关于外接球的表面积与体积计算问题(二)
-
关于外接球的表面积与体积问题（二）
一．选择题（共
< br>30
小题）
1
．已知△
EAB
所在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相垂直，
EA=EB=3
，
AD=2
，
∠
AEB=60°
，则多面体
E
< br>﹣
ABCD
的外接球的表面积为（
）
A
．
4π
B
．
9π
C
．
12π
D
．
16π
2
．已知三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于底面，各顶点
都在同一球面上，若该
棱柱的体积为
A
．
B
．
，<
/p>
AB=2
C
．
D
．
，则此球的体积等于（
）
3
．三棱
锥
A
﹣
BCD
中，△
ABC
为等边三角形，
AB=2
，∠
BDC=90°
，二面角
A
﹣
BC
﹣
D
的大小为
150°
，则
三棱锥
A
﹣
BCD
的外接球的表面积为（
）
A
．
7π
B
．
12π
C
．
16π
D
．
28π
4
．已知矩形
ABCD
中，
AB=6
，
BC=4
，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
上两动点，且
AE=DF
，
把四边形
BCFE
沿
EF
折起，使平面
BCFE
⊥平面
ABCD
，若折得的几何体的体积最
大，则该几何体
外接球的体积为（
）
A
．
28π
B
．
C
．
32π
D
．
，
5
．已知三棱锥
A
﹣
BCD
中，
球面上，则该球的体积为
（
）
A
．
B
．
4π
C
．
2π
D
．
，且各
顶点均在同一个
6
．
如图，
将边长为
2
的正△
ABC
沿着高
AD
折起，
使∠
BDC=60°
，
若折起后<
/p>
A
、
B
、
C
、
D
四点都在球<
/p>
O
的表面上，则球
O
的表面积为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．设
SA
为球的直径，
B
、
C
、
D
三点在球面上，且
SA
⊥面
BCD
，三角形
BCD
的
面积为
3
，
V
S
﹣
BCD
=3V
A
﹣
BCD
=3
，则球的表面积为（
）
第
1
页（共
30
页）
A
．
16π
B
．
64π
C
．
π
D
．
32π
8
．已知四面体
A
﹣
BCD
中，△
ABC
和△
BCD
都是边长为
6
的正三角形，则当四
面体的体积最大时，其外接球的表面积是（
）
A
．
60π
B
．
30π
C
．
20π
D
．
15π
9
．在封闭直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
内有一个体积为
V
的球，若
AB
⊥<
/p>
BC
，
AB=15
，
BC=8
，
AA
< br>1
=5
，则
V
< br>的最大值是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
36π
10
．在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
< br>1
C
1
D
1
中，
M
是线段
A
1
C
1
的中点，若四面体
M
﹣
ABD
的
外接球的表面积为
36π
，则正方体棱长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
11
．三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA
、
PB
、
PC
互相垂直，
PA=PB=1
，
M
是线段
BC
上一动
点，若直线
AM
与平面
PBC
所成角的正切的最大值是
外接球的表面积是（
）
A
．
2π
B
．
4π
C
．
8π
D
．
16π
12
．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为
2
的正方形和正三角形，
则该空间几何体的外
接球的表面积为（
）
，则三棱锥
P
﹣
ABC
的
A
．
B
．
C
．
16π
D
．
21π
13
．已知
P
，
A
，
B
，<
/p>
C
是球
O
球面上
的四点，△
ABC
是正三角形，三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为
< br>A
．
4π
B
．
，且∠
APO=
∠
BPO=
∠
CPO=30
°
，则球
O
的表面积为（
）
π
C
．
16π
D
．
12π
的正三棱锥
O
﹣
ABC
的体积为
，且
A
，
B
，
C
< br>在球
O
14
．已知底面边长为<
