最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案
-
最新北师大版高中数学选修
4-4
测试题全套及
答案
第一讲
一、选择题
(
本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分，在
每小题给出的四小选项中，
只有一项是符合题目要求的
)
．
1
．原点与极点
重合，
x
轴正半轴与极轴重合，则点
(
－
2
，－
2<
/p>
3)
的极坐标是
(
)
π
4
，
A<
/p>
．
3
2π
－
4
，－
C
．
3
解析：
由直角坐标与极坐标互化公式：
y<
/p>
ρ
2
＝
x
2
＋
y
2
，
tan
θ
＝
(
x
≠
0)
．
x
把点
(
－
2
，－
2
3)
代入即可得
ρ
＝
4
，
tan
θ
＝
3
，
4π
因为点
(
－
2
，－
2
3)
在第三象限，所以
θ
＝
.
3
答案：
B
2
．在极坐标系中有如下三个结论：①点
P
在曲线
C
上，则点
P
的极坐标满足曲线
C
π
的极坐标方程；②
tan
θ
＝
1
与
θ
< br>＝
表示同一条曲线；③
ρ
＝
3
与
ρ
＝－
3
表示同一条曲线．在
4
这三个结论中正确的是
(
)
A
．①③
C
．②③
B
．①
D
．③
4π
4
，
B
．
3
2π
4
，
D
．
3
解析：
在直角坐标系内，曲线
上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，
曲线上一点的所有坐标不一定都适
合方程，故①是错误的；
π
5π
tan
θ
＝
1
不仅表示
θ
＝
这条射线，还表示
θ
＝
这条射线，故②亦不对；
ρ
< br>＝
3
与
ρ
＝－
4
4
3
差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为
3
的圆，故③正确．
答案：
D
x
2
y
2
3
．可以将椭圆
＋
＝
1
变为圆
x
2
＋
y
2
＝<
/p>
4
的伸缩变换
(
)
10
8
5
x
′＝<
/p>
2
x
A
．
2
y
′＝
y
2
x
′＝
x
C
．
5
y
′＝
2
x
B
．
2
x
′＝
5
x
y
′＝
2
y
5
x
′＝
2
x
D
．
2
y
′＝
y
x
2
y
2
2
x
2
y
2
解析：
方法一
：将椭圆方程
＋
＝
1
化为
＋
＝
4
，
10
8
5
2<
/p>
2
x
2
y
2
∴
＝
4
，
＋
5
2
2
x<
/p>
′
＝
x
，
5
令
y
y
′
＝
，
2
即
x
2
＋
y
2
＝
4<
/p>
，
得
x
′
2
＋
y
′
2
＝
4
，
5
x
′
＝
2
x
，
∴伸缩变换
为所求．
< br>2
y
′
＝
y
方法二
：将
x
2
＋
y
2
＝
4
改写为
x
′
2
＋
y
′<
/p>
2
＝
4
，
x
′
＝
λx
λ
>0
，
设满足题意的伸缩变换为
y
′
＝
μy
μ
>0
<
/p>
，
代入
x
′
2
＋
y
′
2
＝
4
得
λ
< br>2
x
2
＋
μ
2
y
2
＝
4
，
λ
2
x
2
μ
2
y
2
即
＋
＝
1
，
< br>
4
4
x
2
y
2
与椭圆
＋
＝
1
比较系数得
< br>
10
8
μ
1
4
＝
8
，
2<
/p>
λ
2
1
＝
，
4
10
2
λ
＝
，
5
解得
1
μ
＝
2
，
2
x
′
＝
x<
/p>
，
5
∴伸缩变换为
1
y
′
＝
y
，
2
答案：
D
5
x
′
＝
2
x
，
即
.
