等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
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等差数列及其性质
典型例题：
热点考向一：等差数列的基本量
例
1.
在等
差数列
{
a
n
}
中，
（
1
）
已知
S
8
48,
S
12
168
，求
a
1,
和
d
（
2
）
已知
a
6
10,
S
5
5
，求
a
8
和
S
8
变式训练：
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
10
30,
a
20
50
.
（
1
）求通项公式
{
a
n
}
；
（
2
）若
S
n
242
，求
n
.
热点考向二：等差数列的判定与证明
.
例
2
：在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
1
1
4
a
，
n
b
*
n
< br>2
2
a
n
1
，其中
n
N
.
（
1
）求证：数列
{
b
n
}
是等差数列；
（
2
）求证：在数列
{
a
n
}
中对于任意的
n
N<
/p>
*
，都有
a
n<
/p>
a
n
1
.
（
3
）设
c
b
n
(
2)
n
，试问数列
{
c
n
}
中是否存在三项，
使它们可以构成等差数列？
如果存在，求出这三项；如
果不存在，请说明理由
.
跟踪训
练：已知数列
{
a
n
< br>}
中，
a
1
3
5
，数列
a
1
n
2
a
,(
n
2,
n
<
/p>
N
)
，数列<
/p>
{
b
n
}
满足
n
1
b
1
n
a
1
(
n
< br>
N
)
n
（
1
）求证数列
{
b
n
}
是等差数列；
（
2
）求数列
{
a
n
}
中的最大项与最小项
.
热点考向三：等差数列前
n
项和
例
3
在等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
（
1
）若
a
1
<
/p>
20
，并且
S
1
0
S
15
，
求当
n
取何值时，
S
< br>n
最大，并求出最大值；
（<
/p>
2
）
若
a
1
0
，
S
9
S
12
，
则该数列前多少项的和最小？
< br>
跟踪训练
3
：设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
12
,
S
12
0
,
S
13
0
.
< br>
（
I
）求公差
d
的取值范围；
（
II
）
指出
S
1
,
S
2
,
S
3
,
< br>
,
S
12
中哪一个最大，
并说明理由。
热点考向四：等差数列的综合应用
例
4.
已知二次函数
< br>y
＝
f
(
x
)
的图象经过坐标原点，其导函
数
为
f
′
(
x<
/p>
)
＝
6
x
－
2
，数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，点列
(
n
，
S
n
)(
n
∈
N
*
)
均在函数
y
＝
f
(
x
)
的图象上．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
(2)
设
b
3
n
＝
a<
/p>
，
T
是数列
{<
/p>
b
n
a
n
＋
1
n
n
}
的前
n
项和，
求使得
T
m
n
<
20
对所有
n
∈
N
*
都成立的最小
正整数
m
.
变式训
练：设各项均为正数的数列
a
n
的前
n
项和为<
/p>
S
n
，
已知
2
a
2
a
1
a
3
，
数列
S
n
是公差为
d
的等差
数列。
（
1
）求数列
a
n
的通项公式（
用
n
,
d
表示
）
；
（
2<
/p>
）设
c
为实数，对满足
< br>m
n
3
k
且
m
n
的任意正
整数
m
,
n
,
k
，
不等式
S
m
S
n
cS
k
都成立。
求
证：
c
的
最大值为
9
2
。