/p>
上，则球的体积是（
）
第
2
页（共
30
页）
A
．
B
．
8π
C
．
20π
D
．
15<
/p>
．已知直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC=90°
，侧面
BCC
1
B<
/p>
1
的面积为
4
，
则直
三棱柱
ABC
﹣
< br>A
1
B
1
C
1
外接球表面积的最小值为（
）
A
．
4π
B
．
8π
C
．
16π
D
．
32π
16
．如图
1
，
ABCD
是边长为
2
的正方形，点
E
，
F
分别为
BC
，
CD
的中点，将△
ABE
，△
< br>ECF
，△
FDA
分别沿
AE
，
EF
，
FA
折起，使
B
，<
/p>
C
，
D
三点重合
于点
P
，若
四面体
PAEF
的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（
）
A
．
B
．
6π
C
．
D
．
12π
17
．将边长为
的正方形
ABCD
沿对角线
AC
折成
一个直二面角
B
﹣
AC
﹣
D
．则
四面体
ABCD
的内切球的半径为（
）
A
．
1
B
．
C
．
D
．
18<
/p>
．三棱锥
P
﹣
A
BC
三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为
则该三棱锥的外接
球表面积为（
）
A
．
4π
B
．
6π
C
．
8π
D
．
10π
19
．在四面体
S
﹣
ABC
中，
余弦值为
A
．
，则该四面体外接球的表面积是（
）
B
．
C
．
24π
D
．
6π
<
/p>
，
，二面角
S
﹣
AC
﹣
B
的<
/p>
20
．如图，在三棱锥
D
﹣
ABC
中，
的四个顶点均在
同一球面上，则该球的体积为（
）
，若该三棱锥
第
3
页（共
30
页）
A
．
B
．
4π
C
．
2π
D
．
21<
/p>
．
一个直三棱柱的每条棱长都是
4
的表面积为（
）
A
．
84π
B
．
96π
C
．
112π
22
．三棱锥的棱长均为
4
A
．
36π
B
．
72π
C
．
144π
D
．
144π
，
且每个顶点都在球
O
的球面上，
则球
O
，顶点在同
一球面上，则该球的表面积为（
）
D
．
288π
23
．已知正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的六个顶点在球
O
1
上，又知球
O<
/p>
2
与此正三棱柱
的
5
个面都相切，求球
O
1
与球
O
2
的表面积之比（
）
A
．
5
：
1
B
．
2
：
1
C
．
4
：
1
D
．
：
1
24
．已知四面体
ABCD
的六条
棱中，
AC=BD=4
，其余的四条棱的长都是
3
，则此
四面体的外接球的表面积为（
）
A
．
43π
B
．
17π
C
．
34π
D
．
25<
/p>
．若三棱锥
P
﹣
ABC
中，
AB=AC=1
，
AB
⊥
AC
，
PA
⊥平面
ABC
，且
直线
PA
与平面
PBC
所成角的正切值为
，则三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表面积为（
）
A
．
4π
B
．
8π
C
．
16π
D
．
32π
26
．若三棱锥
P
﹣
ABC
中，
AB=AC=1
，
AB
⊥
AC
，
PA
⊥平面
AB
C
，且直线
PA
与平面
PBC
所成角的正切值为
，则三棱锥
< br>P
﹣
ABC
的外接球的体积为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
27<
/p>
．已知正四棱锥
P
﹣
ABCD
的底面边长为
外接球的半径之比为（
）
< br>A
．
1
：
2
B
．
2
：
5
C
．
1
：
3
D
．<
/p>
4
：
5
，体积为
，则此棱锥的内切球与
28
．球
O
与锐二面角
α<
/p>
﹣
l
﹣
β
的两半平面相切，两切点间的距离为
交线
l<
/p>
的距离为
2
，则球
O
的表面积为（
）
，
O
点到
<
/p>
第
4
页（共
30
页）
A
．
B
．
4π
C
．
12π
D
．
36π
29
．四面体
ABCD
的四个顶点都在球
O
的表面上，
AB
⊥平面
BCD
，
△
BCD
是边长
为
3
的等边三角形．若
AB=2
，则球
O
的表面积为（
）
A
．
8π
B
．
12π
C
．
16π
D
．
32
π<
/p>
30
．已知在三棱锥
< br>P
﹣
ABC
中，
V
P
﹣
ABC
=
，∠
APC=
，∠
BPC=
，
PA
⊥
AC
，
PB
⊥
BC
，且平面
PAC
