高中数学-数列总复习教案
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高中数学
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数列总复习教案下册
第五章
数列
【知识图解】
通项
一般数列
前
n
项
和
函
数
数
列
等差数列
通项公式
前
n
项和公式
中项性质
特殊数列
通项公式
等比数列
前
n
项和公式
中项性质
【
方法点拨
】
1
．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、
验证．
2
．强化基本量思想，并在确
定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．
3
．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，
< br>会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．
4
．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位
相
减法、迭加法、迭乘法等．
5
．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
< br>
第
1
课
数列的概念
【考点导读】
1
．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、
图象、
通项公式）
，了解数列是一种特殊的函数；
< br>2
．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
3
．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前
n
项和的问题。
【基础练习】
1.
< br>已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
< br>
0
,
a
n
1
a
n
3
3
a
n
1
(
n
N
*
)
，则
a
20
=
3
< br>。
分析
:
由
a
1
=0,
a
n
1
a
n
3<
/p>
3
a
n
1
(
n
N
)
得
a
2
3
,
a
3
3
,
a
4<
/p>
0
,
由此可知
:
数列
{
a
n
}
是周期变化的
,
且三
个一循环
,
所以可得
:
a
20
a
2
3
.
2
．
在数列
{
a
n
}
中，
若
a
1
1
，
a
n
1
a
n
2(
n
1)
，
则该数列的通项
a
n
2n-1
。
< br>a
1
(3
n
1)
(
n
N
*
)
，且
a
4
<
/p>
54
，则
3
．设
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
n<
/p>
2
a
1
____2__.
4
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
【范例导析】
例
1
．设数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
n
2
8
n
5
，则
（
1
）
70
是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
（
2
）写出这个
数列的前
5
项，并作出前
5
项的图象；
（
3
）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
分析：
70
是否是数列的项，只要通过解方程<
/p>
70
n
2
8
n
5
就可以知道；而作图
时则要注意数列与函数的
区别，
数列的图象是一系列孤立的点；
判断有无最小项
的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：
（
1
）由
70
n
2
8
n
5
得：
n
13
或
n
< br>
5
n
(5
n
1)
，则其通项
a
n
< br>
5
n
2
．
2
所以
70
是这个数列中的项，是第<
/p>
13
项。
（<
/p>
2
）这个数列的前
5
项是
2,
7,
10,
< br>11,
10
；
（图象略）
（
3
）由函数
f
(
x
)
x
2
8
x
< br>5
的单调性：
(
,
4)
是减区间，
(4,
)
是增区间，
所以当
n
4
时，
a
n
最小，即
a
4
最小。
点评：
该题考察数列通项的定义，
< br>会判断数列项的归属，
要注重函数与数列之间
的联系，用
函数的观点解决数列的问题有时非常方便。
例
2
．设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，点
(
n
,
上
< br>,
求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
<
/p>
S
1
(
当
n
1
时
)
分析：
根据题目的条
件利用
S
n
与
a
n
的关系：
a
n
，
（要特别注意
S
n
(
当
n
2
时
)
S<
/p>
n
)(
n
N
)
均在函数<
/p>
y
＝
3x
－
2
的图像
n
讨论<
/p>
n=1
的情况）求出数列
{
a
n
}
的通项。
解：依题意得，
S
n<
/p>
3
n
2,
即
S
n
3
n
2
2
n
。
< br>
n
2
当
n
≥
2
时，
a
n
S
n<
/p>
S
n
1
(3
n
2
2
n
)
3
< br>
n
1
2(
n
1)
6
n
5
; <
/p>
当
n=1<
/p>
时，
a
1
S
1
1
所以
a
n<
/p>
6
n
5(
n
N
*
)
。
例
3
．已知数列｛
a
n
｝满足
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
1
(
n
N
*
)
（Ⅰ
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
b
1
b
b
1
b
1
*
（Ⅱ）若数列
{
< br>b
n
}
满足
4
1
4
2
...4
n
(
a
n
1)
n
.(
n
N
)
,
证明：
{
b
n
}
是等差
数
列
;
分析：
本题第
1
问采用构造等比数列来求通项问题，第
2
问依然是构造问题。
a
n
1
1
2(
a
n
1),
解：
（
I
）
Q
a
n
1
2
a
n
1(
< br>n
N
*
),
a
n
1
<
/p>
是以
a
1
1
2
为首项，<
/p>
2
为公比的等比数列。
a
n
1
2
n
.