2
y
′
＝
y
θ
4
．极坐标方程
4
ρ
sin
2
＝
5
表示的曲线是
(
)
2
A
．圆
C
．双曲线的一支
B
．椭圆
D
．抛物线
解析：
若直接由所给方程很难断定它
表示何种曲线，
因此通常要把极坐标方程化为直
角坐标方程，加
以研究．
1
－
cos
θ
θ
4
ρ
·
sin
2
＝
4
ρ
·
＝
2
ρ
－
2
ρ
cos
θ
＝
5
，化为直角坐标方程：
2
x
2
＋
y
2
－
2
x
＝
5
，化简，
2
2
25
得
y
2
＝
5
x
＋<
/p>
.
4
故该方程表示抛物线．
答案：
D
π
4
，
作曲
线
C
的切线，则切线
5
．在极坐标方程中，曲线
C
的方程是
< br>ρ
＝
4sin
θ
，过点
6
长为
(
)
A
．
4
C
．
2
2
B
．
7
D
．
2
3 <
/p>
π
4
，
化为直角坐标为
(2
3
，
解析：
ρ
＝
4sin
θ
化为普通方程为
x
2
＋
(
y
－
< br>2)
2
＝
4
，
点
2)
，
6
切
线
长
、
圆
心
到
定
点
的
距
离
及
半
径
构
成
< br>直
角
三
角
形
，
由
勾
股
定
理
：
切
线
长
为
2
3
2
＋
2
－
< br>2
2
－
2
2
＝
2
2
.
答案：
C
6
．已知点
P
的坐标为
(1
，
π)
，则过点
P
且垂直极轴的直线方程是
(
)
A
．
ρ
＝
1
1
C
．
ρ
＝－
cos
θ
B
．
ρ
＝
cos
θ
<
/p>
1
D
．
ρ
＝
cos
θ
解析：
由
点
P
的坐标可知，
过点
P
且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为
x
＝－
1
，
即
ρ
cos
θ
＝－
1
，故选
C
．
答案：
C
7
．圆
ρ
＝
4cos
θ
的圆心到直线
tan
θ
＝
1
的距离为
(
)
A
．
2
2
B
．
2
D
．
2
2
C
．
2
π
解析：
圆
ρ
＝
4cos
θ
的圆心
C
(2,0)
，
如图所示，
|
OC
|
＝
2
，
在
Rt
△
COD
中，
∠
ODC
＝
，
2
π
∠
COD
＝
，
4
∴
|
CD
|
＝
2.
答案：
B
8
．在极坐标中，与圆
ρ
＝
4sin
θ
相切的一条直线方程为
(
)
A
．
ρ
sin
θ
＝
2
C
．
ρ
cos
θ
＝
4
B
．
ρ
cos
θ
＝
2
D
．
ρ
cos
θ
＝－
4
π
2
，
，半径
为
r
＝
2
，<
/p>
解析：
圆<
/p>
ρ
＝
4sin
θ
的圆心为
2
对于选项
A
，方程
ρ
sin
θ
＝
2
对应的直线
y
＝
2
，与圆相交；
<
/p>
对于选项
B
，方程
ρ
cos
θ
＝
2
对应的直线
x
＝
2
，与圆相切；
选项
C
，
D
对应的直线与
圆相离．
答案：
B
π
θ
＋<
/p>
(
r
＞
0)
的公共弦所在直线的方程为
(
)
9
．圆
ρ
＝
r
与圆
ρ
＝－
2
r
sin
4
A
．
2
ρ
(sin
θ
< br>＋
cos
θ
)
< br>＝
r
C
．
2
ρ
(sin
θ
< br>＋
cos
θ
)
< br>＝
r
B
．
2
ρ
(sin
θ
< br>＋
cos
θ
)
< br>＝－
r
D
．
2
ρ
(sin
< br>θ
＋
cos
θ
< br>)
＝－
r
解析：
圆
ρ
＝
r
的直角坐标方程为
x
2
＋
y
2
＝
r
2
①
π
θ
＋<
/p>
圆
ρ
＝－
2
r
sin
4
π
π
sin
θ
cos
＋
cos
θ
sin
＝－
2<
/p>
r
(sin
θ
＋
cos
θ
)
．
＝－
2
r<
/p>
4
4
两边同乘以
ρ
得<
/p>
ρ
2
＝－
2
r
(
ρ
sin
θ
＋
ρ
cos
θ
)
，
∵
x
＝
ρ
cos
θ
，
y
＝
ρ
sin
θ
，
ρ
2
＝
< br>x
2
＋
y
2
，
∴
x
2
＋
y
2
＋
2
rx
＋
2
ry
＝
0
②
①－②整理得
2(
x
＋
y
)
＝－
r
，
即为两圆公共弦所在直线的普通方程．
再将直线
2(
x
＋
< br>y
)
＝－
r
化为极坐标方程为
2
ρ
(cos<
/p>
θ
＋
sin
θ<
/p>
)
＝－
r
.
