等差数列的常用性质
-
合作探究：
问题
1<
/p>
：如果在
a
与
b
中间插入一个数
A
，使
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
应满足什么
条件？
等差数列的常用性质：
1.
若数列
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列：
(1)d>0
时，
{a
n
}
是
(2)d=
=
；
d<0
时，
{a
n
}
是
；
d=0
时，
{a
n
}
是
；
=
（
m
，
n
∈
N
+
）
(3)
通项公式的
推广：
a
n
=a
m
+
d
（
m
，
n
∈
N
+
）
。
由定义得
A-
a
=
b
-A
，即：
A
<
/p>
反之，若
a
b
2
a
b
，则
A-
a
=
b
-A
2
a
b
由此可可得
：
A
a<
/p>
,
b
,
成等差数
列
2
A
<
/p>
也就是说，
A
=
a
b
是
a<
/p>
,
A
,
b
成等差数列的充要条件
2
< br>问题
2
：在直角坐标系中，画出通项公式为
a
n
3
< br>n
5
的数列的图象，这个图象
有什么特点？
pn
q
的
（
2
）在同一直角坐标系中，画出函数
y=3x-5
的图象，你发现了什么？据此说说等差数列
a
n
图象与一次函数
y=px+q
的图象之
间有什么关系？
定义：若
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项
性质
1
：在等差数列
即
m+n=p+q
a
n
中，
若
m+n=p+q
，则，
a
m
a
n
a
p
a
q
精讲点评：
a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q
∈
N )
证明：
a
m
a
n
a
1
(
m
<
/p>
1)
d
a
1
(
n
1)
d
2
a
1
(
n
m
)
d
2
d
,
a
p
a
q
a
1
(
p
< br>1)
d
a
1
(
q
1)
d
2
a
1
(
p
q
)
d
2
d
,
a
m
a
n
a
p
a
q
.
例
1
在等差数列
{
a
n
}
中
，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7,
求
a
3
,
a
9
.
分
析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中
的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差）
，本题中，只已知一项，和
另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
例
2
等差数列
{
a
n
}
中
，
a
1
+
a<
/p>
3
+
a
5
=
－
12,
且
a
1
·
a
3
·
a
5
=80.
求通项
a
n
分析
：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题
而已知两个条件均是三项复合关系式
，欲求
某项必须消元（项）或再弄一个等式出来
例
3
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式为
a
n
pn
q
，其中
p,q
为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：
判定
{
a
n
}
是不是等差
数列，
可以利用等差数列的定义，
也就是看
a
n
是一个与
n
< br>无关的常数。
a
n
1
(
n
1
)
是不
弥补、拓展与提升：
推论：若
< br>m+n=2k
，则
a
m
+a
n
=
;
自然语言叙述为
:
;
推论
:
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
< br>3
a
n
2
自然语言叙述为
:
.
2<
/p>
、若
{a
n
}<
/p>
为等差数列，公差为
d
，则
{a
2n
}
也是
，公差为
;
3
、若
{a
n
}
，<
/p>
{b
n
}
都是等
差数列，则
{pa
n
+qb
n
}
（
p
、
q
为常数）也是
;
如：
若<
/p>
{a
n
}
与
{b
n
}
都是等差
数列，则
{a
n
+b
< br>n
}
，
{
a
n
-b
n
}
也是等差数列；再如：若
{a<
/p>
n
}
是等差数列，则数列
{
λ
a
n
+b}
也
是等差数列（λ，
b
是常数）
4
、<
/p>
a
m
，
a
m+k
，
a
m+2k
，
a
m+3k
，…，成
，公差为
;