多次相遇和追及问题含答案
-
多次相遇与追及问题
知识框架
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
< br>所有行程问题都是围绕“
路程
速度
时间
”这一条基本关系式展开的
，多人相遇与追及问题虽然较
复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量
，问题即可迎刃而解．
二、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：
第
< br>1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全
程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………，
………………；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了第
1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次都走
2N
米。
2.
同地同向出发：
第
< br>1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇，共走
4
个全
程；
第
3
次相遇，共走
6
< br>个全程；
…………，
………………；
第
N
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
多人相遇追及的解题关键
路程差
三
、解多次相遇问题的工具
——
柳卡
<
/p>
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求
数交点个数即可完成。折线示
意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以
及“由相遇的
地点求出全程”，
使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时
间
是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
五年级奥数
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行程
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多次相遇与追及问题
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例题精讲
【例
1
】
甲
、
乙两名同学在周长为
300
米圆形跑
道上从同一地点同时背向练习跑步，
甲每秒钟跑
3.5
米，
乙
每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
从
开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的
10
倍，为
300
10<
/p>
3000
米，因为甲的速度为每秒钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
4
米，所以这段时间内
甲共行了
3000
3.5
140
0
米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了
200
米，可知甲还需行
3.5
4
300
200
< br>
100
米才能回到出发点．
【答案】
100
米
【巩固】
< br>甲
乙两人在相距
90
米的直路上
来回跑步，甲的速度是每秒
3
米，乙的速度是每秒
2
米．如果他
们同时分别从直路两端出发，
10
分钟内共相遇几次？
【考点】行程问题
【解析】
1
7
【答案】
17
【例
2
】
甲
、乙两车同时从
A
地出发，不停的往返行驶于
< br>A
，
B
两地之间。已知甲车的速
度比乙车快，并
且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中
C<
/p>
地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
2
倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的
路程相等，即
AC
2
CB
,
推知
AC
2
4
AB
.
第一次相遇时，甲走了
AB
BC
AB
,
乙走了
3
3
AC
2
AB
,
所以甲车速度是乙车的
2
倍。<
/p>
3
【答案】
2
倍
【巩固】
甲
、乙二人从相距
60
千米的两地同时相向而行，
6
时后相遇。如果二人的
速度各增加
1
千米／
时，那么相遇地点
距前一次相遇地点
1
千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？<
/p>
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
甲
、乙两人的速度和第一次为
60
÷
6=
10
（千米／时）
，第二次为
12
（千米
/
时）
，故
第二次出发后
五年级奥数
.
行程
.
多次相遇与追
及问题
.
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5
时相
遇。设甲第一次的速度为
x
千米／时，由两次相遇的地点相距<
/p>
1
千米，有
6x
－
5
（
x
＋<
/p>
1
）
＝±
1
，解得
x
＝
6
或
x
＝
4
，即甲、乙二人的速度分别为
6
千米／时和
4
千米／时。
【
答案】甲、乙二人的速度分别为
6
千米／时和
< br>4
千米／时
【例
3
】
如
图，
甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路
线运
动，当乙走了
100
米以后，他们
第一次相遇，在甲走完一周前
60
米处又第二次相遇
.
求此圆形场
地的周长．
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
注
意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
共走完
1+<
/p>
1
圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙
2
1
3
＝
圈
的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为
1
：
3
，因而第二次相
2
2
遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的
3
倍，即
100
×
3
=300
米．有甲、乙第二次
相遇时，共行走
< br>(1
圈－
60)+300
，为<
/p>
【答案】
480
米
【巩固】
A
、
B
是圆的直径的两端，甲在<
/p>
A
点，乙在
B
点
同时出发反向而行，两人在
C
点第一次相遇，在
D
点第二次相遇．已知
C
离<
/p>
A
有
75
米，<
/p>
D
离
B
有
55
米，求这个圆的周长是多少米？
【考点】行程问题
【解析】
3
40
【答案】
340
【例
4
】
甲
、乙两车分别同时从
A
、
B
两地相对开出，第一次在离
A
地
< br>95
千米处相遇．相遇后继续前进到
达目的地后又立刻返
回，第二次在离
B
地
25
千米处相遇．求
A
、
B
两地间的距离是多少千米？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【难度】☆☆☆
【题型】解答
3
< br>圈，所以此圆形场地的周长为
480
米．
2
【解析】
画
线段示意图
(
实线表示甲
车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线
)
：
< br>
五年级奥数
.
行程
.
多次相遇与追及问题
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可以发现第一次相遇意味着两车
行了一个
A
、
B
两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个
A
、
B
两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个
A<
/p>
、
B
两地间的距离时，甲车行了
95
千米，当它
们共行三个
A
、
B
两地间的距离时，甲车就行
了
3
个
95
千
米，即
95
×
3=285
（千米），而这
285
千米比一个
< br>A
、
B
两地间的距离多
25
千米，可得：
95
×
3-25=285-25=260(
千米
)
．
【答案】
< br>260
千米
【巩固】
甲
、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B<
/p>
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
4
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后
立即返回，在距
B
地
3
千米处第二次相遇，求两
次相遇地点之间的距离
.
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
4
×
3=12
千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来
那一段，就是距
B
地的
3
千米，所
以全程是
12-3=9
千米，所以两次相遇点相距
9-
（
3+4
）
=2
千米。
< br>
【答案】
2
千米
【例
5
】
甲
、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B<
/p>
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
18
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点
后立即返回，在距
B
地
13
千米处第二次相遇，求
AB
两地之间的距离
.