答案：
D
π
1
，
的最
近距离等于
(
)
10
．极坐标系内曲线
ρ
＝
2cos
θ
上的动点
P
与定点
Q<
/p>
2
A
．
2
－
1
C
．
1
<
/p>
B
．
5
－
1
D
．
2
解析：
将曲线
ρ
＝
2cos
θ
化成直角坐标方程为
(
x
－
1)
2
＋
y
2
＝
1
，
点
Q
的直角坐标为
(0,1
)
，
则
P
到<
/p>
Q
的最短距离为点
Q
与圆心的距离减去半径，即
2
－
1
.
答案：
A
二、填空题
(
每小题
5
分，共
20
分．把正确答案填在题中的横线上
)
π
11
．在极
坐标系中，由三条直线
θ
＝
0
，
θ
＝
，
ρ
cos
θ
＋
ρ
sin
θ
＝
1
围成图
形的面积是
3
________.
解析：
三
条直线在直角坐标系下的方程依次为
y
＝
0
，
y
＝
3
x
，
x
＋
y
＝
1.
如图可知
，
1
S
△<
/p>
POQ
＝
×
|<
/p>
OQ
|
×
|
y
p
|
2
3
－
3
1
3
＝
×
1
×
＝
.
2
< br>4
3
＋
1
答案：
3
－
3
4
π
π
4
，
绕极点逆时针旋转
得到点
B
，且
|
OA
|
12
．已知极坐标系中，极点
为
O
，将点
A
6
4<
/p>
＝
|
OB
|
，则点
B
的直角坐标
________.
5π
4
，
，
解析：
依题意，点
< br>B
的极坐标为
12
∵
cos
π
π
5π
＝
cos
4
＋
6
12
π
π
< br>π
π
＝
cos
cos
－
sin
sin
4
6
4
6
＝
＝<
/p>
sin
2
3
2
1
×
－
×
2
2
2
2
6
－
2
，
4
π
< br>π
5π
＝
sin
4
＋
6
12
π
π
π
π
＝
sin
cos
＋
cos
sin
4
6
4
6
＝
6
＋
2
2
3
2
1
×
＋
×
< br>＝
，
2
2
2
2
4
6
－
2
＝
6
－
2
，
4
∴
x
＝
ρ
cos
θ
＝
4
×
y
＝
ρ
sin
θ
＝
4
×
6
＋
< br>2
＝
6
＋
2.
4
∴点
B
的直角坐标为
(
6
－
2
，
6
＋
< br>2)
．
答案：
(
6
－
2
，
6
＋
2)
13
．从
极点作圆
ρ
＝
2
a
cos
θ
的弦，则各条弦中点的轨迹方程为
________.
a
a
，
0
为圆心，
为半径的圆．求得方程是
ρ
＝
< br>解析：
数形结合，易知所求轨迹是以
< br>
2
2
π
π
－
≤
θ
≤
.
a
cos
θ
2
2<
/p>
π
π
－
≤
θ
≤
答案：
ρ
＝
a
cos
θ
2
2
3
3
9
14
．点
A
的直角坐标为
－<
/p>
，则它的球坐标为
________.
2
，
2
，
3
解析：
r
＝
3
3
2
＋
9
< br>2
＋
3
2
＝
6.
