高三数学数列复习教案
-
1
、
等差、等比数列的概念
一、
考纲要求
1
、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）
，
< br>
了解数列是一种特殊函数。了解通项公式的意义，了解通项公式是给出数列的一
种方法，并
能根据递推公式写出数列的前几项。
2
、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。
3
、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。
二、知识梳理
1
．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正
整数
N
*
或其子集
{1
，
2
，
3
，
……n}
的函数
f(n)
．数列的一般形式为
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
…
，简记为
{a
n
}
，
其中
a<
/p>
n
是数列
{a
n
}
的第
项．
2
．数列的通项公式
一个数列
{a
n
}
的
与
之间的函数关系，如果可用一个公式
a
n<
/p>
＝
f(n)
来表示，
我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
(
n
1)
S
1
3
、数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
a
n
S
< br>S
(
n
≥
2)
n
1
n
二、等差数列与等比数列
文
字
定
义
符
号
定
义
等差数列
一般地，如果一个数列从第
二项起，每一项与
它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与
它的前一项的比是同一个常数，
那么这个数列
就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
a
n
1
a
n
d
a
n
<
/p>
a
n
1
a
n
1
2
a
n
1
q
(
q
0)
a
n
a
n
2
a
n
1
a
n
1
(
a
n
< br>0)
递增数列：
a
1
0
，
q
1
或
a
1
0
，
0
q
<
/p>
1
分
类
递增数
列：
d
0
递减数列：
d
0
常数数列：
d
< br>
0
递减数列：
a
1
0
< br>，
q
1
或
a
1
0
，
0
q
1
摆动数列：
q
0
常数数列：
q
1
通
a
n
a
1
(
n
1)
d
pn
q
a
m
< br>
(
n
m
)
d
a
n
a
1
q
n
1
a
m
q
n
m
（
< br>q
0
）
项
前
n
项
和
中
项
其中<
/p>
p
d
,
q
a
1
d
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n<
/p>
1)
d
na
1
pn
2
qn
2
2
d
d
其中
p
,
q
a
< br>1
2
2
a
1
(
1
q
n
)<
/p>
(
q
1)
S
n
1
q
na
(
q
1)
< br>1
a
,
b
,
c
成等差的充要条件
:
2
b
a
c
等和性：
等差数列
a
n
若
m
n
p
q
则
a
m
a
n
<
/p>
a
p
a
q
a
,
b
,
c
成等比的必要不充
分条件：
b
2
ac
等积性：
等比数列
a
n
若
m
n
p
q
则
a
m
<
/p>
a
n
a
p
a
q
推论：若
m
n
2
p
则
a
m
< br>a
n
(
a
p
)
2
主
要
性
质
推论：若
m
<
/p>
n
2
p
则
a
m
a
n
2
a
p
a
n
k
a
n
k
<
/p>
2
a
n
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2<
/p>
即：首尾颠倒相加，则和相等
a
n
k
a
n
k
(
a
n
< br>)
2
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
< br>
即：首尾颠倒相乘，则积相等
1
、等比数列中连续项的和，组成的新数列是
等比数列。
即：
s
m
,
s
2
m
s
m
,
s
3
m
s
2<
/p>
m
,
等比
，
<
/p>
1
、等差数列中连续
m
< br>项的和，组成的新数列
是等差数列。即：
s
m
,
s
< br>2
m
s
m
,
s
3
m
s
2
m
,
等差，
