博弈论练习3
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博弈论练习题二
1.
囚徒困境：
假设警察局抓住了两个合
伙犯罪的嫌疑犯，
但获得的证据并不十分确切，
对
于两者的量刑就可能取决于两者对于犯罪事实的供认。
警察局将这两名嫌疑犯
分
别关押以防他们串供。
两名囚徒明白，
如果他们都交代犯罪事实，
则可能将各被
判刑
5
年；如果他们都不交代，则有可能只会被以较轻的妨碍公务罪各判
1
年；
如果一人交代，
另
一人不交代，
交代者有可能会被立即释放，
不交代者则将可能<
/p>
被重判
8
年。
（
1
）请写出这两名嫌疑犯博弈的支付
矩阵；
（
2
）假设这两名嫌疑犯都是极其精明的会打小算盘的自私自利不讲“江湖义
气”的人，同时
被分别审查不能够进行沟通。请给出每个嫌疑犯的最佳策略；
（
3
）
假设允许这两名嫌疑犯在审讯室
一起单独呆上
10
分钟，
然后再决定是
否坦
白。他们能否建立一个攻守同盟，从而双方都只被判一年？
（
4
）若其中一名囚徒不知道对手是否
理性，则他的最佳策略是什么？
（
5
）
说明这两个囚徒的困境在哪里？从
“
囚徒困境”
博弈中你得到了什么启示？
（
6
）利用“囚徒困境”博弈从下面两个现象中选取一个进行
解释：①恋人们在
恋爱中海誓山盟，
最终还是分手；
②美苏两国经常会晤，
甚至签订核不扩散条约，
但
军费一年高过一年。
（
7
）请试举一例“囚徒困境”博弈。
（
8
）请指出一种走出“囚徒困境”的方法。
2.
商家价格战
出售同类产品的商家之间
本来可以通过共同将价格维持在高位而获利，但实
际上却是相互杀价，结果都赚不到钱。
请解释这个现象，并站在商家的立场上给出一些避免“价格大
战”的方法。
3.
智猪博弈
猪圈中有一头大猪和一头小
猪，
在猪圈的一端设有一个按钮，
每按一下，
< br>位
于猪圈另一端的食槽中就会有
10
单位的猪食进槽，但每按一下按钮会耗去相当
1
于
2
单位猪食的成本。
如果大猪先到食槽，
则大猪吃到
9
单
位食物，
小猪仅能吃
到
1
单位食物；如果两猪同时到食槽，则大猪吃
7
单位，
小猪吃
3
单位食物；如
果小猪先到，大
猪吃
6
单位而小猪吃
4
单位食物。
（
1
）给出这个博弈的支付矩阵；
（
2
）找出这两头理性“智猪”的最佳策略；
（
3
）该“智猪博弈”博弈给你的启发是什么？
（
4
）
有些广告具有
“外部性”
，
如假设伊利宣传牛奶能强健国人的体质的广告就
不仅仅增加了人们对伊利牛奶的
需求，
也增加了对其他品牌牛奶的需求。
试结合
“智猪博弈”说明为什么只有大企业才愿意花巨额金钱打广告？
（
5
）请试举一个“智猪博弈”的例子。
4.
情侣博弈和纳什均衡
大海和丽娟是一对热恋中的情侣。
难得的周末晚上到了，
< br>他们面临着如何安
排节目的博弈。大海是个超级球迷，希望丽娟能陪她看球赛，而
丽娟崇尚钢琴、
芭蕾这样的高雅艺术，
且这个周末刚好有非常著
名的俄罗斯芭蕾舞剧
《胡桃夹子》
的演出。
作为热恋中的情侣，
虽然他们非常想看自己喜欢的节目，
但
是他们更不
愿意分开各自度过这个难得的周末。
（
1
）
请根据大海和丽娟的情况构造出博弈的支付矩阵；
（
2
）
纳什均衡的定义是什么？
（
3
）
请给出情侣博弈的纳什均衡（不考虑混合策略纳什均衡）
；
（
4
）
情侣博弈中是否存在纳什均衡的多重性问题？若存在，
请给出一个解
决办
法；
（
5
）
请用扩展式表述该“情侣博弈”
；
（
6
）
若丽娟先行动，
大海看到丽娟的决策之后再作出选择，
则情侣博弈就不再
是静态博弈，而是动态博弈。请用扩展式（即博弈树）表述
该动态博弈；
（
7
）
找出上述动态博弈中丽娟和大海的最佳选择，该博弈的结果是什么？
（
8
）
在上述动态博弈中，
丽娟具有先动优势。
请
你给具有后动劣势的大海想出
一个办法，从而使得他能如愿以偿。
5.
博弈的标准式描述
2
培训博弈：
两家公司从同一群没有任何技能的人员当中雇佣员工。
每家公司
可以选择是否培训员工。
培训员工能够提高生产率
，
但是对手可能会把他们培训
好的员工挖走。
< br>因此，
两家公司员工的净生产率总是一样，
虽然如果更多
的员工
经过培训后，
其净生产率会大打提高。
< br>受训员工的比例和净生产率的关系如下表
所示
（假设每家
公司都是要么培训其所有的员工，
要么培训一般，
要么一个都不
培训，所以培训比例只有
0
、
50%
、
100%
三种
可能）
：
培训比例
净生产率
问题：这个博弈的“参与者”是谁？他们的战略是什么？请写出该博弈的支
付矩阵。该博
弈是否存在占优战略和占优战略均衡？如果存在，分别是什么？
6.
石头、剪刀、布
“石头、剪刀、布”是一个校园猜拳游戏。苏珊和苔丝是玩这个游戏的两个
孩子
，她们同时选择石头、剪刀或布的手势。输赢规则如下：
布包石头（布赢石头）
石头砸碎剪刀（石头赢布）
剪刀剪碎布（剪刀
赢布）
问题：
请写出这个博弈的支付矩阵。
其存在占优战
略均衡吗？存在纳什均衡
吗（考虑混合策略纳什均衡）？你认为小女孩们会如何玩这个游
戏？
7.
请看下面的三个博弈：
参与人
2
X
0
5
50%
7.5
100%
10
Y
10
，
1
A
参与人
1
B
-7
，
-7
1
，
10
1
，
1
3
参与人
2
X
Y
0
，
0
A
参与人
1
B
7
，
7
0
，
0
1
，
1
参与人
2
X
Y
0
，
5
A
参与人
1
B
7
，
-3
0
，
5
7
，
-3
（
1
）
请找出协调博弈、斗鸡博弈和猜硬币博弈；
（
2
）
假设你是参与人
2
。每个博弈都是你先行动
，接着你可以选择要不要参与
人
1
看到
你怎样做，
最后才由参与人
1
采取行动
。
在哪几个博弈中，
你希
望让参与人<
/p>
1
看到你怎样做？
8.
猜硬币博弈
某个村庄上只有一名警察，
他要负责整个村的治安。
小村的
两头住着两个全
村最富有的村民
A
和<
/p>
B
，
A
、
B
分别需要保护的财产为
2
< br>万元、
1
万元。整个小村
某一天
来了个小偷，
要在村中偷盗
A
和
B
的财产，
这个消息被警察得知。
因为分
身乏术，
警察一次只能在一个地方巡逻；<
/p>
而小偷也只能偷盗其中一家。
若警察在
某
家看守财产，
而小偷也选择了去该富户家，
就会被警察抓住；<
/p>
若警察没有看守
财产的富户家而小偷去了，则小偷偷盗成功。
在这个博弈中，
对警察和小偷是否存在一
个最佳的纯策略？若不存在，
假若你是
这名警察，你会怎么做？
4