2
2
9
2
3
1
π
cos
φ
＝
＝
，∴
φ
＝
.tan
θ
＝
＝
3
，
6
2
3
3
3
2
π
∴
θ
＝
< br>，
3
π
π
6
，
，
.
∴它的球坐标为
3
3
π
π
6
，
，
答案：
3
3
三、解答题
(
本
大题共
4
小题，共
50
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
)
1
5
．
(12
分
)
设极点
O
到直线
l
的距离为
d
，由点
O
向直线
l
作垂线，由极轴
到垂线
OA
的角度为
α
(
如图所示
)
．求直线
l
的极坐标方程．
解析：
在直线
l
上任取一点
M
(
< br>ρ
，
θ
)
．
在直角三角形
OMA
中，
由三角知识得<
/p>
ρ
cos(
α
－
θ
)
＝
d
，
d
即
ρ
＝
.
这就是直线
l
的极坐标方程．
cos
α
－
θ
16
．
(12
分
)
在平面直角坐标系中，已知
点
A
(3,0)
，
P
是圆
x
2
＋
y
2
＝
1
上的一个动点，且
∠
AOP
的平分线交
P
A
于
Q
点，求
Q
点的轨迹
的极坐标方程．
解析：
以圆心
O
为极点，
x
轴正半轴为轴建立坐标系，
设
Q
(
ρ
，
θ
)
，
P
(1,2
θ
)
．
< br>
因为
S
△
OAQ
＋
S
△
OQP
＝
S
△
OAP
，
1
1
1
所以
·
3
ρ
·
sin
θ
＋
ρ
·
s
in
θ
＝
×
3
×
1
×
sin
2
θ
.
2
2
2
3
整理得
ρ
＝
cos
θ
.
2
2
17
．<
/p>
(12
分
)
已知
⊙
C
：
ρ
＝<
/p>
cos
θ
＋
sin
θ
，直线
l
：
ρ
＝
2
.
求⊙
C
上点到直线
l
距离
π
cos
θ
＋
4
的最小值．
解析：
⊙
C
的直角坐标方程是
x
2
＋
y
2
－
x
－
y
＝
0
，
1<
/p>
1
1
x
－
2
＋
y
－
2
＝
.
即
< br>
2
2
2
又直线
l
的极坐标方程为
ρ
(cos
θ
－
sin
θ
)
＝
4
，<
/p>
所以直线
l
的
直角坐标方程为
x
－
y
－
4
＝
0.
1
2
1
2
设
M
＋
cos
θ
，
＋
sin
θ
为⊙
C<
/p>
上任意一点，
M
点到直线
l
的距离
2
2
2
2
d
＝
1
＋
2
cos
θ
－
1
2
－
4
＋
sin
θ
<
/p>
2
2
2
2
2
π
θ
＋
4
－
cos
4
＝
，
2
7π
3
3
2
当
θ
＝
时，
d<
/p>
min
＝
＝
.
4
2
2
18<
/p>
．
(14
分
)<
/p>
在直角坐标系
xOy
中，以
O
为极点，
x
轴正半轴为极
轴建立极坐标系．曲线
π
θ
－
＝
1
，
M
，
N
分别为
C
与
x
轴，
y
轴的交点．
C
的极坐标方程为
ρ
cos
3
(1
)
写出
C
的直角坐标方程，并求
M
，
N
的极坐标；<
/p>
(2)
设
MN
的中点为
P
，求直线
< br>OP
的极坐标方程．
π
θ
－
＝
1
，
解析：
(1)
由
ρ
cos
3
1
3
得
ρ
cos
θ
＋
sin
θ
＝
1.
2
2
1
3
从而
C
的直角坐标方程为
x
＋
y
＝
1
，
2
2
即
x
＋
3
y
＝
2.
当
θ
＝
0
时，
ρ
＝
2
，得
M
(2,0)
；
π
2
3
2
3
π
当
θ
＝
< br>时，
ρ
＝
，得
< br>N
.
