正方形内的45°角
-
正方形内的
45
°角
例
题：
<
/p>
（
1
）如图
1<
/p>
，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
上一点，
F
是
AD
延长线上一点，
且
DF
＝
BE
．求证：
CE
＝
CF
< br>；
（
2
）如图
2
，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
上一点，
G
是
AD<
/p>
上一点，如果∠
GCE
＝
45
°，请你利
用（
1
）的结论证明：
GE
＝
BE
＋
GD
．
（
3
）运用（
1
）（
2
）解答中所积累的经验和
知识，完成下题：
如图
3
，在直角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
（
BC
＞
AD
），∠
< br>B
＝
90
°，
< br>AB
＝
BC
，
< br>E
是
AB
上一点，
且∠
DCE
＝
45
°，
BE
＝
4
，
DE
=10,
求直
角梯形
ABCD
的面积．
【答案】
解：（
1
）证明：在正方形
ABCD
中，
∵
BC
＝
CD
，∠
B
＝∠
CDF
，
BE
＝
DF
，
∴△
CBE
< br>≌△
CDF
（
SAS
）。∴
CE
＝
CF
。
（
2
）证明：
如图，延长
AD
至
F
，使
DF
=
BE
．连接
CF
。
由（
1
< br>）知△
CBE
≌△
CDF
，∴∠
BCE
＝∠
D
CF
。
∴∠
BCE
＋∠
ECD
＝∠
DCF
＋∠
ECD
，
即∠
ECF
＝∠
BCD
＝
90
°。
又∠
GCE
＝
45
°，∴∠
GCF
＝∠
GCE
＝
45
°。
∵
CE
＝
CF
，∠
GCE
＝∠
GCF
，
GC<
/p>
＝
GC
，
∴△
ECG
≌△
F
CG
（
SAS
）。∴
< br>GE
＝
GF
，
< br>
∴
GE
＝
DF
＋
GD
＝
BE
＋
GD
。
（
3
）如图，过
C
作
CG
⊥
< br>AD
，交
AD
延长线于
G
．
在直角梯形
ABCD
中，∵
AD
∥
BC
，∴∠
A
＝∠
B
＝
90
°。
又∠
CGA
＝
90
°，
AB
＝
BC
，∴四边形
ABCD
为正方形。
∴
AG
＝
BC
。
已知∠
DCE
< br>＝
45
°，根据（
1
）（
2
）可知，
ED
＝
BE
＋
DG
。∴
10=4+
DG
，即
DG
=6
。
设
AB
＝
x
，则
AE
＝
x
－
4
，
A
D
＝
x
－
6<
/p>
，
在
Rt
△
AED
中，∵
D
E
2
=
AD
2
＋
AE
2
，即
10
2
=
（<
/p>
x
－
6
）
2
＋（
x
－
4
）
2
。
解这个方程，得：
x
=1
2
或
x
=
－<
/p>
2
（舍去）。∴
AB
=12
。
∴
S
梯形
ABCD
（
AD
BC
）
AB
< br>（
6
12
）
12
108
。
∴梯形
ABCD
的面积为
108
。
【考点】
正方
形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。
【分析】
（
1
）由四边形是
ABCD
正方形，易证得△
CBE
≌△
CDF
（
SAS
），即可得
CE
=
CF
。
（
2
）
延长
AD
至
F
，
使
DF
=
BE
，
连接
CF
，
由
（
1
）
知△
CBE
≌△
CDF
，
易证得
∠
ECF
=
∠
BCD
=90
°，
又由∠
GCE
=45
°，可得∠
G
CF
=
∠
GCE
=45
°，即可证得△
ECG
≌△<
/p>
FCG
，从而可得
GE
< br>=
BE
+
GD
< br>。
（
3
）过
C
作
CG
⊥
AD
，交
AD
延长线于
G
，易证得四边形
ABC
G
为正方形，由（
1
）
（
2
）
可知，
ED
=
BE
+
DG
，即可求得
DG
的长，设
AB
=
x
，在
Rt
△
AED
中，由勾股定理
DE
2=
AD
2+
AE
2
，可
得方程，解方程即可求得
AB
的长，从而求得
直角梯形
ABCD
的面积。
练习
1
、如
