(完整版)奥数格点与面积
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学科：奥数
教学内容：第六讲
格点与面积
生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，
如为了能捕到鱼，
人们制作了
鱼钩和网。同
样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”
。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”
。见下图：
这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，
我们把水平线和垂直线的交点称为
“格点”
，
水平线和垂直线围成的每个小正方
形称为“面积单位”
。图中带阴影的小方格就是一个面积
单位。
借助格点图，
我们可以很快的比较或
计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常
有两种思路，
一是直接将图形分成若干个面积单位，
然后通过计算有多少个面
积单位来求图
形面积；
二是将某些图形转化成长方形的面积来求
。
当然还可以将这两种方法结合起来，
求
出某些较复杂图形的面积。
例
1
计算下图中各图形的面积：
分析：
先
仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含
多少个面积
单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用
虚线把这
些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：
（
1
）图中长方形包括
3
×
2=6
（个）面积单位，所以它的面积为
6
。
（
2
）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为
3
×
2=6
，而平行四边形的
面积等
于长方形面积，所以平行四边形的面积为
3
×
< br>2=6
。
（
< br>3
）将图中三角形用虚线分成
3
块，它包含有
1
个面积单位和
2
个面积单位的一半，
合起来有
2
个面积单位，所以它的面积为
2
。
< br>
（
4
）图中将三角形扩展成一
个长方形，长方形的面积为
3
×
2=6
，而三角形面积为长方
形面积的一半，则三角形面积为
3
。
（
5
）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，
但面积
一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为（
2
＋
4
）×<
/p>
3=18
，而梯形的面积为长方
形的面积
的一半。所以梯形的面积为：
（
2
＋<
/p>
4
）×
3
÷
2=9
。
（
6
）将图中梯形用虚线分成
3
块，它包含有
5
个面积单位和
2
个面积单位的一半，合
起来有
6<
/p>
个面积单位，所以它的面积为
6
。
例
2
计算下面这个格点多边形的面积。
分析：
这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用
长方形的面积减去
4
个直角三角形的面积，如图
1
所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图
2
。
解答：
方法一：
3
×
4<
/p>
－（
2
×
1
÷
2
＋
2
×
1
÷
2
＋
2
×
2
< br>÷
2
＋
3
×
1
÷
2
）
=6.5
（面积单位）
方法二：
1
×
2
÷
2
＋
1
×
3
÷
2
＋
1
×
1
÷
2
＋
3
×<
/p>
1
÷
2
＋
1
×
2=6.5
（面
积单位）
例
3
相邻
四点连成的小正方形面积为
1
平方厘米。
分别连接各点，组成下面
12
个图
形，你发现有什么排列的规律？
算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点子数、
中间的点子数与面积三者之间的关系。
分析：
仔细观察图形：
横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不
变；
竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐
渐增多。
图形一周的格点数、
中间的
格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没
有个点、中间有一个格点和中
间有两个格点进行分组列表分析。
第（
1
）组
图形编号
一周格点数
中间格点数
面积（平方厘
米）
①
4
0
1
②
6
0
2
③
8
4
0
3
④
1
0
6
中
间没有格点时，面积
=
一周格点数÷
2
－
1
第（
2
）组
图形编号
一周格点数
中间格点数
面积（平方厘
米）
⑤
4
1
2
⑥
6
1
3
⑦
8
4
1
4
⑧
1
1
7
中
间有一个格点时，面积
=
一周格点数÷
2
＋（
1
－
1
）
第（
3
）组
图形编号
一周格点数
中间格点数
面积（平方厘
米）
⑨
4
2
3
⑩
11
6
2
4
12
8
4
2
5
1
2
8
中
间有两个格点时，面积
=
一周格点数÷
2
＋（
2
－
1
）
解答：
（
1
）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增
加；当一周的格
点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。
（
2
）各图形的面积见
表格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有
关系，格点图形的面积计算公式是：
图形面积
=
图形一周的格点数÷
2
＋（
中间格点数－
1
）
< br>说明：
格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。