2
3
3
，
2
2
3
<
/p>
(2)
M
点的直角坐标为
(2,0)
，
N
点的直角坐标
为
0
，
.
3
所以<
/p>
P
点的直角坐标为
1
，
3
，
3
<
/p>
则
P
点的极坐标为
2
3
π
.
3
，<
/p>
6
π
所以直线
OP
的极坐标方程为
θ
＝
，
ρ
∈
R
.
6
第二讲
一、选择题
(
本大题共
10
小题，每小题
5
分，共<
/p>
50
分，在每小题给出的四个选项中，
只
有一项是符合题目要求的
)
x
＝－
1
－
t
1
．极坐标方程
ρ
＝
cos
θ
和
参数方程
(
t
为参数
)
所表示的图形分别是
(
)
y
＝
2
＋
3
t
A
．圆、直线
C
．圆、圆
解析：
∵
ρ
＝
cos
θ
，
∴
x
2
＋
y<
/p>
2
＝
x
，
x
＝－
1
－
t
∴表示一个圆．由
<
/p>
y
＝
2
＋
3
t
B
．直线、圆
D
．直线、直线
得到直线
3
x
＋
y
＝－
1
.
答案：
A
x
＝－
2
＋
t
，
2
．直线
(
t
为参数
)
被圆
(
x
－
3)
2
＋
(
y
＋
1)
2
＝
25
所截得的弦长为
(
)
y<
/p>
＝
1
－
t
A
．
7
2
C
．
82
x
＝－
2<
/p>
＋
t
，
解析：<
/p>
y
＝
1
－
t
1
B
．
40
4
< br>D
．
93
＋
4
3
x
＝－
2
＋
2
2
·
2
t<
/p>
，
⇒
2
y
＝
1
－
·
2
t
，
2
令
t
′
＝
x
＝－
2
＋
2
2
t
′
，
2
t
，把
2
y
＝
1
－
t
′
2
代入
(
x
－
3)
2
＋
(
y
＋
1)
2
＝
25.
整理，得
t
< br>′
2
－
7
2
t
′
＋
4
＝
0
，
|
t
′
1
－
t
′
2
|
＝
t
< br>′
1
＋
t
′
2
2
－
4
t
′
1
t
′
2
＝
82.
答案：
C
x<
/p>
＝
3cos
θ
θ
是参数，
0
＜
θ
＜
π<
/p>
，
3
．
点集
M
＝
x
，
y
|
N
< br>＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋
b
}
，
若
M
∩
N
≠
y
＝
3sin
θ
∅
，则
b
满足
(
)
A
．－
3
2
≤
b
≤
3
2
C
．
0
≤
b
≤
3
2
解析：
用数形结合法解．
答案：
D
x
＝
x<
/p>
0
＋
t
cos<
/p>
α
→
4
．已知直
线
(
t
为参
数
)
上的两点
A
、
B
所对应的参数分别为
t
1
、
t
2
，且
AP
y
＝
y
0
＋
< br>t
sin
α
< br>B
．－
3
＜
b
＜
3
2
D
．－
3
＜
b
≤
3
2
→
＝
λ
PB<
/p>
(
λ
≠－
1)<
/p>
，则点
P
所对应的参数为
(
)
< br>t
1
＋
t
2
A
．
2
t
1
＋
λt<
/p>
2
C
．
1
＋
λ
答案：
C
5
．已知集合
A
＝
{(
x<
/p>
，
y
)|(
x<
/p>
－
1)
2
＋
y
2
＝
1}
，
y
y
＝－
1
B
＝
< br>x
，
y
x
·
x
－
2
t
1
＋
t
2
B
．
1
＋
λ
t
< br>2
＋
λt
1
D
．
1
＋
λ
，
k
π
ρ
< br>＝
2cos
θ
，
θ
≠
，
k
∈
Z
，
C
＝
ρ
，
θ
4
< br>
x
＝
1
＋
cos
θ
，
θ
≠
k
π
，
k
∈
Z
，
D
＝
x
，
y
< br>
y
＝
sin
θ
下列等式成立的是
(
)
A
．<
/p>
A
＝
B
C
．
A
＝
C
B
．
B
＝
D
D
．
B
＝
C
解析：
集合
B
与
D
都
是曲线
(
x
－
1)
2
＋
y
2
＝
1(
x
≠<
/p>
0
，
x
≠
2)
．
答案：
B
x
＝
r
<
/p>
cos
φ
＋
φ<
/p>
sin
φ
<
/p>
6
．已知圆的渐开线
< br>(
φ
为参数
)
< br>上有一点的坐标为
(3,0)
，则渐开线对
y
＝
r
< br>
sin
φ
－
< br>φ
cos
φ
< br>
应的基圆的面积为
(
)
A
．
π
C
．
4π
解析：
把已知点
(3,0)
代入参数方程得
<
/p>
3
＝
r
cos
φ
＋
φ
sin
φ
，
①
0
＝
r
sin
φ
－
φ
cos
φ
.
