第十二讲 求图形面积的几种常用方法
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第十二讲
求图形面积的几种常用方法
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加
减法、旋转法、构造法、
等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。<
/p>
A
、割补法：
对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼
补在一起，
才便于计算，
在剪割、
拼补过程中，
一定要注意割下来的图形和补上去的图形的
形状、大小必须完全一样。
【例
1
】如
图，每个小圆的半径是
2
厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘
米？
【分析与解】
如图，通过剪割、
拼补，阴影部分的面积
就变成了圆的面积减去正方形的面积，
则
阴影部分面积为：
S
阴
影
=S
圆
－
S
正方形
=
π×
4
2
－
4
×
< br>4
÷
2
×
4=50.24
－
32=18.24(
平方
厘米
)
【例
2
】右图中三个圆的半径都是
4
厘米，三个圆两
两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘
米？
【分析与解】
如图，三个阴影部
分的面积都相等，只
需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以
考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，
则阴影部分的面积
=3
。
14
×
4
×
4
÷
2=25
。
12
（
平方厘米）
B
、加减法：
注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形
变可以得到。
我们把这种通过加、
减就
能求出它的面积的方法，
我们的把它称为
“加减法”
。
【例
3
】如图，正方形的边长为
4
厘米，求阴影部分的面积
是多少？
【分析与解】
如图，
显然阴影部分的面积
=
扇形的面积
－
空白
c
的面积，
而空白
c
的面积<
/p>
=
正方形的面积－扇形的面积，
即
S
阴
影
=S
扇
－（
S
正
－
S
扇
）
= S
扇
－
S
正
＋
S
扇
= S
扇
＋
S
扇
－
S
正
即
S
扇
＋<
/p>
S
扇
比
S
正
的面积多了
b
那部
分的面积，即
b= [(b
＋
c)
＋
(b
＋
a)]<
/p>
－
(a
＋
b<
/p>
＋
c)
阴影部分的面积，
S
阴
=
π×
< br>4
2
÷
4
×
2
－
4
×
4=25.12
－
16=9.12(<
/p>
平方厘米
)
。
【例
4
】如图，长方形的长为
12
厘米，宽为
8
厘米
，求阴影部分的面积
是多少？
【分析
与解】
如图，
S
阴
影
= S
大扇
－
< br>S
a
= S
大扇
－
(S
长
－
< br>S
小扇
) = S
大
扇
＋
S
2
2
－
S
长
=
π×
12
÷
4
＋π×
8
÷
4
－
12
×
8=163.28
－
96=67.28
（平方厘米）
C
、旋转法：
在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼
在一
起，变成另一个比较方便求的图形。
A
D
【例
5
】
如图，梯形
ABCD
的上底是
3
厘米，下底是
5
厘米，高是
4
厘米，
< br>E
是梯形的中点。求阴影部分的面积是
多少？
【分析与解】
如图，
由
于
E
是梯形的中点，
若以
E
为圆
心，
将三角形
BEC
绕反时针方向放置，
使
C
点与
D
点重合，显然可得，
阴影部分的面积
与三角
形
ABE
的面积相等，所以阴影部分的面积
=
梯形
a
小扇
b
E
B
A
B
D
E
C
C
B
60
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
面积的一半
=
（
3
＋
4
）×
4
÷
2<
/p>
÷
2=8
（平方厘米）
< br>。
D
、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从
而求得阴影部分的面积。
【例
6
】
将三角形
ABC
的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角
形
ABC
的面积是
6
平方厘米，求大六边形的面积。
【分析与解】
要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角
形
的顶点
A
、
B
、
C
的三条边对六边形进行等分，
就很
容易
得出，六边形的面积是三角形面积的
13
< br>倍，故所求面
积为：
6
×
13=78
（平方厘米）
【例
7
】<
/p>
如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是
18
0
平方厘米，
求甲乙两个小正方形有面积各是多少？
1
【分析与解】
经过等
分，
可以得到，
甲的面积占正方形面积的一半的
，
2
即甲的面积为
180
÷
2
÷
2=45
（平方厘米）
；
乙的面积占正方形面积的一半的
4
，即乙的面积
=180
÷
2
÷
9
×
4=40
（平方厘米）
。
9
E
、抓不
变量：
若甲比乙的面积大
a
，则甲和乙
同时加上或减去相同的数，它们的大小
不变，
而图形发生变化，
再通过变化后的图形进行求解，
就可以使问题得到简便；
若两个面
积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍
然相等。
【例
8
】如图，已知半圆的
AB=20