【考点】行程问题
【解析】
4
1
千米
<
/p>
【答案】
41
千米
【巩固】
甲
、乙两车同时从
A
，
B
两地相向而行，在距
B
地
54
千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即
返回原地，途中又在距
A
地
42
千米处相遇。求两次相遇地点的距离。
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
2
4
千米。提示：第一次相遇两车共行了
A
，
B
间的一个单程，其中乙行了
5
4
千米；第二次相遇
两车共行了
A
，
B
间的
3
个单程，乙行了
54
×
3
＝
162
（千米）
，乙行的路程又等于一个单程加
42
千米。故
A
，
B
间的距离为
162
－
42
＝<
/p>
120
（千米）
。
【答案】
120
千米
【例
6
】
甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
3
千米，
相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距
B
地<
/p>
2
千米处第二次相遇，求第
2000
次相遇地点与第
2001
次相遇地点之间的
距离
.
【考点】行程问题
【解析】
4
千米
五年级奥数
.
行程
.
多次相遇与追及问题
.
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【难度】☆☆
【题型】解答
【答案】
4
千米
【巩固】
甲
、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B<
/p>
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后
立即返回，在距
B
地
3
千米处第二次相遇，求第
三次相遇时共走了多少千米
.
【考点】行程问题
【解析】
9
0
千米
<
/p>
【答案】
90
千米
【例
7
】
A
、
B
两
地相距
2400
米，甲从
A
地、乙从
B
地同时出发，在
A
、
B
间往返长跑。甲每分钟跑
300
米，乙每分钟跑
240
米，在
30
分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相
遇时
A
地最近？最近距
离是多少米？<
/p>
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
3
0
×
(300+240)
÷
2400=6.75
个全程，相遇
3
次，把全程分成
9
份，第一次相遇，甲跑
5
份，第二
次相遇甲跑
1
5
份，距离
A
3
份，第三次相遇甲跑
25
份距离
A<
/p>
7
份，所以第二次相遇距离
A
最近，
最近为
2400
÷
9
×
3=800
米。
【答案】
800
米
【巩固】
A
、
B
两地相距
950
< br>米。甲、乙两人同时由
A
地出
发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走
40
米；
乙跑步，每分钟行
150
米。则甲、乙二人第
___ __
次迎面相遇时距
B
地最近。
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】填空
【解析】
半
小时，
两人一共行走
40
150
30
5700
米，
相当于
6
个全程，
两人行程每
2
个全程就会有一
次相遇，
而两人的速度比
15
：
4
，所以相同时间内两人的行程比为
15
：
4
，那么第一次相遇甲走
了全程的
距离
4
8
11
16
3
24
距离
B
个全程，
第二次相遇甲总行程
距离
B
个全程，
第三次
2
，
15
4
19
19
19
19
19
5
个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离
B
地最近。
19
【答案】第二次
【例
8
】
甲、乙两车分别从
A
，
B
两地出发，并在
A
，
B
两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是
15
千米
／时，乙车的速度是
25
千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差
100
千米。
求
A
，
B
两地的距离。
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
2
00
千米。第一次相遇时，两车共走
1
个单程，其中乙车占
15
3
。第三次相遇时，两车共
15
25
8
< br>五年级奥数
.
行程
.
多次相遇与追及问题
.
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3
7<
/p>
3
5
走
5
个单程，
乙车走了
5
1
（个）
单程；
第四次相遇时，
两车共走
7
个单程，
乙车走了
7
2
8
8
8
8
（个）单程；因为第三次、四次相
遇地点相差
7
5
1
1
（个）单程，所以
A
，
B
两地相距
8
8
2
100
1
。
200
（千米）
2
【答案】
200
千米
【巩固】
欢
欢和乐乐在操场上的
A
、
B
两点之间练习往返跑，
欢欢的速度是每秒
8
米，
乐乐的速度是每秒
5
米。两人同时从
A
点出发，到达
B
点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离
AB
的中点
5
米，
AB
之间的距离是
________
。
【考点】行程问题
【解析】
1
30
米。
第二次应面相遇，两人合计跑了
4
个全
程，速度比试
8:5
，所以欢欢跑了
4
1
6
全程为
5
130
米
2
13
【难度】☆☆☆
【题型】填空
8
32
6
2
13
13
13
【答案】
130
米
【例
9
】
甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池
50
米泳道的两端同时开始游，直到一方追
上另一方为止，
追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为
1.0
米／秒和
0.8
米／秒。问：
（
1
）比赛
开始后多长时间甲追上乙？（
2
）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
（
1
）
250
秒；
（
2
）
4
次
。提示：
（
2
）甲、乙分别游了
5
个和
14
个单程，
故迎面相遇
4
次。
< br>【答案】
（
1
）
250
秒；
（
2
）
4
次
【巩固】
小
明和小红两人在长
100
米的直线跑
道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为
6
米
/
秒，小红
的速度为
4
米
/
秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了
12
分钟．在这段时间内，他们迎面相遇
了多少次？
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
第
一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：
100
<
/p>
（
6
4
）
10
(
秒
)
．此后，两人每相遇
一次，就要合跑
2
倍的跑道长，也就是每
20
秒相遇一次，除去第一次的
10
秒，两人共跑了
列
12
60
10
710
(
秒
)
．
求出
710
秒内两人相
遇的次数再加上第一次相遇，
就是相遇的总次数．
式计算为：<
/p>
100
（
6<
/p>
4
）
10
(
秒
)
，
（
12
60
10
）
（
10
2
）
35
10
，共相遇
35
1
36
(
次
)
。注：
解决问题的关
键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
【答案】
36
次
五年级
奥数
.
行程
.
多次相遇与追及问题
.
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