正方形(基础)基础的知识点讲解+练习
-
正方形（基础）
【学习目标】
1
．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2
．掌握正方形的性质及判定方法．
【要点梳理】
【高清课堂
特殊的平行四边形（正方形）
知识要点】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形
.
要点诠释：
既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又
是特殊的矩形，
更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角
是直角的菱形
.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质
. <
/p>
1.
边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.
角——四个角都是直角；
3.
对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一
组对角；
4.
是轴对称图形，有
4
条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
.
要点诠释：
正方形具有平行四边形、矩
形、
菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四
个等腰直角三角
形
.
【典型例题】
类型一、正方形的性质
1
、
（2015•扬州校级一模）如图，在正方形
A
BCD
中，边长为
2
的等边三角形
AEF
的顶
点
E<
/p>
、
F
分别在
BC
和
CD
上．下列结论：①CE=CF；
②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S
正方形
．其中
正确的个数为（
）
ABCD
=2+
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】
根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；
根据角角之间的数量关系，
以及
三角形内角
和为
180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正
误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【答案与解析】
解：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF
是等边三角形，
∴AE=AF，
在
< br>Rt△ABE
和
Rt△ADF
中
，
，
∴R
t△ABE≌Rt△ADF（
HL
）
，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣
BE=CD
﹣
DF
，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF
是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接
AC
，交
EF
于
G
点，
∴AC⊥E
F，且
AC
平分
EF
< br>，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=
，
< br>设正方形的边长为
a
，
在
Rt△ADF
中，
a
+
（
a
﹣
解得
a=
2
2
）
=4
，
，
2
则
a
=2+
，
∴S
正方形
ABCD<
/p>
=2+
，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选
C
．
【总结升华】
本题主要考查正方形的
性质的知识点，
解答本题的关键是熟练掌握全等三角形
的证明以
及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
举一反三：
【变式
< br>1
】已知：如图，
E
为正方形<
/p>
ABCD
的边
BC
延长线上的点，
F
是
CD
边上一点，且
CE
＝<
/p>
CF
，连接
DE
，
BF
．求证：
DE
< br>＝
BF
．
【答案】
证明：∵四边形
ABCD
是正方形，<
/p>
∴BC＝
DC
，∠BCD＝90°
∵E
为
BC
延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝
∠
DCE
．
在△BCF
和△DCE
中，
B
C
D
C
< br>
B
C
F
D
C
E
，
C
F
C
E
∴△BCF≌△DCE（
SAS
），
∴BF＝
DE
．
【高清课堂
特殊的平行四边形（正方形）
例
1
】
【变式
2
】
（20
15•咸宁模拟）如图，在正方形
ABCD
外侧，作等边三角形
ADE
，
AC
，
BE
相交
于点
F
，则∠BFC
为（
）
A
．
75
°
B
．
60
°
C
．
55
°
D
．
45
°
【答案】
B
；
提示：∵四边形
ABCD
是正方形，<
/p>
∴∠BAD=90°，
AB=AD
，∠BAF=45°，
∵△ADE
是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
AD=AE
，
∴∠BAE=90°+60°=150°，
AB
=AE
，
∴∠ABE=∠AEB=<
/p>
（180°﹣150°）=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
故选：
B
．
2
、
如图，
四边形
ABCD
是边长为
2
的正方形，
点
G
是
BC
延长线上一点，
连接
AG
，
点
E
、
F
分别在
AG
上，连接
BE
、
< br>DF
，∠
1
＝∠2，∠3＝∠4
．
（
1<
/p>
）证明：△ABE≌△DAF；
（
2
）若∠AGB＝30°，求
EF
的长．
【思路点拨
】
要证明△
ABE
≌△
DAF
，
已知∠
1
＝∠
2
，
∠
3
＝∠
4
，
只要证一条边对应相等即可．
要
求
EF
的长，需要求出
AF
和
AE
的长．
【答案与解析】
（
< br>1
）证明：∵四边形
ABCD
是
正方形，
∴AD＝
AB
，
∵∠1＝∠
2
，∠3＝∠4，
∴△DAF≌△ABE．
（
2
）解：∵四边形
ABCD
是正方形，∠
AGB
＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠AGB＝30°，
∵∠1
＋∠4＝∠DAB＝
90
°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，
∴DF⊥AG，
∴DF＝
1
2
A
D
1
∴A
< br>F
＝
3
∵△ABE≌△DAF，
∴AE＝<
/p>
DF
＝
1
，
∴EF＝
3
<
/p>
1
【总结升华】
通过证三角形全等得到边和角相等，
是有关四边形中证边角相等的最常用的方
法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，
A
、
B
、
C
三点在同一条直线上，
AB
＝
2BC
，分别以
AB
，
BC
为边做正方形
ABEF
和正方形
BCMN
连接
FN
，
EC
．求证
：
FN
＝
EC
．
【答案】
证明：在正方形
ABEF
中和正方形
BCMN
中，
AB
＝
BE
＝
EF
，
BC
＝
BN
，∠FEN＝∠EBC＝
90
°，
∵AB＝
2BC
，即
< br>BC
＝
BN
＝
< br>∴BN＝
1
2
1
2
A
B
B
E
，即
N
为
BE
的中点，
< br>∴EN＝
NB
＝
BC
，
∴△FNE≌△ECB，
∴FN＝<
/p>
EC
．
要点三、正方形的判定
正方形的判定
除定义外，
判定思路有两条：
或先证四边形是菱形，
再证明它有一个角是
直角或对角线相等（即矩形）
；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互
相垂直（即菱形）
.