（厘米）
，阴影①比阴影②面积大
57
平方厘米，求直
角三角形的高
BC
的长
？
【分析与解】
根据条件，可以求得
半圆的面积为：
3.14
×
10
×
10
÷
2=157
（平方
②
厘
米）
，又“阴影①比阴影②面积大
57
平方厘米”
，若阴影①和阴影②都加上空白部
分，则半圆的面积
比三角形的面积大
57
平方厘米，因此可求得三角形面积是
157
－
57=100
（平方厘米）
，高
BC
为：
100
×
2
÷
20=10
（厘米）
F
、
“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条
边为底，在它的
对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。
【例
9
】
一个长方形长边为
12
厘米，宽
AB=8
厘米，
E
是
BC
上一点，
AE
长
10
厘米，
AE
和
DF
互相垂直，
DF
长是多少厘米？
A
D
【分析与解】
如图，如果连接
DE
，则可得三角形
ADE
的面积是长
方形面积的一半，
由
“
AE
和
DF
互相垂直”
，
可知
DF
是三角形
ADE
的高，
F
则
DF=12
×
8
÷
2
×
2
÷
10=9.6(
厘米
)
A
B
C
①
B
E
C
61
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
【例
10
】
如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，
a
已知其中的三部分的面积分别是
17
、
45
、
34
平方厘米，则阴影部分的
17
b
面积是多少平方厘米？
45
c
34
【分析与解】
首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的
一半，
所剩下的部分也是长方形的一半，
为了能比较清楚的表示它们之间的关系，
不妨用字
母
a
、
b
、
c
来表示其余部
分的面积。显然有
a
＋
b
＋
c=a
＋
17
＋
45
＋
c
＋
34
，所以阴影部分的
面
积
b=17
＋
45
＋
34=96
（平方厘米）
【另解】
也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必
有重叠面积等于
外露面积。
b
是重叠面
积，
17
、
45
、
34
都是外露面积，
所以有
b=17
＋
45
＋<
/p>
34=96
（平方厘米）
G
、等积
变换：
根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而
使问题解决得到简便。
【例
11
】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方
形的边长是
6
厘米，求图
中阴影部分的
面积是多少平方厘米？
【分析与解】
根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。
但是，如果我们连接
< br>BD
，再仔细观察三角形
ACD
与三角形
ABC
，不难
得出它们都是以
小正方形的对角线
AC
为底，以梯形
A
BDC
的高为高，
所以三角形
ACD<
/p>
的面积
=
三角形
ABC
的面积
=
小正方形面积的一半，
所
以阴影部分的面积
=6
×
6
÷
2=18
（平方厘米
）
。
2<
/p>
【例
12
】
三角
形
ABC
的面积为
60
平方厘米，
AE=ED
，
BD
=
BC
，
3
求阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析与解】
BC
看成
3
份，
DC
就是
1
份，由“
AE=ED
”可得
三角形
ABE
的面积
=
三角形
BDE
的面积。又以
BD
为底的三角形在
A
E
F
C
A
B
D
C
图上有三角形
BDE
和三角形
BDF<
/p>
，所以需要连接的线有
EC
或
DF
，
B
D
如果连接
EC
，则会发现三角形
< br>AEF
与三角形
BED
的联系不
大；如
果连接
DF
，
< br>则有三角形
AEF
与三角形
EF
D
的面积相等，
阴影部分的面积变变成为三角形
BFD
的面积。这时我们把三角形
FDC
的面积看作
1
份，三角形
B
DF
的面积就是
2
份，三角形
ABF
的面积
=
三角形
BDF
的面积，所以三角形
ABF
的面积也为
2
份，三角形
< br>ABC
的面积就被平分
成了
1<
/p>
＋
2
＋
2=5<
/p>
（份）
，阴影部分的面积为：
60
÷
5
×
2=24
（平方厘米）
。
H
、
构造法
：
就是根据已知数据的特殊性，
构造出一个我们比较熟悉的图形
来进行解答。
这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，
在这里
我们主要讲如何将直角三角形构造成正方
形来计算的题型。
【例
13
】
一个等腰直角三角形的斜边长
6
厘米，求它的面积？
【分析与解】
如果我们用四个同样的等腰直角三
角形就可以构造成
6
6
6
一个正方形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的
4
倍。
所求直角三角形的面积是
6
×
6
÷
4=9
（平方厘米）
。
62
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
【例<
/p>
14
】一个直角三角形的斜边长
10
厘米，两直角边相差
6
厘米，求它的面积？
【分析与解】
如果我们用四个同样的
直角三角形就可以构造成一个空心
方形，
正方形中阴影部分的面
积
=
大正方形的面积－小正方形的面积，
小
正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积
=