即
a
n
2
n
1(
n
N
*
).
b
1
b
< br>b
1
b
1
（
II
）
Q
4
1
4<
/p>
2
...4
n
(
a
n
1)
n
.
4
(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
2
< br>nb
n
.
2[(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
]
<
/p>
nb
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>
1)]
(
< br>n
1)
b
n
1
.
②；
②－①，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)
b
n
1
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
n
2
0,
< br>③
∴
nb
n
2
(
n
1)
b
n
1
2
0.
④
③－④，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb
n
<
/p>
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
b
< br>n
0,
b
n
2
b
n
1<
/p>
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
< br>b
n
是等差数列。
点评：
本小题主要考查数列、不等式等基本知识
，考查化归的数学思想方法，考
查综合解题能力。
【反馈演练】
1
．若数列
a
n
< br>
前
8
项的值各异，且
a
n
8
a
n
对任意
n
∈
N
*
< br>都成立，则下列数列中
可取遍
a
n
前<
/p>
8
项值的数列为
（
2
）
。
（
1
）
a
2
k
1
（
2
）<
/p>
a
3
k
1
（
3
）
a
4
k
1
（<
/p>
4
）
a
6
k
1
2
．设
S
n
是数列
a
n
的前
n
项和，且
S
n
=
n
2
，则
a
n
是
等差数列，但不是等比
数列
。
3
．设<
/p>
f
（
n
）
=
等于
1
1
1
1
（
n
∈
N
）
，那么
f
（
n
+1
）－
f
（
n
< br>）
n
1
n
2
n
3
2
n
1
1
。
< br>2
n
1
2
n
2
4
．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的
n
个月内累积的需求量
S
n
（万件）近似地满足
S
n
=
n
（
21
n
－
n
2
－
5
）
（
n
< br>=1
，
2
，……，
12
）
.
按此预测，
90
在本年度内，需求量超过
1.5
万件的月份是
7
月、
8
月
。
5
．在数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
1,
a
2
2
3,
a
3
4
5
6,
a
4
7
8
9
10,
则
a
10
505
。
n
2<
/p>
n
1
(
n
N
)
，
6
．数列
a
n
中，已知
a
n
3
2
< br>（
1
）写出
a
< br>10
，
a
n
1
，
a
n
2
；
（
2
）
79
是
否是数列中的项？若是，是第几项？
3
n
2
n
1
10
2
<
/p>
10
1
109
(
n
N
)
，∴
a
10
解：
（
1
）∵
a
n
，
3
3
3
a
< br>n
1
n
1
n
1
1
n
3
2
2
3
n
< br>
1
，
a
n
2
3
n
2
n
2
1
2
3
n
4
n
2
< br>1
；
3
2
n
2
n
1
（<
/p>
2
）令
79
<
/p>
，解方程得
n
15,
或
n
16
，
3
3
2
∵
n
N
，∴
n
15
，
即
79
为该数列的第
15
项。
3
第
2
课
等差、等比数列
【考点导读】
1
．掌握等差、等比数列的通项公式、前
n
项和公式，能运用
公式解决一些简单
的问题；
2
．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；
3
．注意函数与方程思想方法的运用。
【基础练习】