公
差为
m
2
d
则
公比为
q
m
。
2
、
从等比数列中抽取等距离的项组成的数列
是一个等比数列。
如：
a
1
,
a
4
,
a
7
,
a
10
,
（下标成等差数列）
3
、
a
n
,
b
n
等比，
则
a
2
n
，
< br>
a
2
n
1
，
ka
n
<
/p>
也等比。其中
k
0
4
、
等
比数列的通项公式类似于
n
的指数函数，
即：
a
n
cq
n
，其中
c
其
有
s
3
m
3(
s
2
m
s
m
)
它
数项的
n
的二次函数，
即：
a
n
dn
c
(
d
0
)
等差数列
a
n
的前
n
项
和公式是一个没有常
2
、
从等差数列中
抽取等距离的项组成的数列是
一个等差数列。
如：
a
1
,
< br>a
4
,
a
7
,
a
10
,
（下标成等差数列）
3
、
a
n
,
b
n
等
差
，
则
a
2
n
，<
/p>
a
2
n
1
，
ka
n
b
，
< br>pa
n
qb
< br>n
也等差。
4
、
等差数列
a
n
的通项公式是
n
的一次函数，
a
1
q
等比数
列的前
n
项和公式是一个平移加振
幅的
n
的指数函数，即：
s
n
cq
n
< br>
c
(
q
1
)
5
、等比数列中连续相同项数的积组成的新数
列是等比数列。
性
即：<
/p>
S
n
An
2
Bn
(
d
0
)
5
、项数为奇数
2
n<
/p>
1
的等差数列有：
s
奇
n
s
奇
s<
/p>
偶
a
n
a
中
s
偶
n
1
s
2
n
1
(2
n
1)
a
n
项数为偶数
2
n
的等差数列有：
s
奇
a
n
，
s
偶
s
奇
nd
s
偶
a
n
1
s
2
n
n
(
a
n
a
n
1
< br>)
6
、
a
n
m
,
a
m
n
则
a
m
n
0
质
s
n
s
m
则
s
m
n
0(
n
m
)
s
n
m
,
s
m
n<
/p>
则
s
m
n
(
m
n
)
证
明
方
法
设
元
技
巧
三、
1
、
课前小题训练
在等差数列
{a
n
}
中，
（
1
）若
a
1
2,
d
3
，则
a
< br>10
______
，
（
2
）若
证明一个数列为等差数列的方法：
1
、定义法：
a
n
1
a
n
d
(
常数<
/p>
)
2
、中项法
：
a
n
1<
/p>
a
n
1
2
a
n
(
n
2)
证明一个数列为等比数列的方法：
1
、定义法：
a
n
1
q
(
常数
)
a<
/p>
n
2
2
、中项法
：
a
n
1<
/p>
a
n
1
（
a
n
）
(
n
2,
a
n
< br>
0)
三数等差：
a
d
,
a
,
a
d
四数等差：
a
3
d
,
a
d
,
a
d
,
a<
/p>
3
d
三数等比：
a
,
a<
/p>
,
aq
或
a
,
aq
,
aq
2
q
2
3
四数等比：
a
,
aq
,
aq
,
aq
1
d
,
a
7
8,
则
a
1
_____
。
3
2
、
数列
{a
n
}
为等比数列，
a
2
18,
a
4
8,
则
a
5
____
。
3
、
等差数
列
{a
n
}
中
，已知
a
1
1
,
a
2
<
/p>
a
5
4,
a
n
33,
则
n
_____
。
3
4
、
在等差数列
{a
n
}
中，若
a
3
a
4
a<
/p>
5
a
6
a
7
50,
则
a
2
a
8
_____
。
5
、
在等比
数列
{a
n
}
中，若
a
1
a
2
30,
a
3
a
4<
/p>
120,
则
a
5
a
6
______
。
6
、
已知<
/p>
{a
n
}
是等比
数列且
a
1
,
a
5
是方
程
x
5
x<
/p>
4
0
的两个根，则
a
3
_____
。
2
四、
例题分析
题型一、等差、等比数列的判定
1
、
已知数
列
{a
n
}
满
足下列条件，问数列
{a
n
}
能否构成等差数列。
（
1
）
a
n
kn
b
（<
/p>
k,b
为常数）
（
2
）
s
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，
s
n
an
2
bn
（
a
,b
是常数）
。
2
、已知
{a
n
}<
/p>
、
{b
n
}
是项数相同的等比数列，求证
a
n
b
n
是等比数列。
3
、
（
1
）
已
知
数
列
a
n
的
< br>前
n
项
和
a
n
2
S
n
S
n
1
0
n
2
,
又
a
< br>1
1
2
求证：
1
s
是等差数列；
n
2
数列
a
n
的前
项和为
n
，已知
n
s
a
1
