素数漫谈 数学和数学家的故事
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素数漫谈
——兼谈最大的素数
素数（
Prime
number
）是具有这样性质的大于
1
的正整数
P
。除了
1
和自身<
/p>
P
以外，再找不到其他小于他的正数能整除它。
< br>
我们在小学时就知道小于
10
的素数有：
2
，
3
，
5
，
7
这四个素数。
在这之后，
小于
20
的素数有：
11
，
13
，
17
，
19
四个。在这之后小于
30
的素数有
：
23
，
29
两个。如果你试试找在这之后到
40
之间的素数，你发现共有两
个，它们是：
31
，
37
。
你如
果看以上的实际例子，
你可能会猜想每十个整数间隔，
会有两个
或四个
的素数出现。让我们看看你的猜想是否正确？
从
40
到
5
0
之间我们有：
41
，
43
，
47
三个素数！哎呀！
我们的猜想是错了。
实际上，
我们是可能找到十个整数间隔，<
/p>
没有一个数是素数。
素数的分布是杂乱
无
章，像是没有规律可寻，可是数学家却发现它们有许多奇妙的性质。
< br>2500
百多年前，希腊有一个叫欧几里得（
Eucli
d
）的数学家发现了在正整
数的集合里素数的个数是有无穷多。
在他的著名的著作《几何原本》一书里，他
证明了算术基本原理：“任何自然数都能唯一
的表示成为素数的乘积。”
例如
4
=2
×
2
，
6
=2
×
3
，
9
=3
×
3
，
1
8=2
×
3
×
3
，
10005= 3
×
5
×
23
×
29
．
因此对于自然数以及
乘法运算来说：
素数是建立自然数的基本成分，
它是不
能再分解的最小的基本粒子
（
elementary Parti
cle
）。
两千多年来，
有无数喜欢探索数字世界奥秘的数学家竟为素数而折腰。
我们
这里就说古道今，讲一点这方面的故事和最近的一些新结果。
首先我们看小于
10
的
三个素数：
3
，
5
，
7
后面的数和前面的数相差为
2
，因
此我们可以这样写：
5=3
＋
2
，
7=5
＋
2=3
＋
2
＋
2=3
＋
2
×
2
，我们说
3<
/p>
，
5
，
7
组成
一个等差级数，它们的公差是
2
，首项是
3
。
现在请看另外一大串的素数：
7
，
37
，
67
，
97
，
127
，
157
，这是以首项为
7
，
公差为
30
的等差级数，
如果用
T
（
n
）
表示第
n
项，
我们可以用公式
T
（
n
）
=30
n
-23
来表示。
我们再看另外一串的
由素数组成的等差级数：
199
，
40
9
，
619
，
829
，
1039
，
< br>1249
，
1459
，
1669
，
1879
，
2089
。我们的首项是
199
，公差是
210
。如果我们写
T
（
1
）
=199
T
（
2
）
=199
＋
210=T
（
1
）＋
210