面积——等面积法
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面积法在中学数学解题中的巧用
利用同一图形
的面积相等，
可以列方程计算线段的值，
或证明线段间的数量<
/p>
关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证
明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”
的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题
就是根据题目给出的条件，
利用等积变换原理和有关面积计算
的
公式、
定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法
,
巧设未知元
,
可
获
“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式
1
< br>（
1
）矩形的面积公式：
S=<
/p>
长
宽
（
2
）三角形的面积公式：
S
ah
2
（
3
）平行四边形面积公
式
:
S=
底
高
1
（
4
）梯形
面积公式
: S=
(
上底
+
下底
)
高
2
（
5
）对角线互相垂直的四边形：
S=
对角线乘积的一半（如正方形、菱形等）
有关面积的公理和定理
1
、面积公理
（
1
）全等形的面积相等；
（
2
）一个图形的面积等它各部分面积之和；
2
、相关定理
（
1
）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个
共底的三角形
面积相等；
如下图
S
△
ACD
=
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
（
2
）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应
理解为两底的和相等）的
面积相等；
（
3
）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高
的三角形、
平行四边形面积之比等于其底之比；
（
4
）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；<
/p>
（
5
）在两个
三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面
积相等；
< br>
（
6
）等底等高的平行四边形
面积是三角形面积的
2
倍。
一个长方形分成
4
个不同的三角形，绿色三角形
面积是长方形面积的
15%
，
黄色三角
形的面积是
21
平方厘米。问：长方形的面积是
__________
平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等
解题。
如图，矩形
ABCD
中，
AB=3cm
，
A
D=6cm
，点
E
为
< br>AB
边上的任意一点，四边形
EFGB
< br>也是矩形，且
EF=2BE
，则
S
△
AFC
9
cm
2
如图，
在四边形
ABCD
中，
动点
P
从点
A
开始沿
A
→
B
→
C
→
D
的路径匀速前进
到
D
为止。在这个过程中，△
APD
的面积
S
随时间
t
的变化关系用图象表示正确
的是（
）
D
C
A
P
B
等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可以列方程计
算线段的值。
已知直角三角形两直角边长分别为
5
和
12
，斜边上的高为<
/p>
_________
AH
是菱形
ABCD
的高，且
AC=6
< br>，
BD=8
，则
AD=____
把矩形
OABC
放置在直角坐标系中<
/p>
, OA
＝
6,OC
＝
8
，若将矩形折叠，使点
B<
/p>
与
O
重合得到折痕
EF,
求
OB
、折痕
EF
的长。（提示：
BFOE
是菱形，利用菱形的面积
1
等于
EF<
/p>
OB
又等于
E
B*OA
，列方程求出折痕
EF
的长<
/p>
.
）
2
A
F
O
25
40
E
35
C
30
B
D
如图，由图中已知的小三角形的面
积的数据，求三角形
ABC
的面积？
2
10
平行四边形
ABCD
中
AC
与
BD
交于点
O
，
AB=10
，
AD=8
，
O
到
AB
的距离为
2
，则
O
到
BC
的距离为
__
在平行四边形
ABCD
中，∠
BAD=30
0
，
AB=5cm
，
A
D=3cm
，
E
为
CD
上的一个点，
且
BE=2cm
，则点
A
到直线
BE
的距离为
______
。
正方形
ABCD
内接于圆
O
，
E
是
CD
的中点，圆的半径为
2
，则点
O
到
BE
的距
离为
____
_
如图，矩形
ABCD
中
AB
＝
a
，
BC
＝
b
，
M
是
BC
< br>的中点，
D
，
E
是垂足
EA
M
E
求证：
D
2
a
b
< br>4
a
b
2
2
等面积法的应用三：利用同一
图形的面积相等，可以列方程证明线段间的
数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程
，将相等的高或底约去，可以计
算或证明。
< br>三边长分别为
6
、
8
、
10
的三角形的三条高的比分别为
____
看图，写代数恒等式
:__________________
如图，边长为
a
的正
△
ABC
内有一边长为
b
的内接
正
△
DEF
，则
△
AEF
的
内切圆半径为
3
(
a
b
)
6
如图，已知
P
为等边三角形
ABC<
/p>
内一点，过
P
作三垂直，三角形
ABC
的高为
h.
试说
明
PD
PE
PF
h
A
F
P
E
B
D
C
已知
P
为边长是
3
的等边三角形
ABC
内一点，
则
P
点到三边的距离之和为
___
求证：
等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰
上的高
（运用面积法
可以证明），等腰三角形底边延长线上任一
点点到两腰距离的差等于腰上的高。
3
请应用上述结论完成下题：已知直线
y
3
x
3
和直线
y
x
3
，在直线
4
3
y
3
x
3
上有一
点
P
，且点
P
到直线
y
x
3
的距离是
2
，求
P
点的坐标
4
已知
:
如图，
C
是线段
AB
上的一点，△
ACD
、△
BCE
都是等边三角形，
AE
、
BD
相交于
O
。
求证：∠
AOC=
∠
BOC
（
提示：过点
C
作
CP
< br>⊥
AE
，
CQ
< br>⊥
BD
）
已知：如
图，
AD
是
的角平分线。求证：
A
B
C
AB
BD
AC
DC
已知：如图，
AD
是△
ABC
的中线，
CF
⊥
AD
于
F
，
BE
⊥
AD
交
AD
的延长线于
E
。<
/p>