1
n
2
<
/p>
1
,
n
a
n
n
s
1
求证：数列
s
n
n
是等比数列。
练习：
1
、已知数列
{a
n
}
满足
当
n
＞
1
时，
a
a
n
1
n
1
1
4
a
，且
a
1
n
1
5
，
为
s
n
，
,
2
,<
/p>
3
且
n
（
1
）
求证：数列
1
（
2
）试问
a
1
,
a
2
是否是数列
{a
n
}
中的项，如果是，是
< br>为等差数列。
a
n
1
2
第几项；如果不是
，说明理由。
n
< br>1
2
、
(09
< br>湖北卷理
)
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
a
n
< br>
(
)
2
（
n
为正整数）
< br>。
令
b
n
2
n
a
n
，求证数列
b
n
是等差数列，并求数列
a
n
的通项公式；
解题回顾：判断或证明数列是等差
数列的方法有：
1
定义法：
a
n
1
a
n
< br>
d
常数
n
N
<
/p>
a
n
是等差数
列
2
中项
公式法：
2
a
n
1
a
n
a
n
2
n
N
a
n
< br>是等差数列
3
通向公式法：
a
n
kn
b
k
,
b
是常数
n
N
a
n
是等差数列
4
前
n
项和公式：
s
n
An
2
Bn
A
,
B
是常数
n
N
a
n
是等差数列
判断或证明数列是等比
数列的方法
a
1
定义法：
n+1
q
q
是不为
0
的常数，
n
N
a
n
是等比数列
a
n
2
通
向公式法：
a
n
cq
n
c
,
< br>q
均是不为
0
的常数，
n
N
a
< br>n
是等比数列
3
中项公式法：
a
2
n+1
a
n
a
n+2
a
n
a
n+1
a
n+2
0
，
n
N
a
n
是等比数列
4
前
n
项和公式：
s
n
a
1
n
a
q
1
kq
n
k
,
q
1
q
1
a
1
k
是不为零的常数，且
q
0,
q
1<
/p>
a
n
是等比数列<
/p>
q
1
题型二：等差、等比数列中基本量的计算
1
、
2
、
（
1
）在等差数列
{a
n
}
中，已知
a
5
10,
a
12
31,
求数列
{a
n
}
的通项公式。
已知一个等比数列
{a
< br>n
}
中，
a
1
a
3
10,
a
4
a
5
5<
/p>
,
求其通项公式及第
4
< br>项。
4
（
2
）
设各项均为正数的数列
{a<
/p>
n
}
，
{b
n
}
满足
5
n
,5
n
,5
n
1
成等比数列，
lg
b
n
,l
g
a
n
1<
/p>
,lg
b
n
<
/p>
1
成等
差数列且
a
1
1
,<
/p>
b
1
2,
a
2
3,
①
求证：数列
a
b<
/p>
a
b
为等差数列；
②
求
a
和
b
。
n
n
n
练习：
1
、
（
09
辽宁文）已知
a
n
为等差数列，且
a
< br>7
－
2
a
4
＝－
1,
a
3
＝
0,
则公差
< br>d
＝
______
2
、
（
09
安徽文）已知
_______
。
< br>为等差数列，
，则
等于
3
、
(09
广东文
)<
/p>
已知等比数列
{
a
n
}
的公比为正数，且
a
3
·
a
9
=2
a
5
< br>，
a
2
=1
，则
a
1
= _________
。
4
、
（
09
全国Ⅰ理）
设等差数列
a
n
的前
n
项和为
< br>S
n
，
若
S
9
72
,
则
a
2
<
/p>
a
4
a
9
=
。
n
1
5.(
09
湖北卷理
)
已知数列
a
n
< br>的前
n
项和
S
< br>n
a
n
(
)
2
（
n
为正整
数）
。
2
1
2
（Ⅰ）令
b
n
2
n
a<
/p>
n
，求证数列
b
n
是等差数列，并求数列
a
n
的通项公式；
6
、
（
09
全国卷Ⅱ理）设数列
< br>{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
1
,
S
n
1
4
a
n
2
（
I
）设
b
n
a
n
1
2
a
n
，证明数列
{
b
n
}
是等比数列
（
II
）求数列
{
a
n
}
的通项公式。
题型三、等差、等比数列的综合运用题
3
、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为
21
，中间两数的
和为
18
，求这四个数。
x
d
< br>
2
2
x
d
21
x<
/p>
d
解：法
1
、可设所求的四个数为
,
x
< br>d
,
x
,
x
d
.