②
B
．
3π
D
．
9π
①
×
cos
φ
＋②
×
si
n
φ
得
r
＝<
/p>
3
，
所以基圆的面积为
9π.
答案：
D
x
＝
2
t<
/p>
，
7
．
过抛物线
(
t
为参数
)
的焦点的弦长为
2
< br>，
则弦长所在直线的倾斜角为
(
)
y
＝<
/p>
3
t
π
A
．
3
π
C
．
6
π
2π
B
< br>．
或
3
3
π
5π
D
．
或
6
6
2
3
3
解析：
将抛物线的参数方程化成普通方程为
y<
/p>
2
＝
x
，它的焦
点为
8
，
0
.
设弦所
在直
2
y
＝
x
，
2
3
线的方程为
y
＝
k
x
－
8
，由
x
－
3
，
y
＝
k
8
2
3
消去
y
，得
6
4
k
2
x
2<
/p>
－
48(
k
2<
/p>
＋
2)
x
＋
9
k
2
＝
0
，
设弦的两端点坐
标为
(
x
1
，
y
1
)
，
(
x
2
，
y
2
)
，
则
|
x
< br>1
－
x
2
|
＝
x
1
＋
x
2
2
－
4
x
1
x
2
＝
k
＋
2
< br>
2
9
3
·
4
k
2
－
16<
/p>
＝
2
2
π
2π
解得
k
＝
±
3.
故倾斜角为
或
3
3
答案：
B
x
＝<
/p>
3sec
θ
8
．
下列双曲线中，
与双曲线
(
θ
为参数
)
的离心率和渐近线都相同的是
(
)
y<
/p>
＝
tan
θ
y<
/p>
2
x
2
A
．
－
＝
1
3
9
y
2
2
C
．
－
x
＝
1
3
x
2
y
2
解析：
双曲线的普通方程为
－
＝
< br>1
3
1
离心率为
2
2
3
3
< br>＝
，渐近线为
y
＝
±
x
3
< br>3
3
y
2
x
2
B
．
－
＝－
1
3
9
y
2
2
D
．
－
x
＝－
1
3
y
2
x
2
B
中
－
＝－
1
3
9
x
2
< br>y
2
2
3
3
即
－
＝
1
其离心率为
，渐近线为
y
＝
x
，
< br>9
3
3
3
故与原双曲线的离心率及渐近线相同．
答案：
B
9
．已知点
P
在椭圆
< br>x
2
＋
8
y
2
＝
8
上
，且
P
到直线
l
：
x
－
y
＋
4
＝
0
的距离
最小，则
P
点坐
标是
< br>(
)
8
1
－
，
A
．
<
/p>
3
3
C
．
(0
，
±
1)
1
8
B
．
3
，
< br>3
D
．
(±
2
2
，
0)
x
＝
1
＋
5cos
θ
解析：
设
(
θ
为参数
)
y
＝－
2
＋
5sin
θ
取
x
－
2
y
＝
1
＋
5c
os
θ
＋
4
－
2
5sin
θ
＝
5
＋
5co
s
θ
－
2
5s
in
θ
＝
5
＋
5sin(
θ
－
φ
)
．
故最大值为
10.
