正四棱台体积公式
-
一
基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式
※
朱哲
张维
忠
（浙江师范大学数理与信息科学学院
321004
）
对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目
的还是为了指向现实、着眼于未来。本
文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设
想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之
间架起一座桥梁，从而实现数学教
育的现代化。
1
教学案例：正四棱台体积公式
1.1
提出问题
师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正
四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）
。假如这个正四棱台下底面正
方形边长为
a
，上底面边长为
b
，
高为
h
，那么它的
体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。
生
1
：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，
我就可以通过大正四棱锥
体
积
减
去
小
正
四
棱
锥
体
积
来
求
（
演
算
：
设
小
正
四
棱
锥
高<
/p>
为
x
，
则
V
V
=
1
3
a
(
h
x
)
2
大
正
四
棱
锥
V<
/p>
小
正
四
棱
锥
1
3
b
x
2
1
3
a
h
2
1
3
。我做不下去了。
(
a
b
)
x
< br>„„）
2
2
1.2
类比、猜想、实验
师：这位同学的思路非常好，只
是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下
正
四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）
。
b
b
a
b
h
S
a
ah
S
<
/p>
a
S
ab
1
2
1
2
b
a
b
h
< br>
c
b
a
h
h
V
abc
a
1
3
a
h
2
a
V
V
?
1
2
生
2
：我想
V
1
2
a
2
b
2
h
，因为梯形面积公式
为
S
1
3
<
/p>
a
b
h
。
3
生
3
：我
觉得
应该
是
V
V
1
3
< br>
a
2
b
2
h
，
因为
正四
棱锥
体
积公
式中
有系
数
1
，
且当
b
0
时
，<
/p>
a
2
b
2
h
1
3
a
h
,
即为正四棱锥体积公式。
2
师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的
正四棱台容器，上底边长
0
.
2
米，下底
边长
0
.<
/p>
3
米，高
0
.<
/p>
2
米，里面装满沙子。由生
2
的公式得沙子体积为
V
米，由生
3
的公式得
V
1
3
1
2
0
.
04
0
.
0
9
0
.
2<
/p>
0
.
013<
/p>
立方
0
.
04
0
.
09
0
.
2
0
.
00867
立方米。我们再把沙子倒入底面边长为
0
.
2
米的柱
形
容器，量一下，高为多少？约为
0
.
3
15
米，体积约为
0
.
0126
立方米。看来上面两个公式都不是很准确。
———————
※
< br>本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”
（
DHA010276
）阶段成果。
生
4
：梯形面积公式中系数是
取
1
3
1
2
，是因为括号内只有
a
、
b
两项。那么，如果正四棱台体积公式系数
1
3
，
则
括
号
内
应
有<
/p>
三
项
，
除
了
a
2
、
b
2
我
想
还
应
有
ab
< br>，
也
即
V
1
3
a
2
ab
<
/p>
b
2
h
1
3
，
计
算
a
h
是正
2
V
< br>0
.
04
0
.
06
0
.
09
0
.
2
0<
/p>
.
0126
。这与我们的实验结果一致。
另外，当
b
0
时，
V
四棱锥的体积公式；当
h
b
a
时，
V
a
3
是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正
确的。
1.3
推导公式
师：大家同意他的观点吗？（
同意！
）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法
< br>来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正< /p>
四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法
。
生
5
：<
/p>
(
如图
1)
S<
/p>
a
h
b
a
b
b
h
1
2
S
平行四边
形
=
1
2
a
b
< br>
h
。
x
a
（图
1
）
（图
2
）
生
6
：
（如图
2
）设小三角形高为
x
，大三角形高为
x
h
，因为这两个三角形相似，所以
即
x
bh
a
b
b
a
x
x
h
，
。
S
1
2
a
x<
/p>
h
1
2
ah
1
2
1
2
bx
1
2
ah
1
2
< br>1
2
(
a
b
)
x
1
2
ah
<
/p>
1
2
(
a
b
)(
bh
a
b
)
1
2
(
a
b
)
h
。
生
7
：
（如图
3
）
S
b<
/p>
h
a
=
bh
(
a
b
)
h
。
h
a
< br>+
h
b
（图
3
）
<
/p>
生
8
：
（如图<
/p>
4
）
S
b
h
a
=
a-b
1
2
(
a
b
)
h
bh
< br>1
2
(
a
b
)
h
。
b
h
+
h
b
b
（图
4
）
（图
5
）
<
/p>
师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？
生
9
：
（如图
5
）
S
S
三角形
h
a
=
1
2
(<
/p>
a
b
)
h
。
师：
接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。
第一组用
生
5
的方法，
第二、
< br>三、
四组同学分别用生
6
、
7
、
8
的方法。如
果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生
9
的方法推导
。
（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。当第四小组完
成其推导后，教师
再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。上
底面边长分别为
a
、
b
，下底面边
长分别为
c
、
d
，高
h
，求其体
积。
）
1.4
展示成果