⊥平面
PBC
，那么三棱锥
P
﹣
ABC
外接球的体积为（
< br>
）
A
．
B
．
C
．
D
．
第
5
页（共
30
页）
关于外接球的表面积与体积问题（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共
30
小题）
1
．
（
2017•
全国模拟）
已知
△
EAB
所在的平面与矩形
ABCD<
/p>
所在的平面互相垂直，
EA=EB=3
，
AD=2
，∠
AEB=60°
，则多面体
E
﹣
ABC
D
的外接球的表面积为（
）
A
．
4π
B
．
9π
C
．
12π
D
．
16π
【分析】
设球心到平面
ABCD
的距离为
d
，利用△
EAB
所在的平面与矩形
ABCD
所在
的平面互相垂直，
EA=EB=3
，
∠
AEB=60°
，
可得
E
到平面
ABCD
的距离为<
/p>
从而
R
2
=
（
）
2
+
d
2
=1
2
+
（
，
﹣
d
）
2
，求出
R
2
=4
，即可求出多面体<
/p>
E
﹣
ABCD
的
外接球的表面积．
【解答】
解：设球
心到平面
ABCD
的距离为
d
，则
∵△
EAB
所在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相
垂直，
EA=EB=3
，∠
AEB=6
0°
，
∴
E
到平面
ABCD
的距离为
∴
R
2
=
< br>（
∴
d=
）
2
+
d
2
=1
2
+
（
，
R
2
=4
，<
/p>
，
﹣
d
）
2
，
∴多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的表面积为
4πR
2
=16π
．
故选
D
．
【点评】
本题考查多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的
表面积，考查学生的计算能力，
正确求出多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的半径是关键．
2
．
（
2017•
大理州二模）已知
三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于底面，各顶点都
在同一球面上，若该棱柱的体积
为
，
AB=2
，则此球
第
6
页（共
30
页）
的体积等于（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
画出球的内接三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
，作出球的半径，然后可求球的表面
积．
【解答】
解：设
AA
1
=h
，
则
∵棱柱的体积为
∴
∴
h=1
，
∵
AB=2
∴
BC=
=
，
，
，
AB=2
，
如图，连接上下底面外心，
O
为
PQ
的中点，<
/p>
OP
⊥平面
ABC
，
AP=
=
则
球的半径为
OA
，
< br>由题意
OP=
，∴
OA=
=
，
所以球的体积
为：
πR
3
=
π
故选
B
．
【点评】
本题是基础题，解题思路是
：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角
形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用
方法；本题考查空间想象能力，计
算能力．
3
．
（
2017•
福州一模）
< br>三棱锥
A
﹣
BCD
中，
△
ABC
为等边三角形
，
AB=2
第
7
页（共
30
页）
，
∠
BDC
=90°
，
二面角
< br>A
﹣
BC
﹣
D
的大小为
150°
，
则三棱锥
A
﹣
BCD
的外接球的表面积为
（
）
A
．
7π
B
．
12π
C
．
16π
D
．
28π
【分析】
由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥
A
﹣
BCD
的外接
球的
半径，代入球的表面积公式得答案．
【解答】
解：设球心为
M
，
BC
的中点为
P
，<
/p>
∵三角形
BDC
满足∠
BDC=90°
，∴
P
为三角形
BDC
的外心，
设△
ABC
的外心为
O
，∵△
ABC
为等边三
角形，
∴
MO
⊥平面
ABC
，
MP
⊥平面
BDC
，
∵二面角
A
﹣
BC
﹣
D
的大小为
150
°
，∴∠
OPM=60°
，
在等边三角形
ABC
中
，由
AB=2
，得
AP=3
，
，
．
．
∴
OP=1
，在
R
t
△
MOP
中，可得
< br>MO=
在
Rt
△
MOA
中，得
MA=
∴三棱锥
A
﹣
BCD