由
题意，
x
x
d
<
/p>
x
18
x
27
x
x
12
75
45
27
9
4
,
,
,
,
或
解得：
所以所求的四个数为
3<
/p>
，
6
，
12
，
18
；或
d
6
9
4
4
4
4
d
< br>
2
27
x
x=3
y
x
18
y
4
.
得
或
法
2
、可设四个数为
x
,
y
,18
y
,
21
x
,
则
2
18
y
< br>y
21
x
y=6
y
45
4
2
所以所求的四个数为：
3
，
6
，
12
，
18
；或
75
45
27
9
,
,
,
4
4
4
4
2
、等差、等比数列的求和公式
一、考纲要求：
掌握等差、等比数列
前
n
项和的公式。
二、知识梳理：见前一节
三。
、课前小题训练
1
、
（
09
< br>湖南卷文）
设
S
n
是等差数列
a
n
的前
n
项和，
已知
a
2
3
，
a
6
11
，
则
S
7
等于
______
。
2
、
（
09
江西卷文）公差不为零的等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
a
4
是
a
3
与
a
7
的等比中项
,
S
8
< br>32
,
则
S
10
等于
____________
。
3
、
（
09
宁夏海南卷理）
等比数列
a
n
的前
n
项和为
s
n
，
且
4
a
1
，
2
a
2
，
a
3
成等差数列。
若
a
< br>1
=1
，
则
s
4
=________
。
4
、
（
09
全
国
卷
Ⅰ
理
）
< br>设
等
差
数
列
a
n
的
前
n
项
和
为
S
n
，
若
S
9
72
,
则
a
2
a
4
a
9
=
。
5
、
（
09
浙江文）
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
< br>S
n
，则
S
4
，
S
8
S
4
，
S<
/p>
12
S
8
，
S
16
S
12
成等
差数列．
类比以上结论有：设等比数列
{
b
n<
/p>
}
的前
n
项积为
T
n
，则
T<
/p>
4
，
，
，
6
、
（
09
宁夏海南卷文）
等比数列
{
a
n
< br>}
的公比
q
< br>0
,
已知
a
< br>2
=1
，
a
n
2
a
n
1
<
/p>
6
a
n
，则
{
a
n
}
的前
4
项和
S
4
=
三、例题分析
题型一、已知等差、等比数列的前
n
项的和，求其基本量<
/p>
1
、
已知数列
{
a
n
}
中，
a
n
a
n
1
m
的值。
2
、等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
a
n
34,
a
2
a
n
< br>1
64,
前
< br>n
项和
s
n
62
，求项数
n
及公比
q
的值。
练习：
1
、
（
2009
福建卷理）等差数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
3
=6
，
a
1
=4
，
则公差
d
等
于
__________
。
2
、等差数列<
/p>
{
a
n
}
中，若
a
4
a
14
1
,
则前
17
项的和
s
17
____
_
。
3
、<
/p>
已知等差数列共有
40
项，
其奇数项的和为
15
，
偶数
项的和为
30
，
则它的公差
d=_________
。
4
、若等比数列
{
a
n
}
中
a
< br>1
1
,
a
n
5
12,
前
n
项的和为
< br>s
n
341
，则公比
q=___,
项数
n=_______
。
5
、
（
2009
北京文）若数列
{
a
n<
/p>
}
满足：
a
1<
/p>
1
,
a
n
1
2
a
n
(
n
N
)
，则
a
5
；前<
/p>
8
1
3
15
n
2,
n
N
,
a
m
，前
m
项和
s
m
，求
< br>a
1
和
2
2
2
项的和
S
8
_
_______
。
题型二、已知等差、等比数列的前
n
项和，求通项。
1<
/p>
、设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
s
n
，
s
4
1
,<
/p>
s
8
17,<
/p>
求通项公式
a
n
2
、
已知数列
{
a<
/p>
