5.导数压轴题基本问题之二——不等式恒成立求参数范围(3)
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《全国卷高考数学分析及应对》（淘宝的博
约书斋店铺）一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基
本问题，转化为这些基本问
题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数范围。
5.
导数压轴题基本问题之二——不等式恒成立求参数范围
< br>一、分离参数或直接讨论法
1.
（
2013
新课标
1
）已知函数
f
(
x
)
＝
x
ax
b
，
g
(
x
)
＝
e
(
cx
d
)
，若曲线
y
f
(
x
)
和
曲线
y
g
(
x
)
都过点
P(0
，
2)
，且在点
P
处有相同的切线
y
4
x
2
（Ⅰ）求
a
，
b
，
2
x
c
，
d
的值
（Ⅱ）若
x
≥－
2
时，
f
(
x
)
≤
kg
(
x
)
，求
k
的取值范围。
【解析】（Ⅰ）
a
=4
，
b
=2
，
c
=2
，
d
=2
（略）
（Ⅱ）法一：（直接讨论，通过特殊位置缩小参数的范围，减少讨论）
由（Ⅰ）知，
f
(
x
)
x
2
4
x
2
，
g
(
x
)
2
e
x
(
x
1)
，
x
2
设函数
F
(
x
)
=
kg
(
x
)
f
(
x
)
=
2
ke
(
x
1)
x
4
x
2
（
x
2
），
，
x
x
F
(
x
)
=
2
ke
(
x
2)
2
x
4
=
2(
x
2)(
ke
1)
F
(0)
0
2
由题设可得
F
<
/p>
2
0
，即
1
k
e
，令
F
(
x
)
=0
得，
x
1
=
ln
k
，
x
2 <
/p>
=
－
2
，
①若
1
k
e
，则－
2
＜
x
≤
0
，∴当
x
(
2,
x
)
时，
F
(
x
)
＜
0
，当
x
(
x
,
)
时，
F
(
x
)
2
1
1
1
＞
0
，即
F
(
x
)
在
(
2,
x
1
)
单调递减，在
(
x
1
,
)
单调递增，故
F
(
x
)
在
x
=
x
1
取最小值
F
(
x
1
)
，
而
F
(
x
1
)
=
2
x
1
2
x
1
4
x
1
2
=
x
1
(
x
1
2)
≥
0
，
∴当
x
≥－
2
时，
F
(
x
)
≥
0
，即
f
(
x
)
≤
kg
(
x
)
恒成立，
2
②若
k
e
，则
F
<
/p>
(
x
)
=
2
e
(
x
2)(
e
e
)
，
∴当
x
≥－
2
时，
F
<
/p>
(
x
)
≥
0
，∴
F
(
x
)
在
(
－2,+∞)单调递增，而
F
(
2)
=0
，
2<
/p>
2
x
2
∴当
x
≥－
2
时，
F
(
x
)
≥
0
，即
f
(
x
)
≤
kg
(
x
)
恒成立，
综上所述，
k
的取值范围为
[1,
e
].
2
二、通过特殊点的邻域或几何意义找答案
2.
（
2008
全国
2
第
21
题）设函数
f
(
x
)
sin
x
．
2
cos
x
（Ⅰ）求
f
(
x
)
的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何
x
≥
0
，都有
f
(
x
)
≤
ax
，求
a
的取值范围．
《全国卷高考数学分析及应对》（淘宝的博约书斋店铺）一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基
本问题，转化为这些基本问题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数
范围。
《全国卷高考数学分析及应对》（淘宝的博约书斋店铺
）一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基
本问题，转化为这些基本问题，这是解
决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数范围。
【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）令
g
(
x
)
ax
f
(
x
)
，则
（因为
g
0
0
且
g
x
0
对任意的
x
恒成立，则
g
'
0
0
，若
g
'
0
0
，则由图像知
1
x
0
必为函数的极小值点，则
g
' '
0
0
。此题由
g
'
0
0
得
a
3
，此类型的题目常常
非常特殊，在
x
0
单增，也在
0,
单增。）
法一：①当
1
时，
(2
cos
x
)
2
3
(2
cos
x
)
所以
g
