等差数列前n项和的最值问题
-
v1.0
可编辑可修改
等差数列前
n
项和的最值问题
<
/p>
问题引入：
已知数列
当
< br>n>1
时
:
a
< br>n
综上
:
a
n
a
n
,
的前
n
项
和
S
n
n<
/p>
2
1
n
,
求这个数列的通项公式
.
< br>数列是等差数列吗如果是
,
它的首项与公差分别是什么<
/p>
解
:
2
2
n
1
1
3
2
当
n=1
时
:
a
1
s
1
1
1
2
2
2
s
n
s
n
1
2
n
< br>1
3
,
其中
:
a
1
,
d
2
<
/p>
2
2
pn
2
qn
r
,
其中
:
为常数
,
且
p
0,
那么这个数列一定是等差数列吗如果是<
/p>
,
它的
探究
1:
一般地
,
如果一个数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
:
< br>s
n
首项和公差分别是什么结论
:
当
r=0
时为等差
< br>,
当
r
0
时不是
一、
应用二次函数图象求解最值
例
1
：等差数列
a<
/p>
n
中，
a
1
0,
S
4
S
9
，则
n
的取值为多少时
S
n
最大
<
/p>
分析：等差数列的前
n
项和
S
n
是关于
n
的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
n
(
n
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
)
n
，
2
2
2
4
< br>9
其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为
n
6.5
，
2
解析：由条件<
/p>
a
1
0,
S
4
S
9
可知，
d<0
，且<
/p>
S
n
na
1
而
n
N
，且介于
6
与
7
的中点，从而
n
6
或
n
7
时
S
n
最大。
1.
已知等差数列
< br>{
a
n
}
中
a
1
=13
且
S
3
=
S
11
,
那么
n
取何值时
,
S
n
取最大值
.
解析：设公差为
d
，由
S
3
=
S
11
得：
3
×
13+3
×
2d/2=11
×
1
3+11
×
10d/2 d= -2,
a
n
=13-2(n-1),
a
n
=15-2n,
a
n
0
15<
/p>
2
n
0
由
即
得：≤
n
≤
,
所以
n=7
时
,
S
n
取最大值
.
a
n
1
0
15
< br>2
(
n
1
)
0
2
.
已知
a
n
是各项不为零的等差数列，其中
a
1<
/p>
＞
0
，公差
d<
/p>
＜
0
，若
S
10
=0
，求数列
a
n
前
5
项和取得最大值．
结合二次函数的图
象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，
，注意对称轴对
应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．
a
n
是各项不为零的等差数列，其中
a
1
＞
0
，公差
d
＜
0
，
S
10
=0
，根据二次函数的图象特点得到
图象开口向下，且在
n
=
=5
时，数列
a
n
前
5
项和取得最大值．
二、转化为求二次函数求最值
例
2
、在等差数列
{
a
n
}
中
,
a
4
＝－
14,
公差
d
＝
3,
求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
的最小值
分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
3
n
(
n
1
)
3
49
2
49
2
解析：∵
a
4
＝
a
1
＋
3d,
∴
－
14<
/p>
＝
a
1
＋
9,
a
1
＝－
23,
∴
S<
/p>
n
＝－
23n
＋
＝
[(n
－
)
－
36
2
6<
/p>
2
∴
当
n=
],
49
49
最
小时，
S
n
最小，但由于
n
N
，
< br>介于
8
与
9
之间，
S
8
100
，
S
9
99
6
6
S
9
，故当
n
＝
8
S
8<
/p>
＝－
100
最小
.
第
1
页
共
5
页
即有且
S
8
1
v1.0
可编辑可修改
点评：通过条件求出
a
1
，从而将
S
n
转化为关于
n
的二次函数，然后配方求解，但要
注意的是此处
两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值
。
3.
已
知等差数列
49
介于
8
与
9
之间，但并不能取
6
a
n
中，前
n
项和
S
n
n
2
15
n
，则使
S
n
有最小值的
n
是（
B
）
A
、
7
B
、
7
或
8<
/p>
C
、
8
D
、
9
4.