答案：
B
x
＝
3
t
，
10
．已知直
线
l
：
(<
/p>
t
为参数
)
，抛
物线
C
的方程
y
2
＝
2
x
，
l
与
C
交于<
/p>
P
1
，
P
2
，
y
＝
2
－
t
则点
A
(0,2)
到
P
1
，
P
2
两点距离之和是
(
)
A
．<
/p>
4
＋
3
C
．
4(2
＋
3)
B
．
2(2
＋
3)
D
．
8
＋
3
<
/p>
x
＝－
2
3
t
′
，
解析：
把直线参数方程化为
< br>
1
y
＝
2
＋
t
′
2
代入
y
2<
/p>
＝
2
x
，
求得
t
′
1
＋
t
′
2
＝－
4(2
＋
3)
，
(
t
′
为参数
)
，
t
< br>′
1
t
′
2
＝
16>0
，知在
l
上两点
P
1
，
P
2
都在
< br>A
(0,2)
的下方，
则
|
AP
1
|
＋
|
AP
2
|
＝
|
t
′
1
|
＋
|
t
′
2
|
＝
|
t
′
1
＋
t
′
2
|
＝
4(2
＋
3)
．
答案：
C
二、填空题
(
本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分，把答案填在题中横线上
)
11
．
如图所示，
齿轮的
廓线
AB
为圆的渐开线的一段弧．
已知
此渐开线的基圆的直径为
225
mm
，则此渐开线的参数方程为
________.
答案：
225
y
＝
2
sin
t
－
t
cos
t
225
x
＝
cos
t
＋
t
sin
t
2
(
t
为参数
)
y
＝
sin
θ
＋
1<
/p>
，
12
．在直角坐标系
< br>xOy
中，已知曲线
C
的参数方
程是
(
θ
是
参数
)
，以
O
x
＝
cos
θ
为极点
，
x
轴的正半轴为极轴，则曲线
C
的极坐标方程可写为
________.
解析：
由题意知，曲线
C
：
x
< br>2
＋
(
y
－
1)
2
＝
1
，
即
x<
/p>
2
＋
y
2
－
2
y
＝
0
，
所以
(
ρ
cos
θ
)
2
＋
(
ρ
sin
θ
)
2
－
2
ρ
< br>sin
θ
＝
0
，
化简得
ρ
＝
2sin
θ
.
答案：
ρ
＝
2sin
θ
x
2
y
2
13
．点
M
(
x
，
y
)
在椭圆
＋
＝
1
上，则点
M
到直线
x
＋
y
－
4
＝
0
的距离的最大值为
12
4
________
，此时点
M
的坐标是
________.
x
＝
2
3cos
θ
，
解析：
椭圆的参数方程为
(
θ
为参数
)
，
y
＝
2sin
θ
则点
M
(2
3cos
θ
，
2sin
θ
)
到直线
x
＋
y
－
4
＝
0
的距离
|2
3cos
θ
＋
2sin
θ
－
4|
d
＝
2
＝<
/p>
4sin
θ
＋
π
－
4
3
2
.
π
3
当
θ
＋
＝
π
时，
d
max
＝
< br>4
2
，
3
2
此时
M
(
－
3
，－
1
)
．
答案：
4
2
(
－
3
，－
1) <
/p>
x
＝
2
＋
2
t
cos
α
cos
α
14
．若曲线
y
2<
/p>
＝
4
x
与直线<
/p>
(
t
为参数<
/p>
)
相切，则
＝
_
_______.
cos
β
y
＝－
4
＋
t
cos
β
x
＝
2
＋
2
t
< br>cos
α
解析：
∵
，
y
＝－
4
＋
t
cos
β
∴
x
－
2
cos
α
＝
2
＝
2
m
，
y
＋
4
cos
β
cos
α
其中
< br>m
＝
，
cos
β