正方形经典题型(培优提高)
-
正方形的性质及判定
知识归纳
1
．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2
．正方形的性质
< br>正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
①
边的性质：对边平行，四条边都相等．
②
角的性质：四个角都是直角．
③
对角线性质：两条对角线互相垂直
平分且相等，每条对角线平分一组对角．
④
对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：
（如图）
3
．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
< br>4
．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用
平行四边形
正
矩形
方
菱形
形
例题讲解
一、正方形的性质
例
1
：
如图，已知正方形
ABCD
的面积为
256
，点
F
在
CD
上，点<
/p>
E
在
CB
的延长
线上，且
AE
AF
< br>，
AF
20
< br>，则
BE
的长为
A
D
F
E
B
C
变式
1
：
如图，在正方形
ABCD
中，
E
为
AB
边的中点，
G
，
F
分别为
AD
，
BC
边上的点，
若
AG<
/p>
1
，
BF
2
，
GEF
90
，则
GF
的长为
．
1
变式
2
：
将
n
个边长都为
1cm
的正方形按如图所示摆放
，点
A
1
，
A
2
，
...
，
A
n
分别是正方形的中
心，则
n
个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A
2
A
1
A
3
A
4
A
5
例
2
：
如图，
E
是正方形
< br>ABCD
对角线
BD
上的一点，
求证：
AE
CE
．
A
E
D
B
C
变式
1
：
如图，
P
为正方形
ABCD
对角线上一点，
PE
BC
于
E
，
PF
CD
于
F
.
求证：
AP
EF
.
A
D
P
F
C
B
E
例
3
：
如图，已知
P
是正方形
ABC
D
内的一点，且
ABP
为等边三角形，那么
DCP
D
P
C
A
B
变式
1
：
如图，已知
E
、<
/p>
F
分别是正方形
ABCD
的边
BC
、
CD
上的点，
AE
、
AF
分别与对
角线
BD
相
交于
M
、
N
，
若
EAF
50
，
则
CME
CNF
．
A
N
E
M
B
D
F
C
2
变式
2
：
如图，
四边形
ABCD
为正方形，
以
AB
为边向正方形外作正方形
A
BE
，
CE
与
BD
相
交于点
F
，则
AFD
D
A
E
F
C
B
例
4
：
如图，正方形
ABCD
的边
CD
在正方形
ECGF
的边
CE
上，连接
BE
,
DG
，求证：
BE
DG
.
E
A
D
F
B
C<
/p>
G
变式
1
：
如图，
在正方形
ABCD
中，
CE
< br>CF
，
E
为
CD
边上的一点，
F
为
BC
延长线上的一点，
FDC
30
，求
BEF
的度数
.
A
D
E
< br>B
C
F
变式
2
：
已知：如图，在正方形
ABCD
中，
G
是
CD
上一点，延长
BC
到
E
，使
CE
CG
，
连接
BG
并延长交
DE
于
F
．
（
1
）求证：
BCG
≌
DCE
；
（
2
）
将
△
D
C
E
绕点
D
顺时针旋转
90
得到
DAE
，
判断四边形
E
BGD
是
什么特殊四
边形？并说明理由．
A
D
E
G
B
F
E
C
例
5
：
若正方形
ABCD
的边长为
4
，
E
为
BC
边上一点，
BE
3
，
M
为线段
AE
上一点，射
3
线
BM
交正方形的一边于点
F
，且
BF
AE
，则
BM
的长为
．
变式
1<
/p>
：
如图
1
，在正
方形
ABCD
中，
E
< br>、
F
、
G
、
H
分别为边
AB
< br>、
BC
、
CD
< br>、
DA
上的
点，
HA
EB
FC
GD
，连接
EG
、
FH
，交点为
O
．
⑴
如图
2<
/p>
，连接
EF
，
F
G
，
GH
，
H
E
，试判断四边形
EFGH
的形状，并
证明你的结
论；
⑵
将正方形
ABCD
沿线段
EG
、
HF
剪开，再把得到的四个四边形按图
3
的方式
拼接成一个
四边形
．若正方形
ABCD
的边长为
3cm<
/p>
，
HA
EB<
/p>
FC
GD<
/p>
1cm
，则图
3
中阴影部分的面积为
_________
cm
2
．
D
G
C
F
H
A
图
1
O
E
B
H
A
图
2
E
B
图
3
D
G
< br>C
F
变式
2
：
如图，
正方形
ABCD
对角线相交于点
O
，
点
P
、
Q
分别是
BC
、
CD
上的点，
AQ
DP
，
求证：
（
1
）
OP
OQ
；
（
2
）
OP
OQ
.
A
D
Q
O
B
P
C
例
6
：
如图，
正方形
ABCD
中，
E
，
且
EF
AE
FC
，
F
是
AB
，
BC
边上两点，
DG
< br>
EF
于
G
，
求证：
DG
< br>DA
A
E
G
B
F
C
D
变式
1
：
如图，点
M
，
N
分别在正方形
ABCD
的边
BC
，
CD
上，已知<
/p>
MCN
的周长等于正方
形
ABCD
周长的一半，求
MAN
的度数
4