穿根法解不等式及习题
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穿根法解不等式
穿根法，又称序轴标根法，是
解一元整式、分式不等式的重要
通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地
位。然而，
该方法目前尚未进入中学正式教材，
在很多资料中，
对此法也往往是
只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模
糊。现结合中学一线
教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性
的论述。
一、
原理
穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：
< br>f(x)=(x-x
1
)(x-x
2
)
…
(x-x
n
)>0
（或
<0
）
的标准形式，主要考察
f(x)
的符号
规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线
，类似
于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上
标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）
一
次不等式
标准形式：
f(x)=x-x
1
>0
（或
<0
）
我们将
x-x
1=
0
的根
x
1
标在序轴上，可以发现：
x
1
右边的
点都是
大于
x
1
的点，即是
x-x
1
>0
的解；而
x
1
左边
的点都是小于
x
1
的
点，即是
x-x
1
<0
的解。
所以可以如图标注，图中
+
、
-
用以表示
f(x)=x-x
1
的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点
x=a
从
x
1
右侧
向
x
1
左侧移动时，<
/p>
f(x)=x-x
1
经历了由正到
0
又到负的符号变换。
由此
< br>也可得出
f(x)
的符号可以如图标注的结论。
（二）
二
次不等式
标准形式：
f(x)=(x-x
1
)(
x-x
2
) >0
（或
<0
）
(1) x
1
≠
x
2
时，不妨设
x
< br>1
、
2
将
f(x
)=0
的二根
x
1
x
2
标在序轴上，
则可以发现：
处于
(-
∞<
/p>
, x
1
)
，<
/p>
(x
2
,+
∞<
/p>
)
内的点满足
f(x) >0
，
处于
(x
1
,x
2
)
内的
点满足
f(x) <0
。
当我们动态考察该问题时，我们也可
以发现：当点
x=a
在
x
2
右方时，
x-x
1
、
x-x
2
均正，故有
f(x) >0
；而当
点
x=a
从
x
2
右侧移动到左
侧时，
x-x
2
变为负值，
而
x-x
1
符号不变，<
/p>
所
以有
f(x)
必然变号，
此时由正变负；
而再当点
x
=a
从
x
1
右
侧移动到左
侧时，
x-x
1
由正变负，而
x-x
2
符
号不变，所以
f(x)
又一次变号，此时
由负变正。
总之，无论从哪个方面看，
f(x)
的符号都可以如图标注。
(2) x
1
=x
2
时，即形如
f(x)=(x-x
1
)
2
时
<
/p>
显然，
(-
∞
,
x
1
)
与
(
x
1
,+
∞
)
都是
f(x)
>0
的解。
而若动态的考察此问题，则有
点
x=a
从
x
1
右侧移
动向左侧移动时，
由于平方项内的
x-x
1
由正到
0
又到负，
所以
f(x)
经历了由正到
0
又回
到正的过程。故而
f(x)
在
x
1
两侧符号同正
，只有在
x=x
1
处为
0
。
（三）
高
次不等式
标准形式：
f(x)=(x-x
1
)(
x-x
2
)
…
(x-x
n
)>0
（或
<0
）
，
x
1
≤
x
2
≤……
≤
x
n
(1)
x
1
所以有 <
br>x=a <
br>右侧移动到左侧时， 必然变号，或
(i=1,2,…,n) <
br>为奇，则
<
br>）
2
<
…
n
时
动态考察
f(x)
的符号，
则有当点
x=a
在<
/p>
x
n
右方时，
x
-x
i
(i=1,2,…,n)
均大
于
0
，故而
f(x) >0
；而当点
x=a
从
x
n
右侧移动到左侧时，
x-x
n
符
号变化，
而其余任一<
/p>
x-x
i
均不变号，
f(x)
由正变负；
类似可
得：
对任一
i
，当点
从
x
i
x-x
i
符
号变化，而其余
每个
x-x
j
(j
≠
i)
都
不变号，所以有
f(x)
由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个
x
i
都恰有一个因式
x-x
i
变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，
这正是穿根法的原理和名称由来。
(2)
x
1
≤
x
2
≤……
≤
x
n
且有等号成立时
其标准形式可写为
f(x
)=(x-x
1
)
m1
(x-x
2
)
m2
…
(x-x
n
)
mn
>0
（
或
<0
）
，
x
1
2<
/p>
<
…
n ,
m
i
∈
N
*
(i=1,2,…,n)
当点
x=a
在
x
n
右方时，所有
x-x
i
均为正，故而
f(x)
为正。而每当
x=a
从
x
i
右侧移动到
x
i
左侧时，若
m
i
(x-x
i
)
mi
由正变负，
f(
x)
符号改变；而若
m
i
为偶，则
(x-x
i
)
mi
符号不变，
f(x)
符
号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当
x=x
i
成立，即有
f(
x)=
0
。所以，使用穿根法当遇到
m
i
为奇，则穿根线在
根
x
i
穿过序轴；当遇到
m<
/p>
i
为偶，则穿根线与根
x
i
接触即回，好像被
序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回
”
。
二、
步骤
（一）
一元高次不等式
对于不等式
f(x) >0
，其中
f(x)
为
x
的高
次多项式，用穿根法解的
步骤如下：
（
1
）整理——原式化为标准型
把
f(x)
进行因式分解，并
化简为下面的形式：
f(x)=(x-x
1
)
m1
(x-x
2
)
m2
…
(x-x
n
)
mn
>0
（或
<0
，
m
i
∈
N
*
(i=1,2,…,n)
（
2
）
标根——在序轴上标根
将
f(x)=0
的
n
个不同
的根
x
1
,x
2
,
……
x
n
按照大小顺序标在序轴上，
将序轴分为
n+1
个区间。
（
3
）
画线——画穿根线
从最大根右上方开
始，按照大
小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，
作为穿根线
。
遇奇次根
穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”
。
（
4
）
选解——写出解集
如例图，在序轴上
方的曲线对
应的区间为
f(x)>0
解
集，
在序轴下方的曲线对应的区间为
f(x)<0
解集。