穿根法解高次不等式
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穿根法解高次不等式
一．
方法
:
先因式分解
,
再使用穿根法
.
注意
:<
/p>
因式分解后
,
整理成每个因式中未知数的
系数为正
.
使用方法
:
①
在数轴上标出化简后各因式的根
,
使等号成立的根
,
标为实点
,
等号
不成立的根要标虚点
.
②
自右向左自上而下穿线
,
< br>遇偶次重根不穿透
,
遇奇次重根要穿透
< br>(
叫
奇穿偶不穿
).
③
数轴上方曲线对应区域使“
>
”成立
,
下方曲线对应区域使“
<
”成
立
.
例
1:
解不
等式
(1)
(x+4)(x+5)
2
(2-x)
3
<0
x
2
-4x+1
(2)
≤
1
3x
2
-7x+2
解
:
(1)
原不等式等价于
(x+4)(x+5)
2
(x-2)
3
>0
根据穿根法如图
不等式
解集为
{x
∣
x>2
< br>或
x<-4
且
x
≠
5}.
(2x-1)(x-1)
(2)
变形为
≥
0
(3x-1)(x-2)
根据穿根法如图
-5
-4
2
1
3
1
2
1
2
不等式解集为
1
1
{
x
x<
或
≤
x
≤
1
或
x>2}.
3
2
【例
2
】
解不等式：
(1)2x
3
-x
2
-15x
＞
0
；
(2)(x+4
)(x+5)
2
(2-x)
3
＜
0
．
【分析】
如果多项式
f(x)
可分解为
n
个一次式的积，
则一元高次不等式
f(x)<
/p>
＞
0(
或
f(x
)
＜
0)
可用“穿根法”求解，但要注
意处理好有重根的情况．
解：
(1)
原不等式可化为
x(2x+5)(x-3)
＞
0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图<
/p>
(5
－
1)
的阴
影
部分．
(2)
原不等式等价于
(x+4)(x+5)
2
(x-2)
3
＞
0
< br>∴原不等式解集为｛
x|x
＜
-
5
或
-5
＜
x
＜
-4
或
x<
/p>
＞
2
｝．
【说明】
用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
的
．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．
x
．
．
系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照
(2)
的解法转化为不含重
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．
．
．
．．．．．．．．
．
根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意
“奇穿偶不穿”
．其法
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．
如图
(5
－
2)
．
．
．．
．
．
．
．
．