）

②

棱柱、 棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图

是什么？如何计算它们的表面积？

③

如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④

联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你 能想象圆台侧面展开图的形状，并

且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是

能计算出它的表面积吗？

⑤

圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式

②

学生思考几何体的表面积的含义， 教师提示就是求各个面的面积的和

③

让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状

④

学生思考圆台的侧面展开图的形状

•

⑤

提示学生用动态的观点看待这个问题

•

讨论结果：①正方体、长方体是由 多个平面图形围成的几何体，它们的

表面积就是各个面的面积的

和

•因此，我们可以把它们展成平面图形，利

•

r' ,r

，母线长为

I

，你

用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积

②

棱柱的侧面展开图是平行四边形， 其表面积等于围成棱柱的各个面的

面积的和；棱锥的侧面展开

图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于

< br>围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由

多个梯形拼接成

的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和

③

它们的表面积等于侧面积与底面积 的和，利用它们的侧面展开图来求

得它们的侧面积，由于底面

是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即

< br>得•其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图

是扇形

< br>

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形

(

2

2).

半径为

r,

母线长为

I

，那么圆柱的底面面积 为

n r

,

侧面面积为

2 n rl.

因此，圆柱的表面积

S=2n

r

+2n rl=2 n r(r+l).

2

图

2

图

3

圆锥的侧面展开图是一个扇形

(

图

2

3).

如果圆锥的底面半径为

r,

母

< /p>

线长为

1

，那么它的表面积

S=n r + n rl= n r(r+l).

点评：将空间图形问 题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本

的、常用的方法

.

④

圆

台的侧 面展开图是一个扇环

(

图

面的面积和加上侧面的面积，即

4),

它的表面积等于上、下两个底

2

2

S=n (r

+r'

+rl+r '1).

图

4

⑤

圆

柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体

.

圆柱可以看作是

< br>上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它

们的侧面

积，不难发现：

S

圆柱表

2 n r(r+l)

■

=n r(r+l).

从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的 侧面积公式都可以看作由圆台侧

面积公式演变而来

.

提出问题

①

回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种

形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？

②

比

较柱体、锥体、台体的体积公式：

V

柱体

=Sh(S

为底面积，

h

为柱体的咼

)

；

S

圆台表

n (r

1

l+r

2

l+r

1

+r

2

)

T

S

圆锥表

1

V

锥体

=-

Sh

(S

为底面积，

h

为锥体的咼

)

;

3

1

■

V< /p>

台体

=

—

(S

+

JsS'+S')

h(S ' , S

分别为上、下底面积，

h

为台体的咼

).

3

你能发现三者之间的关系吗 ？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台

体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

活动：①让学生思考和讨论交流长 方体、正方体和圆柱的体积公式

②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？

讨论结果：

①

棱长为

a

的正方体的体积

V=a=aa=Sh

；

长方体的长、宽和高分别为

a,b,c

，其体积为

V=abc=