等差数列。知识梳理
-
等差数列
【考纲要求】
1
．理解等差数列概念
.
2
．能在具体的问题情境中，识别数
列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题
.
3
．了解等差数列与一次函数的关系
.
4
．灵活应用等差数列的定义、公式
和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在
联系
< br>.
5
．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；
6
．用数列知识解决带有实际意义的或生活
、工作中遇到的数学问题
【知识网络】
等差数列定义
等差数列
等差数列的通项公式及应用
等差中项
【考点梳理】
【高清课堂：等差数列
382420
知识要点
】
考点一、等差数列的定义
如果一个数
列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差
.
要点诠释：
(1)
< br>｛
a
n
｝为等差数列
a
n
1
a
n
d
(n
∈
N
)
a
n
－
a
n
1
=d
(n
2, n
∈
N
)
（
d
为常数）
※
※
(2)
等差中项：若三个数
a
，
x
，
b
成等差，则
x
称为数
a
，
b
的等差中项。
任意实数
a
，
< br>b
的等差中项
存在且唯一，为
a
b
.
2
(3)
证数列
{
a
n
}
是等差
数列的方法：
①
< br>a
n
a
n
1
d
(n
≥
2)
（
d
为常数）
；
②
a
n
为
a
n
1
和
a
n
1
的等差中项。
考点二、通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
(
归纳法和迭加法
)
要点诠释：
①｛
a
n
｝为等差
数列
a
n
为
n
的一次函数或
a
n
为常数
a
n
=kn+b
(n
N
)
第
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共
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②式中
a
n
、
a
1
、
n
、
d
只要有三个就可以利用方程
(
组
)
求出第四个。
③公式特征：等差数列
{
a
n
}
中
a
n
=kn+b
是关于
n
的一次函数
(
或常数函数
)<
/p>
，一次项系数
k
为公差
< br>d
。
④几何意义：点
(n
，
a
n
)
共线；
a
n
=kn+b
中，
当
k=d>0
时，
{
a
n
}
为递增数列；
< br>
当
k=d<0
时，
{
a
n
}
为递减数列；
当
k=d=0
时，
{
a
n<
/p>
}
为常数列。
考点三、通项公式的性质：
（
1
）等差中项：
a
、
G
、
b
成等差
数列，则
G
（
2
）通项公式的推广：
a
n
a
m
+(n
－
m
）
d
*
（
3
< br>）若
m
n
p
q
(
m
、
n
、<
/p>
p
、
q
N
)
，则
a
m
a
n
a
p
< br>a
q
；
a
b
.
；
2
特别，若
m
n
2<
/p>
p
，则
a
m
a
n
2
a
p
p
m
、
n
< br>、
p
N
*
）成等差数列，则
a
m
、
a
n
、
a
p
成等差数列
.
（
4
）等差数列
a
n
中，若
m
、
n
、（
【典型例题】
类型一：等差数列的概念、公式、项的性质
例
1
.
（<
/p>
1
）－
20
是不
是等差数列
0
，
7
，－
7
，……的项？如果是，是
第几项？如果不是，说明理
2
由
. <
/p>
（
2
）
100<
/p>
是不是等差数列
2
，
9
，
16
，……的项？如果是，是
第几项？如果不是，说明理由
.
【思路点拨】题中要想判断一
数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数
n
值，使
得
a
n
等于这一数
.
【解析】
（
1
）由题意可知：
a
1<
/p>
0
,
d
∴此数列的通项公式为：
a
n
令
20
7
，
2
7
7
n
,
2
2
7
7
47
n
,
解得
n
N
，
2
2
7
所以－
20
不是这个数列的项
.
（
2
）根据题意可得：
a
1
2
,
d
9
2
7
.
∴此数列通项公式为：
a
n
2
7(
n
1)
7
n
5
（
n
1
,
n
N
）
.
令
7
n
5
100
,
解得：
n
15
,
∴
< br>100
是这个数列的第
15
项<
/p>
.
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