x
在
0,
单增，则
g
x
g
0
0
恒成立。
a
3
1
3
g
(
x
)
a
2 cos
x
1
1
2 cos
x
1
cos
x
1
2
，
2
(2
cos
x
)
0
2
②当
0
a
时，
g
'
0
a
1
0,
g
'
a
1
0
，则
g
'
x
在
0,
必有零
点，设
3
最小的零点为
x
0
，则当
x
0,
x
0
时，
g
'
x
0
，即
g
x
在
0,
x
0
单减，从而当
x
0,
x
0
时，
g
x
g
0
0
，与题设矛盾。
1
<
/p>
综上：
a
的取值范围是
，
．
3
法二：（
f
(
x
)
≤
ax
几何意义很明显，即
y
f
x
图像恒在
y
ax
下方，因为
y
f
x
与
y
ax
恒过
0,
0
，则直线的斜率
a
大于
y
f
x
在
x
0
处切线斜率，而此类型的题目常
常非常特殊，
y
f
x
在
x
0
处切线斜率最大。）
g
(
x
)
a
(2
cos
x
)
2 cos
x
1
（由这个结构联想到二次式结构或利用均值不等式的结构）
2
3
1
2
1
1
a
3
a
．
2
2
cos
x
(2
cos
x
)
3
3
2
cos
x
则
t
4
t
4
1
）
（或令
a
t
1
2
t
2
6
t
9
a
9
a
3
t
2
cos
x
1,
g
(
x
)
a
(2
2
t
t
6
)
1
时，
故当
≥
≥
．
a
g
(
x
)
0
3
2
又
g
(0)
0
，所以当
x
≥
0
时，
g
(
x
)
≥
g
(0)
0
，即
f
(
x
)
≤
ax
．
当
0
a
1
3
时，令
h
(
x
)
sin
x
3
ax
，则
h
(
x
)
cos
x
3
a
．
<
/p>
《全国卷高考数学分析及应对》（淘宝的博约书斋店铺）一书在编者的话中把导数压轴题题
分为了四类基
本问题，转化为这些基本问题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总
结了恒成立求参数范围。
《全国卷高考数学分析及应对》（淘
宝的博约书斋店铺）一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基
本问题，转化为这些
基本问题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数范围。
x
0
arccos 3
a
h
(
x
)
0 arccos
3
a
h
(
x
)
0
在
，
，
故当
时，
．因此
上单调增加．
故当
x
(0
，
arccos
3
a
)
时，
h
(
x
)
h
(0)
0
，即
sin
x
3
ax
．
于是，当
x
(0
，
arccos
3
a
)
时，
f
(
x
)
当
a
≤
0
时，有
f
0
≥
a
．
π
1
π
sin
x
sin
x
ax
．
2
cos
x
3
2
22
1
因此，
a
的取值范围是
，
．
3
点评：这样的题目，全国卷多次考查，但也有例外，如下。
变式：已知函数
f
x
ax
cos
x
,
x
0,
<
/p>
（
1
）
讨论
f
x
单调性；
（
2
）
若
f
x
1
sin
x
恒成立，求
a
的取值范围。
点评：此题如果改为
f
x
1
sin
x
，解法如上。函数可以改为
ax
1
sin
x
cos
x
，由
图像容易得到答案。
三、直接转化为最值且极值点易求
由
f
'
x
0
0
得
x
0
a
，得到单调区间和最值
f
x
0
0
，全部消掉，得到关于
a
的超越不等式，找零点找单调性即可。
x
1
3.
已知函数
f
(
x
)
ln(
ax
1)
x
1
,
a
R
．
（
1
）若
f
(
x
)
在
x
1
时取到极值，求
a
的值及
f
(
x
)
的图象在
x
1
处的切
线方程；
（
2
）当
x
0
时，
f
(
x
)
ln 2
恒成立，求
a
的取值范围．
解析：（
1
）
f
'
(
x
)
，
2
2
ax
1
(1
x
)
(
ax
1)(1
x
)
∵
f
(
x
)
在
x
1
时取到极值，∴
f
'(1)
0
，解得
a
1
故在
x
1
处的切线方程为：
y
ln 2
a
2
ax
2
a
2
ax
2
a
2
（
2
）由定义域知：
ax
1
0
对于
x
0
恒成立，可得
a
0
f
'(
x
)
1
)(1
x
)
2
(
ax
①当
a
0
时，在
(0,
)
上，
f
'(
x
)
0
恒成立，所以此时
f
(
x
)
在
(0,
)
递减
《全国卷高考数学分析及应对》
（淘宝的博约书斋店铺）一书在编者的话中把导数压轴题题分为了四类基
本问题，转化为
这些基本问题，这是解决压轴题的基本思路，从六个方面总结了恒成立求参数范围。