多次相遇与全程的关系
-
多次相遇与行程的关系
二、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：
相遇分二种情况：一：迎面相遇；二追及相遇。
情况一：
迎面相遇情况
第
1
次迎面相遇，共走
1
个全程；
第
2
次迎面相遇，共走
3
个全程；
第
3
次迎面相遇，共走
5
个全程；
…………，
………………；
第
N
次迎面相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了第
1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次都走
2N
米。
迎面相遇的速度是两者的速度和来计算。即第
N
次相
遇时，两人（车等）共行了
2N-1
个全程，速度
是速度和
情况二：
追及相遇计算：
第
< br>1
次追及相遇，多走
1
个全程；
第
2
次追及
相遇，多走
3
个全程；
第
3
次追及相遇，多走
5
个全程；
…………，
………………；
第
N
次追及相遇，多走
2N-1
个全程
追及相遇是追及问题，速度是两都的速度差来计算。
两地相向出发情况下，如追及相遇四次时，那快的比慢的多行
2*4-1=7
个全程。
快的比慢的多行
2N-1
个全程（
N
为追及次数）
，追及的速度是两者的速度差。
总相遇（通称相遇）
=
迎面相遇
+
追及相遇
例：甲乙两名动动员在长为
25
米的游泳池里来回
游泳，甲的速度是
1
米
/
秒，乙的速度是
0.6
米
/
秒，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了
5
分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内甲、乙共相遇（包括追及）多少次？
< br>
分两种情况计算：
一、迎面
相遇：
2N-1=
（
5*60
）
*(1+0.6)/25
（距离
=
时间
*
速度）距
离
/
单位长度
=
几全程数再取整即【距离
/
单位长度】
2N-1=4
80/25=19
……
5,
取
整数部分为
19
，即
2
N-1=19
N=10
（次）即迎
面相遇了
10
次；
< br>二、追及相遇：
2N-1=
（
5
*60
）
*(1-0.6)/25=120/25=4
……
20
取整
为
4
，
即
2N-1=4
N=2.5
< br>取整为二次
（半次或有小数部分说明追及了比整数部分
多
的部分，但没到下一次，半路上）
总次数
=
迎面相遇
+
追及相遇
=10+2=12(
次
)
2.
同地同向出发：
情况一：迎面相遇
第
1
次迎面
相遇，共走
2
个全程；
第
2
次迎面相遇，共走
4
个全程；
第
3
次迎面相遇，共走
6
个全程；
…………，
………………；
第
N
次迎面相遇，共走
2N
个全程；
迎面相遇问题的速度是两者的速度和；
情况二、追及相遇
第
1
次追及相遇，多走
2
个全程；
第
2
次追及相遇，多走
4
个全程；
第
3
次追及相遇，多走
6
个全程；
…………，
………………；
第
N
次追及相遇，多走
2N
个全程
追及问题的追及速度是两者的速度差。
追及相遇计算：
两地同向出发情况下，
每次追及相遇，
快的比慢的都多行
2
个单
位全程（即一个来回）
。如追及相遇四次时，那快的比慢的多行
2*4=8
个全程。
快的比慢的多行
2N
个全程（
N
为追及次数）
总相遇（通称相遇）
=
迎面相遇
+
追及相遇
上面例：甲乙两名动动员在长为
25
米的游泳池里来回游泳，甲的速度是
1
米
/
秒，
乙的速度是<
/p>
0.6
米
/
秒，
他们同时分别从游泳池的一端出发，
来回共游了
5
分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内甲、乙共相遇（包括追及）多少次
？
分两种情况计算：
一、迎面相遇：
2N=
（
5
*60
）
*(1+0.6)/25
（距
离
=
时间
*
速
度）距离
/
单位长度
=
几全程数再取整即【距离
/
单位长度】
2N=480/25=
19
……
5,
取整数
< br>部分为
19
，即
2N=19
N=9.5
取整为
< br>9
（次）即迎面相遇了
9
次；<
/p>
（半次或有小
数部分说明追及了比整数部分多的部分，但没到下一
次，半路上）
二、追及相遇：
2N=
（
5*60
）
*(1-0.6)/25=120/25=4
……
20
取整为
4
，即
2N=4
N=2
总次数
=
迎面相遇
+
追及相遇
=9+2=1
1(
次
)
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
多人相遇追及的解题关键
路程差
三、解多次相遇问题的工具——柳卡
解多次相遇问题的工具
——
柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的
交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意
图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇
的次数”
，
“相遇的地点”
，以及“由相遇的地点求出全程”
，使用折线示意图法一般需要我
们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果
不画图，单凭想象似乎对于像我
这样的一般人儿来说不容易。
【例
1
】
每天中
午有一条轮船从哈佛开往纽约，
且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往
哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约
前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】
这
就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观
巧妙的解
法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．
在平面上画两条平行线，
以一条直线表示哈佛，
另一条
直线表示
纽约．
那么，从哈佛或纽约开出的轮船，
就可用图中的两组平行线簇来表示．图中
的每条线段分别表示每条船的运行情
况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航
行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船
相遇的情况．
从图中可以看出，
某天
中午从哈佛开出的一条轮船
（图中用实线表示）
会与从纽约
开出的
15
艘轮船相遇（图中用虚线表示）
．而且在这相遇的
15
艘船中，有
1
艘是
在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛）
，
1
艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约
开出）
，
剩下
13
艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和
子夜．如果
不仔细思考，可能认为仅遇到
7
艘轮船．这个错误，主要是只考
虑以
后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【例
2
】
甲、乙
两人在一条长为
30
米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒
1
米，乙的速
度是每秒
0.6
米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了
10
分钟后，
共相遇几次？