（
10
×
10
－
6
×
6
）÷
4=16
（平方厘米）
。
I
、比例法：
如果两个三角形的高相等，则它们面积的
比等于它们底的比；如果两个三
角形的底相等，
则它们面积的比
等于它们高的比；
如果两个长方形的宽相等，
则它们面积的比就
等于长的比。
【例
15
】如图，在梯形
ABCD
，两条对角线相交于
O
，下底是上底的
3
倍，三角形
AOD
的面积是
12
平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？
【分析与解】
在梯形
ABCD
中，容易得出三角形
AOB
的面积
=
三角形
DOC
的
面
积
=12
平
方
厘
米
；
又
AO
：
OC=OB<
/p>
：
OD=AB
：
DC=1
：
3
，
12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,
则梯形的面积为：
12
＋
12
＋
4
＋
36=64
（平
方厘
A
12
正
D
O
C
D
12
B
A
12
a
O
b
B
C
米）
。
【例
16
】
如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积
分别是：
4
、
6
、
21
平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？
【分析与解】
设阴影部分的面积是
x<
/p>
平方厘米，则有
4
：
6=x
：
21
，则阴
影部分
x
的面积
=21
×
4
÷
6=14<
/p>
（平方厘米）
。
4
x
6
21
J
、利用
r
2
和
r
3
代换：
有解有关圆和圆柱的题目时，如果没有告诉半径以及没有
给出
求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出
r
2
和
r
< br>3
即可。
< br>【例
17
】如图，阴影部分的面积为
20
平方厘米，求圆环的面积是多少？
< br>【分析与解】
圆环的面积
=
大圆
面积－小圆面积
=
π
R
2
－π
r
2
< br>=
π
(R
2
－
r
2
);
2
2
而
R
所
表示的意义为大正方形的面积，
r
所表示的意义为小正方形的面
积，
(R
2
－
r
2
)
恰好表示阴影部分的面积，所以
圆环的面积
=
π
(R
< br>2
－
r
2
)=3.14
×
20=62.8
（平
方厘米）
。
【例
18
】一个正方体的体积
50<
/p>
立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高
与正方体的棱长都相等，求
这个圆柱体的体积？
【分析与解】
设
正方体的棱长为
a,
圆柱体的底面半径为
r
，
高为
h
，
则有
a
3
=
50,r=h=a,V=
∏
r
2
h=
∏
a
3
=3.14
×
50=157
（立方厘米）
63
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
解法练习题
12
A
、割补法：
1
、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
图
1
—
1
图
1
一
2
6
6
图
1
—
5
图
1
20
—
4
6
4
图
6
1--7
图
1--8
8
a
b
2
2
2
图
1--10
图
1--11
图
1
—
3
4
图
4
1
--6
图
16
1--9
小圆半径为
2
图
1--12
64
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
10
每个扇形的半径都为
2
小圆半径为
3
图
1--13
图
1--14
每个扇形的半径都为
5
图
1--16
B
、加减法：
2
、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
6
8
10
图
2
--1
14
10
图
2--3
10
、
图
2--
5
6
图
1--15
60
0
3
图
2--2
6
4
图
2--4
3
4
45
0
6
5
图
2--6
65
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
6
6
8
8
图
2
--9
A
B
D
AC=2
图
C
2--13
5
图
2--8
4
4
图
2--10
5
4
图
2
--12
4
4
图
2--14
66
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
乙
甲
12
图
2
--15
4
2
2
图
2--17
求两阴影的面积之差
C
、旋转法：
3
、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
10
10
图
3--1
2
图
4
3--3
A
O
1
O
2
AB=17
B
O
1
O
2
=10
=
图
2--16
2
3
45
0
2.4
图
2
--18
29
正方形
49
图
3--2
13
12
13
12
图
3--4
67
第十二讲
求图形面积的几种常用方法
D
、等分法：
4
、下列每个正六边形的面积都是
36
平方厘米，求图形中阴影部分的面积。
5
、四个相同的正六边形，每个面积都是
6
平
方厘米，求图形中三角形的面积
。
6
、如图所示，四个等腰直角三角形
和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积
是
5
平方厘米，求长方形的面积
。
7
、
E
是长方形的中点，求阴影部分的面积与长方形的面积的比。
图
4--1
图
4--2
图
4--3
A
F
D
D
E
C
8
、
长方形
ABCD
的长是
15
厘米，宽是
8
厘米，
E<
/p>
、
F
是中点，求阴影部分的面积。
A
B
E
D
F
C
68