例
4
下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：
分析：
这是一个组合图形，
面积可分成几个部分来求。
本图可分为两个三角形和一个长
方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，
而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：
左边三角形面积
=4
×
4
－
1
×
2
÷
2
－<
/p>
4
×
3
÷
2
－
4
×
2
÷
2=5
；
右边三角形面积
=4
×
4
－
1
×
3
÷
2
×
2
－
4
×
4
÷
2
－
< br>1
×
1=4
；
< br>
长方形的面积为
6
×
2=12
；
所以礼
盒面积为：
5
＋
4
＋
12=21
说明：
此题还可以
直接用公式，请你自己试一试。
例
5
在下图中有
21
个点，每相邻三点构成
一个单位面积的等边三角形，计算三角形
ABC
的面积。
分析：
此题是一
个三角形格点图。
每三个相邻的格点构成一个正三角形，
为一个
面积单
位。
三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面
积的计算，
可以直接数图形所包含
的面积单位，也可将之转化为
几个易求的三角形，在通过加减运算得到。此题中三角形
ABC
的面积不能通过直接数格点面积来求，
可以把它扩展成三一个大三角形，
再减；
也可以把它
分成几个小的三角形，然后再加。<
/p>
解答：
方法一：给三角形
ABC
添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由
2
5
个单位三
角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ
三个小三角形的面积即可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积
的一半，
如图
4
中的虚线平行四边形。
这个平行四边
形包含
6
个面积单位，所以他的面积为
6
，三角形Ⅰ的面积为：
6
÷
2=3
同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为
4
和
8
，所以三角形
ABC
的面积为：
25
－
3
－
4
－
8=10
（面积
单位）
方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图<
/p>
3
）
。Ⅰ的面积为
1
×
3=3
，Ⅱ的面
积可直接数为
1
，Ⅲ的面积为
1
×
2=2
，Ⅳ的面积为
2
×
2=4
，于是三角形<
/p>
ABC
的面积为：
3
＋
1
＋
2
＋
4=10
。
想一想：
以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用
1
×
3
计算？可联系方法一
中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：
< br>关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。
可<
/p>
以按照例
3
的方法归纳总结，就可以得到
三角形格点多边形面积的计算公式：
三角形格点多边形的面积
=
多边形内包含的格点数×
2
＋多边形周界上的格点数－
2
。
例
6
在下图中有
45
个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水<
/p>
平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形？
分析：
如果要在图中找一个面积为<
/p>
8
的格点三角形很容易，
但是要求出有多
少个这样的
格点三角形就有些困难，
不过功夫不负有心人，
一定能找到方法。
注意到待计数的格点三
角
形的底与高的乘积为
16
，所以可以
分类计数。
解答：
因为
16=4
×
4=2
×
8=8
×
2
，所以可
以分为以下几类来计数：
（
1
）每个
4
×
4
的正方形中有
4
个直角三角形符合要求，总数
为
4
×
5=20
（个）
；
（
2
）每个
2
×
8
的长方形中也有
4
个直角三角形符
合要求，总数为
4
×
3=12
（个）
；
（
3
）符合要求的不是直角三角形的三角形有：
4
×
4
，
状的有：
5
×
7=
35
（个）
；
状的有：
35
个；
状的有：
5
×
3=15
（个）<
/p>
；
8
×<
/p>
2
，
2
×
8
，
状的有：
15<
/p>
个；
状的有：
21
个；
状的有：
< br>9
个；
状的有：
3
×
7=21
（个）
；
状的有：
3<
/p>
×
3=9
（个）
；
共有：
（
35
＋
15
＋
21
＋
9
）×
2=160
（个）
所以符合要求的
三角形一共有：
20
＋
12
＋
160=192
（个）
阅读材料
有形状的数
最早把自然数和几何图形
联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯把数描
绘
成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，寻找自然数与正三角形、正方形、正五
边形……之间的关系。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是<
/p>
1
、
3
、
6
、
10
等数时，小
石子都能摆成正三角形，
他把这些数叫做三角形数；
当小石子的
数目是
1
、
4
、
9
、
16
等
数时，
小石子都能摆成正方形，
他把这些数叫做正方形数；当小
石子的数目是
1
、
5
< br>、
12
、
22
< br>等数时，小石子都能摆成正五
边形，他把这些数叫做
正五边形数……
< br>毕达哥拉斯还摆出了其它多边形数。
有趣的事，
他还进一
步发现了各种
“形数之间的内