1
．在等差数列
{
a
n
}
中，已知
a
5
＝
10
，
a
12
＝
31
，首项
a
1
= -2
，公差
d
=
3
。
2
．一个等比数列的第
3
项与第
4
项分别是
12
与
18
，则它的第
1
项是
项是
8
。
3
．设<
/p>
a
n
是公差为正数的等差数列，若
a
1
a
2
a
3
15
< br>，
a
1
a
2
a
3
8
0
，则
a
11
a
12
a
13
105
。
16
，第
2
3
4
．
公差
不为
0
的等差数列
{
< br>a
n
}
中，
a
2
，
a
3
，
a
6
依次
成等比数列，
则公比等于
3
。
【范例导析】
例
1
．
（
1
）若一个等差数列前
3
项的和为
34<
/p>
，最后
3
项的和为
146
，且所有项的
和为
390
，则这个数列有
13
项。
（
2<
/p>
）设数列
{
a
n
}
是递增等差数列，前三项的和为
12
，前三项的积为
48
，则它的
首项是
2
。
解：
（<
/p>
1
）答案：
13
法
1
：设这个数列有
n
项
3
< br>2
S
3
a
d
1
3
2
∵
S
3
S
n
S
n
< br>
3
3
a
1
3
n
d
6
d
n
(
n
1
)
S
n
a
1
n
< br>d
2
3
(
a
1
d
)
34
∴
3
a
1
3
d
(
n
2
)
146
n
(
n
1
)
d
a<
/p>
1
n
390
2
∴
n
＝
13
法
2
：设这个数列有
n
项
∵
a
1<
/p>
a
2
a
3
34,
a
n
a
n
1
a
n
2
146
∴
(
a
1
a
n
)
(
a
2
a<
/p>
n
1
)
(
a
3
a
n
2
)
3(
< br>a
1
a
n
)
34
146
180
∴
a
1
a
n
6
0
又
n
(<
/p>
a
1
a
n
)
390
∴
n
＝
13
2
（
2
）答案
：
2
因为前三项和为
12<
/p>
，∴
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
12
，∴
a
2
＝
又
a
1
·
a
< br>2
·
a
3
＝
48
，
∵
a
2
＝
4<
/p>
，∴
a
1
·
a
3
＝
12
，
a
1
＋
a
3
＝
8
，
把
a
1
，
a
3
作为方程的两根且
a
1
＜
a
3
，
< br>∴
x
2
－
8
x
＋
12
＝
0
，
x
1<
/p>
＝
6
，
x
2
＝
2
，∴
a
1
＝
2
，
a
3
＝
< br>6
，∴选
B.
S
3
＝
4 <
/p>
3
点评：
本题考查了等差数列的通项公式
及前
n
项和公式的运用和学生分析问题、
解决问题的能力。
例
2
．
（
1
）已知数列
{log
2
(
a
n
1
)}
n
N
*
)
为等差数列，且
a
1<
/p>
3
,
a
3
9
.
（Ⅰ）
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）
证明
1
1
1
<
/p>
1
.
a
2
a
1
a
3
a
2
a
n
1
a
n
分析
：
（
1
）借助
a
1
3
,
a
3
9
.
通过等差数列的定义求出数列
{log
2
(
a
n
1
)}
n
N
*
< br>)
的公差，再求出数列
{
a
n
}
的通项公式，
（
2
）求和还是要先求出数列
{
通项公式，再利用通项公式进行求和。
解：
（
1
）设等差数列
{log
2
(
a
< br>n
1
)}
的公差为
d
，
< br>由
a
1
3
,
a
3
9
得
:
2
(log
2
2
<
/p>
d
)
log<
/p>
2
2
log<
/p>
2
8
,
即
d
=1
。<
/p>
所以
log
2
(
a
n
1
)
1
(
n
1
)
1
< br>
n
,
即
a
n
2
n
1
.
（
II
）证明：因为
1
1
1
n
1
，
n
n
a
n
1
a
n
2
< br>2
2
1
}
的
a
n
1
a
n
所以<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
L
n
a<
/p>
2
a
1
a
3
a
2
a
n
1
a
n
2
2
2
2
1
1
1
n<
/p>
2
1
1
1
.