的
外接球的表面积为
故选：
D
．
【点评】
本题考查
球的表面积与体积，
考查空间想象能力和思维能力，
属中档题．
4
．
（
2017•
香
坊区校级一模）已知矩形
ABCD
中，
AB=6
，
BC=4
，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
上两动点，且
AE=DF
，把四边形
BCFE
沿
EF
折起，使平面
BC
FE
⊥平面
ABCD
，
若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（
）
A
．
28π
B
．
C
．
32π
D
．
【分析
】
三棱柱
ABE
﹣
DCF
的底面积最大时，其体积最大．设
FC=x
，
DCF=6
﹣
x
，
s
△
DCF
=
=
=
．令
f
（
x
）
=36x
2
﹣
12x
3
，
f′
（
x
）
=72x
﹣
36x
2
，令
f<
/p>
（
x
）
=0
，可得
x=2
，即当
x=2
时，
第
8
页（共
30
页）
s
△
DCF
最大，此时
CF
，
CD
，
CB
两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的
半径为长方体对角线长
的一半，得球半径
R
即可．
【解答】
解：
将矩形
ABCD
沿
EF
折起，
使得平面
ABCD
⊥平面
BCFE
，
可得直三棱柱
< br>ABE
﹣
DCF
，
（如图）
三棱柱
ABE<
/p>
﹣
DCF
的底面△
DCF
，△
ABE
是直角△，
AB
⊥
BE
，
FC
⊥
CD
三棱柱
ABE
﹣
DC
F
的底面积最大时，其体积最大．
设
FC=x
，
DCF=6
﹣
x
，
s
△
DCF
=
．
令
f
（
x
）
=36x
2
﹣
12x
3
，
f′
（
x
）
=72x
﹣
36x
2
< br>，令
f
（
x
）
=0
，可得
x=2
∴当
x=2
时，
s
△
DCF
最大
此时
CF
，
CD
，
CB
两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长
方体对角线
长的一半
球半径
R=
故选：
D
．
【点评】
本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．
5
< br>．
（
2017•
贵州模拟）已知
三棱锥
A
﹣
BCD
中，
各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（
）
第
9
页（共
30
页）
=
=
，
∴几何体外接球的体积为
，
，
，且
A
．
B
．
4π
C
．
2π
D
．
【分析
】
由三棱锥的对边相等可得三棱锥
A
﹣
BCD
为某一长方体的对角线组成的
三
棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．
【解答】
解：补体为底面边长为
1
，高为
对角线中点，所以球的半径
r=1
，球的体积
故选
D
．
【点评】
本题考查了棱锥与外接球的位置
关系，棱锥的体积计算，转化思想，属
于中档题．
6
．
（
2017•
临川区校级模拟）如图，将边
长为
2
的正△
ABC
< br>沿着高
AD
折起，使
∠
BDC=60°
，若折起后
A
< br>、
B
、
C
、
D
四点都在球
O
< br>的表面上，则球
O
的表面积为
（
）
的长方体，外接球的球心为长方体体
，
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
通过底面三角形
BCD
求出底面圆的
半径
DM
，
判断球心到底面圆的距离<
/p>
OD
，求出球
O
的半径，即可求解球
O
的表面积．
<
/p>
【解答】
解：△
BCD
< br>中，
BD=1
，
CD=1
，∠
BDC=60°
，
底面三角形的底面圆半径为：
DM=CM=
AD
是球的弦，
DA=
∴球的
半径
OD=
，∴
OM=
=
．
π
；
，
，
该球的表面积为：
4π
×
< br>OD
2
=
故选：
B
．
第
10
页（共
30
页）
< br>【点评】
本题考查球的表面积的求法，
球的内接体，
考查空间想象能力以及计算
能力．
7
．
（
2017•
贵阳一模）
< br>设
SA
为球的直径，
B
、
C
、
D
三点在球面上，
且
SA
⊥面
BCD
，
三角形
BCD
的面积为
3
，
V
S
﹣
BCD
=3V
A
﹣
BCD
=3
，则球的表面积为（
）
A
．
16π
B
．
64π
C
．
π
D
．
32π
【分析】
利用
SA
⊥面
BCD
，三角形
BCD
的面积为
3
，
