小学奥数《等差数列》及其练习[1]
-
等差数列练习
知识点
1
、
数列定义：
若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，
其中
第一个数称为首项（我们将用
a
1
来表示
）
，第二个数叫做第二项
以此类推，最后一个数叫做
这个数列的末项（我们将用
< br>
a
n
来表示）
，数列中数的个数称为项数，我们将用
n
来表示。如：
2
< br>，
4
，
6
，
8
，
，
100
2
、等差数列：
从
第二项
开始，后项与其
相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个
差称为
公差
（我们用
d
来表示）
，即：
d
a
2
a
1
a<
/p>
3
a
2
a
n
2
a
n
1
a
n
a
n
1
<
/p>
例如：等差数列：
3
、
< br>6
、9……96，这是一个首项为
3
，末项为
96
，项数为
32
，公差为
3
的数列。
（省
略号表示什么？）
练习
1
：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。
3
、
计算等差数列的相关公式：
（
1
）通项公式：
第几项＝首项＋（项数－
1
）×公差
<
/p>
即：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
（
< br>2
）项数公式：
项数＝（末项－首项）÷公差＋
1
即：
n
(
a
n
a
1
< br>)
d
1
（
3
）
求和公式：
总和＝（首项＋末项）×项数÷2
即：
a
1<
/p>
a
2
a
3
a
n
a
1
a
n
n
2
1
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差
数列
求和公式求和。
例
1
：
求等差数列
3
，
5
，
7
，
的第
10
项，第
100
项，并求出前
100
项的和。
【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项
a
1
=3
，公差
d=2
，直接代入通项公式，即可求得
a
10
a
1
(
10
1
)
d
< br>
3
9
2
21
，
a
100
a
1
(
10
0
1
)
<
/p>
d
3
99
2
201
.
同样的，
我
们知道了
首项
3
，末项
201
以及项数
100
，利用
等差数列求和公式即可求和：
3+5+7+
< br>201=
（
3+201
）
100
2=10
200.
解：由已知首项
a
1
=3
，公差
d=2
，
所以由通项公式
< br>a
n
a
1
(
n
1
)
d
，得到
a
10
<
/p>
a
1
(
10
1
)
d
3
9
2
< br>
21
a
100
a
1
(
100
1
)
d
3
99
2
201
。
同理，由已知，
a
< br>1
=3
，
a
100
=201
，项数
n=100
代入求和公式得
3+5+7+
201=
（
3+201
）
100
2=10200.
练习
2
：
1
、
求出你已经写出的等差数列的各项和。<
/p>
2
、有一个数列，
4
、
10
、
16
、22……52，这个数列有多少项？
3
、一个等差数列，首项是
3
，公差是
2
，项数是
10
。它的末项是多少？
4
、
求等差数列
1
、
4
、
7
、10……，这个等差数列的第
30
项是多少？
例
2
：
在
1
、
2
两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。
解
：根据第几项＝首项＋（项数－
1
）×公差，
1
2
1
2
2
那么第三项
a
3
=
a
1
+2d
，即：
2
=
1
+2d
，所以
d=0.5
故等差数列是，
1
、
2
、
2
。
拓展：
1
、
在
12
与
60
之间插入
3
个数，使这
5
个数成为一个等差数列。
2
、
在
6
和
38
之间插入
< br>7
个数，使他们成为等差数列，求这
9
个数的和是多少？
例
3
：
有
10
< br>个朋友聚会，见面时如果每人都要和其余的人握一次手，那么共握了多少次手？
练习：
1
、
某
班有
51
个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这
个班共握了多少次手？
2
、有
80
把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多
少次？
例
4
：
4
个连续整数的和是
94
，求这
4
个数。
解：
由于
4
个数是连
续的整数，那么这
4
个数就是公差
d=
1
的等差数列，不妨设第一个数为
a
1
，那么
第二个数就是
a
1
+1
，
< br>同理：第
3
个数，第
4
个数分别是
a
1
+2<
/p>
，
a
1
+3
那么由已知，这四个整数的和是
94
，所以
a
1
+
（
a
1
+1
）
+
（
a
1
+2
）
+
（
a
1
+3
）
=94
，因此
a
1
=22
，所以这
4
个连续
分别是
22
、
23
、
24
、
25.
练习：
1
、
3
连续整数的和是
20
，求这
3
个数。
2
、
5
个连续整数的和是
180
，求这
5
个数。
3
、
6
个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是
78
，求这
6
个连续偶数各是多少？
例
5
：
丽丽学英语单词，第一天学会了
6
个，以后每天都比前一天
多学会
1
个，最后一天学会了
16
个。
丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
解：
因为丽丽从第二天开始，每天都比前一天多学会
1
个单词，因此丽丽每天学会的单词个数是一
1<
/p>
2
1
2
1
2
1
2
3