类型二、正方形的判定
< br>3
、如图所示，在
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝<
/p>
90
°，∠
BAC
、∠
ABC
的平分线相交于点
D
，且
DE
⊥
BC<
/p>
于点
E
，
DF<
/p>
⊥
AC
于点
F<
/p>
，那么四边形
CEDF
是正方形吗
?
请说明理由．
【答案与解析】
解：是正方形，理由如下：
作
DG
⊥
AB
于点
G
．
∵
AD
< br>平分∠
BAC
，
DF
⊥
AC
，
DG
⊥
AB
，
∴
DF
＝
DG
．
同理可得：
DG
＝
DE
．∴
DF
＝
DE
．
∵
DF
< br>⊥
AC
，
DE
< br>⊥
BC
，∠
C
< br>＝
90
°，
∴
四边形
CEDF
是矩形．
∵
DF
＝
DE
．
∴
四边形
CEDF
是正方形．
【总结升华】
(1)
本题运用了“有一组邻边
相等的矩形是正方形”
来判定正方形．
(2)
< br>证明正
方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证
明正方形．
举一反三：
【变式】
如图，
点
O
是线段
AB
上的一点，
OA
＝
OC
，
OD
平分∠AOC
交
AC
于点
D
，
OF
平分∠COB，
CF⊥OF
于点
F
．
（
1
）求证：四边形
CDOF
是矩形
；
（
2
）当
∠AOC
多少度时，四边形
CDOF
是
正方形？并说明理由．
【答案】
（
1
）证明：∵OD
平分∠AOC，
OF
平分∠COB（已知），
∴∠AOC
＝2∠COD，∠CO
B
＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝
1
80°
，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴
∠DOF＝
9
0°；
∵OA＝
OC
，
OD
平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，
AD
＝
DC
（等腰
三角形的“三线合一”的性质），
∴∠CDO＝
9
0°，
∵CF⊥
OF
，
∴∠CFO＝90°
∴四边形
CDOF
是矩形；
（
2
）当∠AOC＝
90
°时，四边形
CDOF
是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，
AD
＝
DC
，
< br>∴OD＝
DC
；
又由（
1
）知四边形
CDO
F
是矩形，则
四边形
CDOF
是正方形；
因此，
当∠AOC＝90°时，四边形
CDOF
是正方形．
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的
形状
（
1
）
顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
.
（
2
）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
.
（
3
）顺次连接菱形各边
中点得到的四边形是矩形
.
（
4
）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形
.
要点诠释：
新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
.
（
1
）若原四边形的对角线互相
垂直，则新四边形是矩形
.
（
2<
/p>
）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形
.
（
3
）若原四边形的对角线
垂直且相等，则新四边形是正方形
.
类型三、正方形综合应用
4
、如图，在平面直角坐标系
xoy
中，边长为<
/p>
a
(
a
为大于<
/p>
0
的常数
)
的正
方形
ABCD
的
对角线
AC
、
BD
相交于点
P
，顶点
A
在
x
轴正半轴上运动，顶点
B
在
y
轴正半轴上运动
(
x
轴
的正半轴、
y
轴的正半轴都不包含原点
O)
，顶点
C
、
D
都在第一象限．
(1)
当∠
BAO
＝
45
°时，求点
P
的坐标；
(2
)
求证：无论点
A
在
< br>x
轴正半轴上、点
B
在
y
轴正半轴上怎样运动，点
P
< br>都在∠
AOB
的平分线上；
【答案与解析】
< br>解：
(1)
当∠
BAO
＝
45
°时，∠
PAO
＝
90
°，
在
Rt
△
AOB
中，
OA
< br>＝
2
2
AB
＝
2
2
a
，在
Rt
△
APB
中，
PA
＝
2
2
AB
＝
2
2
a
．
2
2
a
,
a
．
∴
点
P
的坐标为
<
/p>
2
2
(2)
如图过点
P
分别作
x
轴
、
y
轴的垂线垂足分别为
M
、
N
，
则有∠
PMA
＝∠
PNB
＝∠
NPM
＝∠
B
PA
＝
90
°，
∵∠
BPN
＋∠
< br>BPM
＝∠
APM
＋∠
BPM
＝
90
°
∴∠
APM
＝∠<
/p>
BPN
，又
PA
＝
PB
，
∴
△
PA
M
≌△
PBN
，
∴
PM
＝
PN
，
又∵
PN
⊥
ON
，
PM
⊥
OM
于是，点
P
在∠
AOB
的平分线上
.
