复杂图形的比例与面积
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复杂图形的比例与面积
基础知识：
1.
三角形面积由两个因素决定：底
和高
两个三角形，底相等，面积比等于高的比；
两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.
在四
边形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
交于点
O
，
（
1
）
（
2
）
（
3
）
；
；
。
3.
如图，在梯形
ABCD
中，存在以下关系：
（
1
）左、右部分的面积相等，即
S
3
＝
S
4
；
（
2
）
S
1
︰
S
2
︰
S
3
︰
S
4
＝
< br>
4.
燕尾定理：
在三角形
中，
AD
，
，
相交于同一点
，
那么
< br>1
.
例
1.<
/p>
图中三角形
ABC
的面积是
180
平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长
是
AE
长的
3
倍，
EF
的长是
BF
长的
3
倍
.
那么三角形
AEF
的面积是
多少平
方厘米
?
【答案】
22.5
[
答疑编号
5]
【解答】△
ABD
，
ABC
等高，所以面积的比为底的比，
有
厘米）
.
同理有
,
所以
180
＝
90
（平方
（平方厘米），
×30＝
22.5
（平方厘米）
.
即三角形
AEF
的面积是
22.5
平方厘米
.
例
2.
如图
1
，
5
个正方
形拼在一起，图中三角形
ABC
部分的面积是
< br>60
，
2
则正方形的边长是
.
[
答疑编号
5]
【答案】
10
【解答】比较有相同底
边的两个三角形
ABC
和
BCD
，它们的
高的比是
3:2
，因此三角形
BCD
的面积是
<
/p>
形
ACD
的面积是
60
＋
40
＝
100.
注意
ACD
的底边是小正方形边长的
2
倍，
而高就是小正
方形的边长，所以它的面积与一个小正方
形的面积是相等
的，
应该都是
100<
/p>
，
所以小正方形的边长就是
10
（
因为
10×10
＝<
/p>
100
）
.
.
于是三角
例
3.
如图
2
，在
15
个
小正方形拼成的长方形中，三角形
ABC
的面积是
120
（其中
C
是大长方形
的对角线与
B
所在竖线的交点）
.
那么小正方形的
3
边长是
.
【答案】
10
[
答疑编号
5]
【解答】如下图，三角形
ABC
与三角形
< br>BCD
的底边都是
BC
，
而高的比是
3∶2，
所以三角形
BCD
的面积是
三角形
AB
D
的面积就是
120
＋
8
0
＝
200
。
三角形
A
BD
的面积是大三角形
ADG
的面积减
去三角形
，
那么
ABE
、长方形
BEGF
、三角形
BDF
的面积，也就是等于
个小正方形
的面积，
因此每个小正方形的
面积是
2
00÷2＝
100
，那么边长为
10<
/p>
。
例
4.
如图，四边形土地的总面积是
52
公顷，两条对角线把它分成了
4
个小三角形，
其中
2
个
小三角形的面积分别是
6
公顷和
7
公顷
.
那么
4
个小
4
三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷
?
【答案】
21
【解答】
[
答疑编号
5]
,
所以，
三角形
ABO
的面积是
18
公顷，
三角
形
BOC
的面积是
21
公顷
.
所以，
最大的三角形<
/p>
的面积为
21
公顷
.
例
5.