图，正方形纸片
ABCD
的边长为
3<
/p>
，点
E
、
F
分别在边
BC
、
C
D
上，将
AB
、
AD
分别和
AE
、
< br>1
2
1
2
AF
折叠，点
B
、
< br>D
恰好都将在点
G
处，已知
BE
=1
，则
EF
的长为【
】
A
．
B
．
C
．
D
．
3
【答案】
B
。
【考点】
翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，
勾股定理。
【分析】
∵正方形纸片<
/p>
ABCD
的边长为
3
，∴∠
C
=90
°，
BC
=
CD
=3
。
根据折叠的性质得：
EG
=
BE
=1
，
GF
=
DF
。
3
2
5
2
9
4
设
DF
=
x
，则
EF
=
EG
＋
GF
=1
＋
x
，
FC
=
DC
－
DF
=3
－
x
，
EC
=
BC
－
BE
=3
－
1=2
。
在
Rt
△
EFC<
/p>
中，
EF
2
=<
/p>
EC
2
＋
FC<
/p>
2
，即（
x
＋<
/p>
1
）
2
=2
2
＋（
3
－
x
）
2
，解得：
x
。
∴
DF
=
<
/p>
，
EF
=1
＋<
/p>
=
。故选
B
。<
/p>
2
、如图
11
，△
ABC
中，已知∠
BAC
＝
45
°，
AD
⊥
BC
于
D
，
BD
＝
2
，
DC
＝
3
，求
AD
的长
.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此
题
.
A
F
E
C
B
D
G
图
11
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
< br>(1)
分别以
AB
、
AC
为对称轴，画出△
ABD
、△
ACD
的轴对称图形，
D
点的对称点为
E
、
F
，
延长
EB
、
FC
相交于
G
点，证明四边形
AEGF
是正方形；
(2)
设
AD
=
x
，利用勾股定理，建立关于
x
的方程模型，求出
x
的值
.
【答案】
(1)
证
明：由题意可得：△
ABD
≌△
ABE
，△
ACD
≌△
ACF
∴∠
DAB
＝∠
EAB
，∠
DAC
＝∠
FAC
，又∠
BAC
＝
45
°，
∴
∠
EAF
＝
90
°又∵
AD
⊥
BC
∴∠
E
＝∠
ADB
＝
90
°∠
F
＝∠
ADC
＝
90
°
又∵
AE
＝
AD
，
AF
＝
AD
∴
AE
＝
AF
∴四边形<
/p>
AEGF
是正方形
(2)
解：设
AD
＝
x
，则
AE
＝
EG
＝
GF
＝
x
∵
BD
＝
2
，
DC
＝
< br>3
∴
BE
＝
2
·
，
CF
＝
3
(3)
∴
BG
＝
x
－
2
，<
/p>
CG
＝
x
－
3
在
Rt
△
BGC
中，
BG
2<
/p>
＋
CG
2
＝
BC
2
∴
( <
/p>
x
－
2)
2
＋
(
x
－
3)
2
＝
5
2
化简得，
x
2
－
5
x
－
6
＝
0
解得
x
1
＝
6
，
x
2
＝－
1
（舍）
所以
AD
＝
x
＝
6
3
、（
1
）如图①，在正方形
ABCD
中，△
AEF
的顶点
E
，
F
分别在
BC
，
< br>CD
边上，高
AG
与正
方形的边长相等，求
EAF
< br>的度数．
（
2
）如图②，在
Rt
△
ABD<
/p>
中，
BAD
90
，
AB
AD
，点
M
，
N
是
BD<
/p>
边上的任意两点，
且
< br>MAN
45
，将△
ABM
绕点
A
逆时针旋转
90
至△
ADH
位置，连接
NH
，试判断
MN
，
ND
，
DH
之间的数量关系，并说明理由．
3
2
3
5
2
2
3
< br>2
A
B
E
G
D
F
C
（图①）
A
H
B
M
N
D
（图②）
（
3
）在图①中，连接
BD
< br>分别交
AE
，
AF
于点
M
，
N
，若
EG
4
，
GF
< br>6
，
BM
3
2
，求
AG
，
MN
的长．
< br>【答案】（
1
）在
Rt
△
ABE
和
Rt
△
AGE
中，
AB<
/p>
AG
，
AE<
/p>
AE
，
∴△
ABE
≌△
A
GE
．
∴