【总结升华】
根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形
是解题关键
.
【巩固练习】
一
.
选择题
1.
正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（
）
A
．
1
条
B
．
2
条
C
．
3
条
D
．
4
条
2.
（
2015•
< br>漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A.
四条边相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角线平分一组对角
D.
对角线相等
3.
< br>如图，正方形
ABCD
的边长为
4
c
m
，则图中阴影部分的面积为
(
)
c
m
．
2
A.6 B.8
C.16 D.
不能确定
4.
顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是
( )
A.
矩形
B.
菱形
C.
正方形
D.
梯形
5.
如
图，在边长为
2
的正方形
ABCD
中，
M
为边
AD<
/p>
的中点，延长
MD
至点
< br>E
，使
ME
＝
< br>MC
，以
DE
为边作正方形
DEFG
，点
G
在
边
CD
上，则
DG
的长为（
）
A
．
3
1
B.
3
5
C.
5
1
D.
5
1
6.
如图，正方形
< br>ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
则图中的等腰三角形有（
）
A
．
4
个
B
．
6
个
C
．
8
个
D
．
10
个
二
.
填空题
7
．若正方形的边长为
a
，则其对角线长为
______
，若正方形
ACEF
的边是正方形
ABCD
的对
角线，则正方形
ACEF
与正方形
ABCD
的面积之比等于
__
____
．
8.
< br>如图，在四边形
ABCD
中，
A
B
＝
BC
＝
C
D
＝
DA
，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，若不增加任何
字母与辅助线，要使四边形
ABCD
是正方形，则还需增加一个条件是
_
________.
9.
如图，将边长为
2
c
m
的正方形
ABCD
沿其对角线
AC
剪开，再把△ABC
沿着
AD
方向平移，
得到△
A<
/p>
B
C
，若两个三角形重叠部分的面积是
1
c
m
，则它移动的距离
A
A
等于
____
c
m
.
2
10.
如图，
边长为
2
的正方形
ABCD
的对角线相交于点
O
，
过点
O
的直线分别交
AD
、
BC
于
E
、
F
，则阴影部分的面积
是
_______.
11.
如图．
边长为
1
的
两个正方形互相重合，
按住其中一个不动，
将另一个绕顶点
A
顺时针
旋转
45
°，则这两个正方形重叠部分的面积是
______
．
12.
（
2015
•
长春）如图，点
E
在正方形
ABCD
的边
CD
上．若
△
ABE<
/p>
的面积为
8
，
C
E=3
，
则线段
BE
< br>的长为
．
三
.
解答题
13
．已知：如图，正方形
ABCD<
/p>
中，点
E
、
M<
/p>
、
N
分别在
AB
、
BC
、
AD
边上，
CE
＝
MN
，
∠
M
CE
＝
35
°，求∠
< br>ANM
的度数．
14
．<
/p>
（
2015
•
铁
力市二模）
如图，
点
P
是正方形
ABCD
的对角线
B
D
上一点，
PE
⊥
BC
于点
E
；
PF
⊥
CD
于点
< br>F
，连接
EF
，给出下列五个结
论：
①
AP=EF
；
< br>②
AP
⊥
EF
< br>；
③
∠
PFE=
∠
BAP
；
2
2
2
④
PD=EC
；
⑤
PB
+PD
=2PA
，正确的有几个？．
15
．如
图，
边长为
3
的正方形
ABCD
绕点
C
按顺时针方向
旋转
30
°后，得到正方形
EFCG<
/p>
，
EF
交
AD<
/p>
于
H
，求
DH<
/p>
的长．
【答案与解析】
一
.
选择题
1.
【答案】
D
；
【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边
中点所在的直线，对称轴共
4
条．
<
/p>
2.
【答案】
D
；
【解析】正方形的性质：
正方形的
四条边相等，四个角都是直角，
对角线互相垂直平分且
相等，并
且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质：菱形的四条边相
等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分
一组对角；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：
D
．
3
．
【答案】
B
；
【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半
.
4.
【答案】
A
；
5.
【答案】
D
；
【解析】
利用勾
股定理求出
CM
＝
5
< br>，
即
ME
的长，
有
DM
＝
DE
，
所以可以求出
DE
＝
5
1
，
进而得到
DG
的长．