n
}
的前
n
项和为
s
n
是关于
正整数
n
的二次函数，
其图像上三个点
A,B,C
如图所
示。
（
1
）求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式，并指出
{
a
n
}
是否为等差数列，并说明理由。
（
2
）求
a
3
a
6
a
9
< br>
a
33
的值。
3
、已知
正项数列
a
n
，其前
n
和
s
n
满足
10
s
n
a
n
2
5
a
n
6,
且
a
1
,
a
3
,
a
15
成等比数列，求数
列
a<
/p>
n
的通项
a<
/p>
n
。
练
习
：
1
、
（
2009
陕
西
卷
文
）
设
等
差
数
< br>列
a
n
的
前
n
项
和
为
s
n
,
若
a
6
s
3
12
,
则
a
n
.
2<
/p>
、
（
08
宁夏）
已知数列
{
a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
1
，
a
5
5
< br>。
（
1
）求
{
a
n
}
的通项
a
n
；
（
2
）求
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
的最大值。
3<
/p>
、
（
07
福建）
等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
2<
/p>
，
S
3
9
3
2
。
（
I
）求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
与前
n
项和为
S
n
；
S
n
（
n
N
*
）
，
求证：
数列
{
b
n
}
中任意不同的三项都不可能成为等比数列。
n
4.
（
2009
江
苏
卷
）
设
a
< br>n
是
公
差
不
为
零
的
等
差
数
列
，
S
n
为
其
前
n
项
和
，
满
足
< br>（
II
）
设
b
n
（
1
）求数列
a
n
的通项公式及前
n
项和
S
n
；
a
2
2
a
3
2
a
4
2
<
/p>
a
5
2
,
S
7
7
。
（
2
）试求所有的正整
数
m
，使得
a
m
a
m
1<
/p>
为数列
a
n<
/p>
中的项。
a
m
2
题型三
、等差、等比数列和式的混合运用
1
、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为
21
，中间两数的
和为
18
，求这四个数。
2
、三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个
数的积等于
8
，求此三数。
3
、等差、等比数列的求和公式
一、考纲要求
掌握等差、等比数列前
n
项和的公式。
二、知识梳理
见前一节
三、课前小题训练
1
、已知数列
{a
n
}
是等差数列，
a
1
<
/p>
4,
a
3
8,
则
s
8
______
。
2
、在等
比数列
{a
n
}
中，
a
1
1
,
a
3<
/p>
16,
则<
/p>
s
4
____
__
。
3
、
已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
s
n
n
2
n
2,
则
a
n
___
___
。
4
、在等差数列
a
n
< br>
中，已知第一项到第十项的和为
310,
第
11
项到第
20
项的和为
910
，则
第
21
项到第
30
项的和为
_______________
。
5
、
（
2009
宁夏海南卷理）等比数列
a
n
的
前
n
项和为
s
n
，且
4
a
1
，
2
a
2
，
a
3
成等差数列
。若
a
1
=1
，则
s
4
=________
。
6
、
a
n
< br>为等差数列，
a
1
+
a
3
+
a
5
=105
，
a
2
a
4
< br>
a
6
=99
< br>，以
S
n
表示
< br>
a
n
的前
n
项和，则使
得
S
n
达到最大值的
n
是
__________
。
三、例题分析
题型一、已知等
差、等比数列的前
n
项和，求其基本量
1
、已知数列
{a
n
}
中，
a
n
a
n
1
1
3
15
n
2,
n
N
，
a
m
，前
m
项和
s
m
< br>，求
a
1
和
2
2
2