-

2021年2月21日发(作者：我的儿子)

正方形的性质及判定

知识归纳

1

．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2

．正方形的性质

< br>正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

①

边的性质：对边平行，四条边都相等．

②

角的性质：四个角都是直角．

③

对角线性质：两条对角线互相垂直 平分且相等，每条对角线平分一组对角．

④

对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：

（如图）

3

．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．

判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

< br>4

．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用

平行四边形

正

矩形

方

菱形

形

例题讲解

一、正方形的性质

例

1

：

如图，已知正方形

ABCD

的面积为

256

，点

F

在

CD

上，点< /p>

E

在

CB

的延长 线上，且

AE



AF

< br>，

AF



20

< br>，则

BE

的长为

A

D

F

E

B

C

变式

1

：

如图，在正方形

ABCD

中，

E

为

AB

边的中点，

G

，

F

分别为

AD

，

< p>
BC

边上的点，

若

AG< /p>



1

，

BF



2

，



GEF



90



，则

GF

的长为

．

1

变式

2

：

将

n

个边长都为

1cm

的正方形按如图所示摆放 ，点

A

1

，

A

2

，

...

，

A

n

分别是正方形的中

心，则

n

个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

A

2

< p>
A

1

A

3

A

4

A

5

例

2

：

如图，

E

是正方形

< br>ABCD

对角线

BD

上的一点， 求证：

AE



CE

．

A

E

D

B

C

变式

1

：

如图，

P

为正方形

ABCD

对角线上一点，

PE



BC

于

E

，

PF



CD

于

F

.

求证：

AP



EF

.

A

D

P

F

C

B

E

< p>

例

3

：

如图，已知

P

是正方形

ABC D

内的一点，且



ABP

为等边三角形，那么



DCP



D

P

C

A

B

变式

1

：

如图，已知

E

、< /p>

F

分别是正方形

ABCD

的边

BC

、

CD

上的点，

AE

、

AF

分别与对

角线

BD

相 交于

M

、

N

， 若



EAF



50



，

则



CME





CNF



．

A

N

E

M

B

D

F

C

2

< p>
变式

2

：

如图，

四边形

ABCD

为正方形，

以

AB

为边向正方形外作正方形

A BE

，

CE

与

BD

相

交于点

F

，则



AFD



D

A

E

F

C

B

例

4

：

如图，正方形

ABCD

的边

CD

在正方形

ECGF

的边

< p>
CE

上，连接

BE

,

DG

，求证：

BE



DG

.

E

A

D

F

B

C< /p>

G

变式

1

：

如图，

在正方形

ABCD

中，

CE



< br>CF

，

E

为

CD

边上的一点，

F

为

< p>
BC

延长线上的一点，



FDC



30



，求



BEF

的度数

.

A

D

E

< br>B

C

F

变式

2

：

已知：如图，在正方形

ABCD

中，

G

是

CD

上一点，延长

BC

到

E

，使

CE



CG

，

连接

BG

并延长交

DE

于

F

．

（

1

）求证：



BCG

≌



DCE

；

（

2

）

< p>
将

△

DCE

绕点

D

顺时针旋转

90

< /p>

得到



DAE



，

判断四边形

E



BGD

是什么特殊四

边形？并说明 理由．

A

D

E



G

B

F

E

C

例

5

：< /p>

若正方形

ABCD

的边长为

4

，

E

为

< br>BC

边上一点，

BE



3

，

M

为线段

AE

上一点，射

3

线

BM

交正方形的一边于点

< p>
F

，且

BF



< p>
AE

，则

BM

的长为

．

变式

1

：< /p>

如图

1

，在正方形

ABCD

中，

E

、

< br>F

、

G

、

H

分别为边

AB

、

< br>BC

、

CD

、

< br>DA

上的

点，

HA



EB



FC



GD

，连接

EG

、

FH

，交点为

O

．

⑴

如图

2

，连接

EF

，

FG

，

GH

，

HE

，试判断四边形

EFGH

的形状，并证明你的结

论；

⑵

将正方形

ABCD

沿线段

EG

、

< p>
HF

剪开，再把得到的四个四边形按图

3

的方式

拼接成一个

四 边形．若正方形

ABCD

的边长为

3c m

，

HA



E B



FC



G D



1cm

，则图

3

中阴影部分的面积为

_________

cm

2

．

< br>D

G

C

F

H

A

图

1

O

E

B

H

A

图

2

E

B

图

3

D

G

C

F

变式

2

：

如图，

正方形

< p>
ABCD

对角线相交于点

O

，

点

P

、

Q

分别是

BC

、

CD

上的点，

AQ



< br>DP

，

求证：

（

1

）

OP



< br>OQ

；

（

2

）

OP



OQ

.

A

D

Q

O

B

P

C

例

6

：

如图，

正方形

ABCD

中，

< br>E

，

且

EF



AE



FC

，

F

是

AB

，

BC

边上两点，

DG



EF

于

G

，

求证：

DG



DA

A

E

G

B

F

C

D

变式

1

：

如图，点

M

，

N

分别在正方形

ABCD

的边

BC

，

CD

上，已 知



MCN

的周长等于正方

< p>
形

ABCD

周长的一半，求



MAN

的度数

4

-

-

-

-

-

-

-

-