BAE
GAE
．
同理，
GAF
DAF
．∴
EAF
BAD
45
．
（
2
）
MN
2
ND
2
DH
2
．
< br>
∵
BAM
< br>
DAH
，
< br>
BAM
< br>DAN
45
，
∴
HAN
DAH
DAN
45
．
∴
HAN
MAN
．
又∵
AM
AH
，
AN
AN
，∴△
AMN
≌△
AH
N
．
∴
MN
HN
．
∵
BAD
90
，
AB
AD
，
<
/p>
∴
ABD
<
/p>
ADB
45
．
∴
HDN
HDA
ADB
90
．
∴
NH
2
ND
2
DH
2
．
∴
MN
2
<
/p>
ND
2
DH<
/p>
2
．
（
3
）由（
1
）知，<
/p>
BE
EG
，<
/p>
DF
FG
．<
/p>
A
设
AG
x
，则
CE
x
4
，
CF
x
6
．
∵
CE
2
< br>
CF
2
EF
2
，
M
N
∴
(
x
4
)
2
(
x
6
< br>)
2
10
2
．
D
B
解这个方程，得
< br>x
1
12
，
x
2
2
（舍去负根）．
E
G
F
C
1
2
（图①）
∴
MN
2<
/p>
ND
2
BM
2
．设
MN<
/p>
a
，则
a
2
(
12
2
3
2
a
)
2
(
3
2
)
2
．
∴
a
5
2<
/p>
．即
MN
5<
/p>
2
．
【思路分
析】
（
1
）根据正方形的每个内角是直
角，利用“
HL
”证明△
ABE
≌△
AGE
，△
AF
G
1
≌△
AFD,
从而得出
EAF
BAD
；（
2
）利用旋转过程前后的两个图形全等，得到对应边、
2
对应角相等，
从而为证明△
AMN
≌△
AHN
做好了足够铺垫
.
将线段
MN
的长转移为
HN
的长，
从而
将三条线段集中于
Rt
△
HDN
中<
/p>
.
（
3
）利用（
1
）的结论求出
AG
< br>的长，进而得出
BD
的长
.
利用
（
2
）的结论
求出
MN
的长
.
∴
AG
12
．∴
BD
AB
< br>2
AD
2
2
AG
2
12
2
．
在（
2
）中，
MN
2
ND
2
DH
2
，
BM
DH
，
【方法规律】
(1)
当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角
形的内角
和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分
夹角问
题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题
.
（
2
）
当条件中提供的
边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（
3
）平移、旋转
、轴对称对应
了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（<
/p>
3
）如果一个题目有
三个问号，前面的问
号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要
解决最后一个问号
时重起炉灶，浪费时间
.
4
、已知：正方形
ABCD
的边长为
1
，射线
AE
与射线
BC
交于点
E
，射
线
AF
与射线
CD
交于
点
F
，∠
EAF=
45
°
.
（
1
）如图
1
，当点
E
在线段
BC
上时，试猜想线段
EF
、
BE
、
DF
有怎样的数量关系？并
证
明你的猜想
.
（
< br>2
）设
BE=x
，
DF=y
，当点
E
在线段<
/p>
BC
上运动时（不包括点
B
、
C
），如图
1
，求
y
关于
x
的函数解析式，并指出
x
的取值范围
.
（
3
< br>）当点
E
在射线
BC
上运动时（不含端点
B
），点
F
在射线
CD
上运动
.
试判断以
E
为圆
心以
BE
为半径的⊙
E
和以
F
为圆心以
FD
为半径的⊙
F
之间的位置关系<
/p>
.
（
4
）
当点
E
在
BC
延长线上时，
设
AE
与
CD
交
于点
G
，
如图
2.
问⊿
EGF
与⊿
< br>EFA
能否相似，
若能相似，求出
BE
的值，若不可能相似，请说明理由
.