已知
ABCD
< br>是一个梯形，
BO
＝
3
OD
，
AD
＝
4
，
S
△
ABO
＝
12
，则梯形的高
是多少？
梯形的下底
BC
是多少？
[
答疑编号
5]
【答案】
12
5
【解答】
由于△
ABO
和△
AOD
是等高的三角形
，
并且
BO
＝
3
OD
，
可得
S
△
ABO
＝
3
S
△
AOD
，
因此
S
△
A
OD
＝
4
，
这
样
S
△
ABD
＝
12
＋
4
＝
16
。
换
一个
角度去观察钝角三角形
ABD
，将
AD
作为它的底，将
B
作为它的顶点。
从而根据
S
△
AB
D
＝
16
和
A
D
＝
4
可知△
ABD
在底
边
AD
上的高为
16×2÷4＝
8
，而这
个高也是梯形的高。
由于△
ABC
和△
DBC
是同底等高的三角形，所以
S
△
ABC
＝
S
△
DBC
，从而
S<
/p>
△
ABO
＝
S<
/p>
△
DOC
＝
12
。由于△
DOC
和△
< br>OBC
是等高的
三角形，并且
B
O
＝
3
OD
，
可得
S
△
OBC
＝
3
S
△
D
OC
，因此
S
△
OBC
＝
36
，
这样
S
△
DBC
< br>＝
12
＋
36
< br>＝
48
。
下面可以用两种方法去求
BC
的长度，如果把
AD
看成
△
ABD
的底边，
把
BC
看成△
DBC
的底边，
那么△
ABD
和△
DBC
是等高的，
由于
S
△
DBC
是
S
△
ABD
的
3
倍，
所以
BC
＝
3
AD
，
从而
BC
＝
12
。
或者可以利用梯形面积的计算公式去求
BC
的长度
，由
于梯形的面积＝
4
＋
12
＋
12
＋
36
＝
64
，
梯形的高为
8
，
梯形的
上底
AD
＝
4
，
于是下底
BC
＝64×2÷8－
4
＝
12
。
< br>
例
6.
如图，
ABCD
是梯形，三角形
ADE
面积是
1.8
，三角形
ABF
的面积
6
< br>是
9
，三角形
BCF
的面积是
27.
那么阴影部分面积是多少？
【答案】
4.8
[
答疑编号
5]
【解答】设△
ADF
的面积为“上”，△
< br>BCF
的面积为“下”，
△
ABF
的
面积为“左”，△
DCF
的面积为“右”.
左＝右＝
< br>9
；上×下＝左×右＝9×9＝
81
，而下＝
27
，
所以上＝81÷2
7＝
3.
△
ADE
的
面积为
1.8
，那么△
AEF
的面积为
1.2
，
则
EF<
/p>
：
DF
＝
：
＝
1.2
：
3
＝
0.4.
△
CEF
与△
CDF
的面积比也为
EF
与
DF
的比，
所以有
S
△
ACE
＝0.4×
＝0.4×（
3
＋
9
）＝
4.8.
即阴影部分面积为
4.8.
例
7.<
/p>
如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC
＝<
/p>
2
DE
，
F
是
DG
的中
点
.
阴影部分的面积是多少平方厘米
?
[
答疑编号
5]
7
【答案】
【解答】如下图，连接
FC
，△
DBF
、
△
BFG
的面积相等，设
为
x
平方厘米，
△
FGC
、
△
DFC
的面积相等，
设为
y
平方厘米，
那么△
DEF
的面积为
y
平方厘米
.
所以有
.
比较②、
①式，
②式左边比①式左边多
2
x
，
②式右
边比
①式右边大
0.5
，
有
< br>2
x
＝
0.5
< br>，即
x
＝
0.25,
y
＝
0.25.
而阴影部分面积为
y
＋
y
＝
×0.25＝
平方厘米
.
＝
2
x
＋
2
y
＝
1
，
＝
x
＋
y
＝l×
＝
.
例
8.
如图，正方形
ABCD
的边长是
12
，
BF
＝
CE
＝
4
，则四边形
ABOD
的
8
面积是
.
【答案】
[
答疑编号
5]
【解答】
如图，
假设△
OBF
和△
OEC
的面积分别为
< br>x
和
y
，
那
么△
OCF
和△
< br>OED
的面积就分别为
2
x
和
2
y
.
根据△
BEC
和
△
OCF
的面积，可以列方程组得：
化简即得：
解得
，
.
<
/p>
所以四边形
ABOD
的面积为：
12×12
-
＝
.
9