正方形的性质及判定
-
正方形的性质
及判定
中考要求
板块名称
A
正方形
会识别正方形
中考考试要求层次
B
C
掌握正方形的概念、性质和判定，会
会用正方形的知识解决有关
用正方形的性质和判定解决简单问题
问题
1
．
正方形
的定义：
有一组邻边相等，
并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形．
2
．正方形的性质
< br>正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
①
边的性质：对边平行，四条边都相等．
②
角的性质：四个角都是直角．
③
对角线性质：两条对角线互相垂直
平分且相等，
•
每条对角线平分一组对角．
④
对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：
（如图）
3
．正方形的判定
< br>判定
①
：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定
②
：有一个角是直角
的菱形是正方形．
1.
掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱
形、矩形的关系
2.
掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3.
提高学生分析问题及解决问题的能力。
4.
通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点
重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用
13.1.4
正方形的性质和判定
讲义·学生版
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知识点睛
平行四边形
正
矩形
方
菱形
形
教学目标
重、难点
例题精讲
一、正方形的性质
【铺垫】正方形有
条对称轴．
【例
1
】
<
/p>
☆⑴已知正方形
BDEF
的边长是正方形
ABCD
的对角线，则
S
正方形
BDEF
:
S
正方形
ABCD
⑵如图，已知正方形
ABCD
的面积为
256
，点
F
在
CD
上，点
E
在
CB
的延长线上，且
AE
AF
，
AF
20
，则
BE
的长为
A
D
F
E
B
C
⑶如图，在正方形
ABCD
中，
E
为
AB
边的中点，
G
，
F
分别为
AD
< br>，
BC
边上的点，若
AG
1
，
BF
2
，
GEF
90
，则
GF
的长为
．
【例
2
】
<
/p>
☆将
n
个边长都为
1cm
的正方形按如图所示摆放，点
A
1
，
A
2
，
...
，
A
n
分别是正方形的中心，则
n
个
正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A
2
A
1
A
3
A
4
A
5
【例
3
】
<
/p>
☆如图，正方形
ABCD
的边长为
2cm
，以
B
为圆心
，
BC
长为半径画弧交对角线
BD
于点
E
，连
接
CE
，
P
是
CE
上任意一点，
PM
BC
于
M
，
PN
BD
于
N
，则
PM
PN
的值为
<
/p>
A
N
E
P
B
M
C
D
【铺垫】如图，
E
是正方形
ABCD
对角线
BD
上的一点，求证
：
AE
CE
．
13.1.4
正方形的性质和判定
讲义·学生版
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A
E
D
B
C
【例
4
】
<
/p>
如图，
P
为正方形
ABCD
对角线上一点，
PE
BC
于
E
，
PF
CD
于
F
.
求证：
AP
EF
.
A
D
P
F
C
【巩固】
如
图所示，正方形
ABCD
对角线
AC<
/p>
与
BD
相交于
O
，
MN
∥
AB
，且分别与
AO
、
BO
交于
M
、
N
．试探讨
BM
与
CN
之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．
D
O
M
A
N
B
C
B
E
【巩固】
☆
如图，已知
P
是正方形
ABCD
内的一点，且
ABP
为等边三角形，那么
DCP
D
P
C
A
B
【例<
/p>
5
】
已知正方
形
ABCD
，在
AD
< br>、
AC
上分别取
E
、
F
两点，使
ED
∶
AD
2
FC
∶
AC
，求证：
BEF
是
等腰直
角三角形．
A
E
H
D
F
B
G
C
【例
6
】
<
/p>
如图，已知
E
、
F
分别是正方形
ABCD
的边
BC
、
CD
上的点，<
/p>
AE
、
AF
分别
与对角线
BD
相交
于
< br>M
、
N
，若
EAF
50
< br>
，则
CME
CNF
．
13.1.4
正方形的性质和判定
讲义·学生版
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D
F
C
N
E
M
A
B
【例
7
】
<
/p>
☆如图，四边形
ABCD
为正方形，以<
/p>
AB
为边向正方形外作正方形
ABE
，
CE
与
BD
相交于点
F
，
则<
/p>
AFD
D
A
E
F
C
B
【例
8
】
<
/p>
如图，正方形
ABCD
中，在
AD
的延长线上取点
E
，
F
，使
D
E<
/p>
A
D
，
DF
BD
．连结<
/p>
BF
分别
交
CD
，
CE
于
H<
/p>
，
G
．求证：
GHD
是等腰三角形．
A
D
G
E
< br>2
H
1
B
3
C
4
F
【巩固】
如
图，过正方形顶点
A
引
AE
∥
BD
，且
BE
BD
．若
BE
与
AD
的延长线的交点为
F
，求证
DF
< br>DE
．
A
G
D
F
B
【例
9
】
<
/p>
如图所示，
在正方形
ABCD
中，
AK
、
AN
是
A
内的两条射线，
BK
AK
，
BL
AN
，
DM
AK
，
DN
AN
，
求证
KL
MN
，
KL
MN
.
D
N
K
M
A
B
C<
/p>
E
L
【巩固】
如
图，正方形
ABCD
的边
CD
在正方形
ECGF<
/p>
的边
CE
上，连接
BE
,
DG
，求证：
BE
DG
.
E
A
D
F
< br>
【例
10
】
（
2007
年三帆中学期中考试）如图
，在正方形
ABCD
中，
E
为
CD
边上的一点，
F<
/p>
为
BC
延长线
1
3.1.4
正方形的性质和判定
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B
C
G