V
S
﹣
BCD
=3V
A
﹣
BCD
=
3
，求出球
的直径，即可得出结论．
【解答】
解：设三棱锥
A
﹣
BCD
的高为
h
，则三棱锥
S
﹣
BCD
的高为
3h
，球的直
< br>径为
2R
，
< br>∵三角形
BCD
的面积为
3
，
V
A
﹣
BCD
=1
，
∴
=1
，∴
h=1<
/p>
，∴
R=2
，
∴球的表面积为
4π•2
2
=16π
，
故选
A
．
<
/p>
【点评】
本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生
的计算能力，
属于中档题．
8
．
（
2017•
南岗区一模）已知四面体
A
﹣
BCD
中，△
A
BC
和△
BCD
都是边长为
6
的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（
）
A
．
60π
B
．
30π
C
．
20π
D
．
15π
【分析】
当四面体的体积最大时，平面
ABC
⊥平面
BCD
，取
AD
，
BC
中点分别为
E
，
F
，连接
EF
，
AF
，
DF
，求出
EF
，
判断三棱锥的外接球球心
O
在线段
EF
上，连
接
OA
，
OC
，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．
第
11
页（共
30
页）
【解答】
解：当四面体的体积最大时
，平面
ABC
⊥平面
BCD
，
取
AD
，
BC
中点分别为
E
，
F
，连接
EF
，
AF
，
DF
，
由题意知
AF
⊥
DF
，
AF
=CF=3
∴
EF=
AD=
，
，
易知三棱锥的外接球球心
O
在线段
EF
上，
连接
< br>OA
，
OC
，有
R
2
=AE
2
+
OE
2
，
< br>R
2
=DF
2
< br>+
OF
2
，
∴
R
2
=
（
∴
R=
，
）
2
+
OE
2
，
R
2
=3
2
+
（
﹣
OE
）
2
，
∴三棱锥的外接球
的表面积为
4πR
2
=60π
．
故选
A
．
【点评】
本小题主要考查球的内接几
何体的相关计算问题，
对考生的空间想象能
力与运算求解能力以
及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．
9
．
（
2017•
呼和浩特二模）
在封闭直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
内有一个体积为
V
的球，
< br>若
AB
⊥
BC
< br>，
AB=15
，
BC=8
，
AA
1
=5
，则
V
的最大值是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
36π
【分析】
要使球的体积
V
最大，
必须使球的半径
R
最
大．
因为△
ABC
内切圆的半
径为
2
，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下
底面都相切时，球的半径取得最
大值，求出三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
内切球半径即可<
/p>
【解答】
解：要使球的体积
V
最大，必须使球的半径
R
最大．
Rt
△
ABC
中，
AB
⊥
BC
，
AB=15
，
BC=8
，∴
AC=12
，△
ABC
内切圆的半径为
r=3<
/p>
，所
以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径
取得最大值为
．
此时球的体积为
πR
3
=
故选：<
/p>
B
．
第
12
页（共
30
页）
，
【点评】
本题考查了棱柱的内切球的
体积，解题关键在于确定球何时半径最大，
属于基础题．
10
．<
/p>
（
2017•
大东区一模）在正方体
ABCD
﹣
A
1<
/p>
B
1
C
1
D
1
中，
M
是线段
A
1
C
1
的中点，
若四面体
M
﹣
ABD
的外接球的表面积为
36π
，则正方体棱长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
【分析】
设
BD
的
中点
O′
，
则球心
O
在
MO′
上，
< br>利用四面体
M
﹣
ABD
的外接球表
面积为
36π
，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．
【解答】
解：设
BD
的中点
O′
，则球心
O
在
MO′
上，
∵四
面体
M
﹣
ABD
的外接球表面积为
36π
，
∴
4πR
2
=36π
，
∴
R=3
，
设正方体棱长为
