
1
a
< br>n
2
=2
a
n
-1
(
n
≥
2)
且
a
0
=
a
1<
/p>
=1
，求通项。
2
x
n
2
例
12
已知数列
{
x
n
}
满足
x
1
=2,
x
n
+1
=
,
n
∈
N
+
,
求通项。
2
x
n
三、基础训练题
1
．
数列<
/p>
{
x
n
}
满足
x
1
=2, <
/p>
x
n
+1
=S<
/p>
n
+(
n
+1)
，其中
S
n
为
{
x
n
}
前
n
项和，当
n<
/p>
≥
2
时，
x
n
=_________.
2.
数列
{
x
n
}
满足
x
1
=
2
x
n
1
，
x
n
+1
=
,
则
{
x
n
}
的
通项
x
n
=_________. <
/p>
2
3
x
n
2
1
x
n
1
+2
n
-1(
n
≥
2)
，则
{
x
n
}
的通项
x
n
=_________.
2
3.
数列
{
x
n
}
满足
x
1
=1
，<
/p>
x
n
=
4. <
/p>
等差数列
{
a
n
}
满足
3
a<
/p>
8
=5
a
13<
/p>
，且
a
1
>0,
S
n
为前
n
项
之和，则当
S
n
最大时，
n
=_________.
5.
等比数列
{
a
n
}
前
n
项之和记为
S
n
,
若
S
10
=10
，
S
30
=70
，则
S
40
=_________.
6.
数列
{
x
n
}
满足
x
n
+1
=
x<
/p>
n
-
x
n
-1
(
n
≥
2)
，
x
1
=
a
,
x
2
=
b
, S
n
=
x
1
< br>+
x
2
+
…
+
x
n
，则
S
100
=_________.
7.
数列
{
a
n
}
中，
S
n
=
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
=
n
2
-4
n
+1
则
|
< br>a
1
|+|
a
< br>2
|+
…
+|
< br>a
10
|=_________.
8.
若
x
3
x
n
x
1
x
2
，并且
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
=8
，则
x
1
=_________.
< br>
x
1
1
x
2
3
x
3
5
x
n
2
n
1
a
S
< br>n
2
n
，则
lim
n
=_________.
n
b
T
n
3
n
1
n
9.
等差数列
{
a
n<
/p>
}
，
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若
2007
n
2
n
1
10.
若<
/p>
n
!=
n
(
n
-1)
…
2
·
1,
则
(
1
)
=_________.
n
!
n
1
n
11
．若
{
a
n
}
是无穷等比数列，
a
n
为正整数，且满足
a
5
+
a
6
=4
8,
log
2
a
2
·
log
2
a
3
+
log
< br>2
a
2
·
log
2
a
5
+
log
2
a
2
·
log
2
a
6
+
log
< br>2
a
5
·
log
2
a
6
=36
，求
1
的通项。
< br>
a
n
n
12
．
已知数列
{
a
n
}
是公差不为零的等差数列，
数列
{
a
b
}
是公比
为
q
的等比数列，
且
< br>b
1
=1,
b
2
=5,
b
3
=17,
求：
（
1
）
q
的值；
（
2
）数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
。
四、高考水平训练题