2
2
1
2
< br>n
1
2
点评：
该题通过求通项公式，
最终通过通项公式解释复杂的不
等问题，
属于综合
性的题目，解题过程中注意观察规律。
例
3
．已知数列<
/p>
a
n
的首项
a
1
2
a
1
（
a
是常数，且
a
1
）
，
a
n
2
a
n
1
n
2
4
n
2<
/p>
（
n
2
）
，数列
b
n
的首项
b
1
a
，
b
n
a
n
n
2
（
n
2
）
。
（
1
）证明：
b
n
从第
2
项
起是以
2
为公比的等比数列；
（
2
）设
S
n
为数列
b
n
的前
n
项和，且
S
n
是等比数列，求实数
a
的值。
分析：
第（
1
）问用定义证明，进一步第（
2
）问也可以求出。
解：
（
1
）
∵
b
n
a
n
n
2
∴
b
n
1
a
n
<
/p>
1
(
n
1
)
2
2
a
n
(
n
1
)
2
4
(
n
1<
/p>
)
2
(
n
1
)
2
2
a
n
2
n
2
2
b
n
(n
≥
2)
由
a
1
2
a
1
得
a
2
4
a
，
b
2
a
< br>2
4
4
a
4
，
∵
a
1<
/p>
，∴
b
2
0
，
即
{
b
n
}
从第
2
项起是以
2
为公比的等比数列。
(4
a
4)(1
< br>
2
n
1
)
3
a
4
(2
a
2)2<
/p>
n
（
2
）
S
n
a
1
2
S
n
(2
< br>a
2)2
n
< br>
3
a
4
3
a
4
当
n
≥
2
时，
2
n
1
n
1
S
n
1
(2
a
2)2
< br>
3
a
4
(
a
1
)2
3
a
4
4
∵
{
S
n
}
是等比数列
,
∴
S
n<
/p>
(n
≥
2)
是常
数，
∴
3a+4=0
，即
a
。
3
S
n
1
点评：
本题考查了用定义证明等比数列，
分类讨论的数学思想，
有一定的综合性。
【反馈演练】
1
．已知等差数列
a
n
中，
a
2
7,
a
4
15
，则前
10
项的和
S
10
＝
210
。
< br>2
．在等差数列
a
n
中，已知
a
1
2,
a
2
a
3
13,
则
a
4
a
5
a
6
＝
42
。
3
< br>．已知等差数列共有
10
项，其中奇数项之和
15
，偶数项之和为
30
，则其公差
是
3
。
4
．如果
1,
a
,<
/p>
b
,
c
,
9
成等比数列，则
b
3
，
ac
-9
。
5
．设等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
3
=12,
S
12
>0,
S
13
< br><0.
(1)
求公差
d
的取值范围；
(2)
指出
S
1
、
S
2
、…、
S
12
中哪一个值最大，并说明理由
.
a
3
<
/p>
a
1
2
d
12
,
12
11
d
0
解：
(1)
依题意有：<
/p>
S
12
12
a
1
2
13
12
S
13
a
d
0
13
1
2
解之得公差
d
的取值范围为－
24
＜
d
＜－
3.
7
(2)
解法一：由
d
＜
0
可知
a
< br>1
>
a
2
>
a
3
>
…
>
a
12
><
/p>
a
13
,
因此，
在
S
1
，
S<
/p>
2
，…，
S
12
中
S
k
为最<
/p>
大值的条件为：
a
k
≥
0
且
a
k
+1
＜
0,
即
a
3<
/p>
(
k
3
)
d
0
a
3
(
k
2
)
d
0
∵
a
3<
/p>
=12,
∴
∵－
kd
3
d
12
12
12
，
∵
d
＜
0,
∴
2
－
＜
k
≤
3
－
d
d
kd
2
d
12
24
7
12
＜
d
＜－
3,
∴
＜－
＜
4,
得
5.5
＜
k
＜
7.
2
7
d
因为
k
是正整数，所以
k
=6,
即在
S
1
，
S
2
，…，
S
12<
/p>
中，
S
6
最大<
/p>
.
解法二：由
d
＜
0
得
a
1
>
a
2
>
…
>
a
12
>
a
13
，
因此若在
1
≤
k
≤
12
中有自然数
k
,
使得
a<
/p>
k
≥
0,
且
a
k
+1
＜
0,
则
S
k
是
S
1
，
S
2
，…，
S
12