F
F
A
D
2
A
A
D
D
45°
45°
45°
1
G
F
G
E
B
F'<
/p>
C
B
E
E
C
B
C
图
2
图
2
图
1
（
1
）猜想：
< br>EF=BE+DF
.
证明：
将⊿
ADF
绕着点
A
< br>按顺时针方向旋转
90
°，
得⊿
ABF
′
，
易
知点
F
′、
B
、
E
在一直线上
.
图
1.
∵
AF
′
=
AF
，
∠
F
′
AE
=
∠
1+
∠
3=
∠
2+
∠
3=90
°
-45
°
=45
°
=
∠
EAF
，
又
AE=AE
，∴⊿
AF
′
E
≌⊿
AFE.
∴
EF=F
′
E=BE+DF
.
（
2
）由（
1
）得
EF=x+y
又
CF
=1-
y
，
EC
=1-
x
，
∴
1<
/p>
y
1
x
x
y
.
< br>1
x
0
x
1
.
中国教
^
#
育出
~&
版网
%]
化简可得
y
1
x
（
3
）①当点
< br>E
在点
B
、
C
之间时，由（
1
）知
EF=BE+DF
，故此时⊙
E
与⊙
F
外切；
②当点
E
在点
C
时，
DF
=0
，⊙
F
不存在
. <
/p>
③当点
E
在
BC
延长线上时，
将⊿
ADF
绕着点
A
按顺时针方向旋转
90
°，
得⊿
ABF
< br>′
，
图
2.
有
AF
′
=
AF
，
∠<
/p>
1=
∠
2
，
B
F
FD
，∴∠
F
′
AF
=90
°
.
∴
∠
F
′
AE
=
∠
EAF=
45
°
.
又
AE=AE
，∴⊿
AF
′
E
≌⊿
AFE.
∴
EF
<
/p>
E
F
BE
B
F
BE
FD
.
∴此时⊙
E
与⊙
F
内切
.
综上所述，当点
E
在线段
BC
上时，⊙
E
与⊙
F
外切；当点
E
在<
/p>
BC
延长线上时，⊙
E
< br>与⊙
F
内切
.
2
2
2
（
4
）⊿
EGF
与⊿
EFA
能够相似，只要当∠
EFG
=
∠
EAF=
45
°即可
.
[#
这时有
CF=CE.
设
BE=x
，
DF=y
，由（
3
）有
EF=x-
y
.
由
CE
2
CF
2<
/p>
EF
2
，得<
/p>
x
1
2
2
2
x
1
.
x
1
1
y
x
y
.
化简可得
y
x
1
x
1
又由
EC=FC
，得
x
1
1
y
，即
x
1
1
，化简得
x
2
2
x
1
0
，
x
1
解之得
x
1
1
2
,
x
2
< br>
1
2
（不符题意，舍去）
.
∴所求
BE
的长为
1
2
.
5
、某
数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图
1
，在等腰△
ABC
中，<
/p>
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝
90
º
，小敏将一块三角板中含
45
º
角的顶点
放在点
A
处，从
AB
边开始绕点
A
顺时针旋转一个角
，其中三角板斜边所在的直线交
直
线
BC
于点
D
，直角边所在的直线交直线
BC
于点
E
．
(1)
小敏在线段
BC
上取一点
M
，连接
AM
，旋转中发现
：若
AD
平分∠
MAB
，则
AE
也平分∠
MAC
．请你证明小敏发现的结论；
(2)
当
0
º
＜
≤
45
º
时，小敏在旋转的过程中发现线段
BD
、
CE
、
DE
之间存在如
下等量关
系：
BD
2
< br>＋
CE
2
＝
DE
2
．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行
解决：
小颖的方法：将△
ABD
沿
AD
所在的直线对折得到△
ADF
，连接
EF
(
如图
2)
；
小亮的方法：将△
ABD
绕点
A
逆时针旋转
90
º
得到△
ACG
，连接
E
G
(
如图
3)
．
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)
小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当
45
º
＜
< br>≤
135
º
且
< br>
≠
90
º
时，等量关系
BD
2
＋
CE
2
＝
DE
2
仍然成立．现请你继续探究：当
135
º
＜
＜
180
º
时
(
如图
4)
，等量关
系
BD
2
＋
CE
2
＝
DE
2
是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．