2a
，则
O′A=
由勾股定理可得
3
2
=
（
∴
a=
2
，
∴正方体棱长为
2a=4
．
故选
C
．
<
/p>
【点评】
本题考查正方体棱长，
考查四面
体
M
﹣
ABD
的外接球表面积，
确定球心
的位置是关键．
11
．
（
2017•
绵阳模拟）三棱锥<
/p>
P
﹣
ABC
中，
PA
、
PB
、
PC
互相垂直，
PA=PB=1
，
M
是线段
BC
上一动点，
若直线
AM
与平面
PBC
所成角的正切的最大值是
棱锥
P
﹣
ABC
< br>的外接球的表面积是（
）
A
．
2π
B
．
4π
C
．
8π
D
．
16π
【分析】
PA
、
PB
、
PC
互相垂直，
PA=PB=1
，
M
是线段
BC
上一动点，当
PM
最短
时，即
PM
⊥
BC
时直线
AM
与平面<
/p>
PBC
所成角的正切的最大，最大值是
，
求
，
则三
a
，
）
2
+
（
2a
﹣
3
）
2
，
出
PC=
，三棱锥
P
﹣
ABC
扩充为长方体，则长方体的对角线
长为三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的直径，即可得出结论．
【解答】
解：
M
是线段
BC
上一动点，连接
PM
，∵
< br>PA
、
PB
、
< br>PC
互相垂直，∴∠
第
13
页（共
30
页）
AMP
就
是直线
AM
与平面
PBC
所成角，
当
PM
最短时，即
PM
⊥
BC
时直线
AM
与平面
PBC
所成角的正切的最大．
此
时
，
PM=
，
⇒
PC=
．
，
在
Rt<
/p>
△
PBC
中，
P
B•PC=BC•PM
⇒
PC=
三棱锥
P
﹣
ABC
扩
充为长方体，则长方体的对角线长为
∴三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的半径为
R
=1
，
∴三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表面积为<
/p>
4πR
2
=4π
．
故选：
B
．
【点评】
题考查三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的体积
，考查线面垂直，线面角，考查
学生分析解决问题的能力，属于中档题
< br>
12
．
（
2017•
湖北模拟）
如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为
2
< br>的正
方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（
）
A
．
B
．
C
．
16π
D
．
21π
【分析】
由几何体的三视图知该几何体是四棱锥
S
﹣
ABCD
，其中
ABCD
是边长为
2
的
正主形，△
SBC
是边长为
2
的等边三角形，
AB
⊥平面
< br>SBC
，由此能求出该空
第
14
页（共
30
页）
间几何体的外接球的表面积．
【解答
】
解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥
S
﹣
ABCD
，
其中
ABCD
是边长为
2
的正方形，△
SBC
是边长为
2
的等边三角形，
AB
⊥平面
SBC
，
取
BC
中点
F
，
AD
中点
E
，连结
SF
，
EF
，取
EF
中点
M
，则
MF=1
，<
/p>
SF=
设该几何体外接球的球心为
O
，则
OM
⊥面
AB
CD
，设
OM=x
，
< br>
过
O
作
OH
⊥
SF
，交
SF
于
H
，则
SH=
∴
OD
2
< br>=OS
2
=R
2
，
即（
解得
x=
∴
R=
）
2
+
x
2
=1
2
+
（
，
=
，
=
．
）
2
，
，
OH=MF=1
，
，
∴该空间几何体的外接球的表
面积
S=
故选：
B
．
【点评】
< br>本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，
是基础题，
解题时要认
真审题，注意三视图的性质的合理运用．
13
．<
/p>
（
2017•
楚雄州一模）已知
P
，
A
，
B
，
C
是球
O
球面上的四点，△
ABC
是
正三
角形，三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为
面积为（
）
A
．
4π
B
．
π
C
．
16π
D
．
12π
，且∠
APO=
∠
BPO=
∠
CPO=30°
，则球
O
的表
第
15
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30
页）