(完整版)等差数列求和
-
一、等差数列的前
n
项和公式
< br>
S
a
1
a
n
n
n
2
na
n
n
1
1
2
d
d
2
n
2
a
d
<
/p>
1
2
n
(
类似于
S
n
An
2
Bn
)
二、
（
1
）对于项数为
2
k
k
N
的等差数列，有<
/p>
S
2
k
k
a
k
a
k
1
S
奇
=
ka
k
S
偶
ka
k
1
S<
/p>
偶
-
S
奇
kd
S
奇
S
a
k
偶
a
k
< br>1
（
2)
对于项数为
2
k
1
k
N
的等差数列，有
S
2
k
1
2
k
1
a
k
S
奇
<
/p>
ka
k
S
偶
k
1
a
k
S
奇
-
< br>S
偶
a
k
a
中
S
奇
k
S
偶
k
1
例：已知等差数列
a
n<
/p>
的前
n
项和为
377
，项数
n
为奇数，且奇数项和与偶数项
和之比为
7:6
，求中项。
解：设
n
2
k
1
k
N
，则中项为
a
k
，
S
n
S
2
k
1
2
k
<
/p>
1
a
k
377
S
奇
k
7
S
偶
k
1
6
解得
k
< br>
7,
a
7
即中项为
29
三、等差数列的前
n
项和的最值
公差
d
0
a
n
为递增
等差数列，
S
n
有最小值。
公差
d
0
< br>
a
n
为递减等差数列，
S
n
有最大值。<
/p>
公差
d
0
a
n
为常数列。
特别地，当
a
1
0,
d<
/p>
0
时，
S
n
有最大值（所有非负项之和）
当
a
1
0,
d
0
时，
S
n
< br>有最小值（所有非正项之和）
。
例：在等差数列
< br>
a
n
中，已知
a
1
20
，前
n
项和为
S
n
，且
S
< br>10
S
15
< br>，求当
n
取
何值时，
S
n
取最大值，并求此最大值。
< br>
S
13
377
<
/p>
29
，
13
13
解法一：根据题意可得
10
20
10
9
15
14
d
15
20
d
2
2
< br>
3
得
d
5
5
6
5
可求
a
n
n
3
3
所以
a
13
0
，
即当
n
12
时，
a
n
0
；
当
n
14
< br>时，
a
n
0
。
所以当
n
12
或
13
时，
S
n
有最大值，
且最大值为
S
12
S
13
130
解法二：根
据题意，
S
n
An
2
Bn
A
0
，如图所示
由
S
10
S
15
，得当
n
12
或
13
时，
S
n
取最大值，
B
25
< br>，
2
A
2
5
125
得
S
n
n
2
n
，
6
6
a
1
A
B
20,
可求得
S
12
130