已知
a
n
是等差数列，其中
a
1
=31
，公差
d=
﹣
8
，则数列
a
n
前
n
项和的最大值
为
76
．
分析：
（
1
）
根据数列的首项和公差写出数列的前
n
项和，它是关于
n
的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数<
/p>
的最值得到结果，注意变量
n
的取值．<
/p>
解答：解：
（
1
）∵
a
n
是
等差数列，其中
a
1
=31
，公差
d=
﹣
8
，∴数列
a
n
前
n
项和
s
n
=
﹣
4n
+35n
，
根据二次函数的性质，当
n=
时，前
n
项和
s
n
取到最大值，∵
n
∈
N
，∴
n=
4
，∴前
n
项和
s
n
的最大值是
s
< br>n
=
﹣
64+140=76
，
5.
已知一个等差数列的前
10
项的和是
110
，前
20
项的和
是
20
.
求此等差数列的前
n
项和
S
n
，并求出当
n
为何值时，
S
n
最大，最大
值是多少
S
n
=
n
6.
2
2
21
n
当
N=10
或
11
时，取最大值为
110
已知
{a
n
}
为等差数列，
a
1
+a
3
+a
5
=1
05
，
a
2
+
a
4
+a
6
=
99
，以
S
n
表示
{a
n
}
的前
n
项和，则使得
S
n
达到最大值的
n
是
设
{a
n
}
的公差为
d
，由题意得
a
1
+a
3<
/p>
+a
5
=a
1<
/p>
+a
1
+2d+a
1
+4d=105
，即
a
1
+2d=35
，①
a<
/p>
2
+a
4
+a<
/p>
6
=a
1
+d+
a
1
+3d+a
1
+5d=99
，即
a
1
+3d=33
，②由①②联立
得
< br>a
1
=39
，
< br>d=-2
，∴
s
n
=39n+
7.
×（<
/p>
-2
）
=-n
+
40n=-
（
n-20
）
+400
，故当
n=20
时
，
S
n
达到最大值
400
．
2
2
已知等差数列
a
n
的公差
d
＜
0
，若
a
3
a
7
=9
，
a
< br>1
+a
9
=10
，则该数列的前
n
项和
S
n
的最大值为
49
．
分
析：根据等差数列的性质得到第
3
项与第
7
项的和等于首项与第
9
项的和等于
10
，又第
3
项与第
7
项的积为
9
< br>，写出一个两根为
a
3
和
a
7
关于
x
的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差
d
小于
0
可得到
a
3
和
a
7
的
值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差
数列的前
n
项和公式，配方后即可求出数列的前
n
< br>项和
S
n
的最大值．解答：解：
由题意
a
1
+a
9
=10
，得到
a
< br>3
+a
7
=10
，又
a
3
a
< br>7
=9
，得到
a
3
，
a
7
为
方程
x
﹣
10x+9=0
的两根，且
d
＜
0
，得到
a
3
=9
，
a
7
=1
，则
d=
﹣
2
，所以
a
1
=13
，
S
n
=
﹣
n
+14n<
/p>
﹣
49+49=
（
n
﹣
7
）
+
49
，则当
n=7
时，该数列的前
n
项和
S
n
的最大值为
49
．故答案为：
49
8.
在等差数列
a
n
中，
a
1
=25
，
S
17
=S
9
，求
S
n
的最大值．<
/p>
2
2
2
解：由
S
17
=S<
/p>
9
，得到
=
，即
17
（
2a
1
+16d
）
=9
（
2a
1
+8d
）
，又
a
1
=25
，得：
d=
﹣
=
﹣
2
，所以
a
n
=a
1
< br>+
（
n
﹣
1
）
d=
﹣
2n+27
，
则
S
n
=
=
=
﹣
n
+2
6n=
﹣（
n
﹣
13
）
+169
，所以当
n=13
时，
S
nmax
=169
．
2
2
三、在等差数列
a
n
中
,
有关
S
n
的最值问题——常用邻项变号法求解：
取最小值。
a
m
0
a
m
0
(1)
当
a
1
>0,d<0
时，满足
< br>
的项数
m
使得
S
m
取最大
.(2)
当
a
1
<0,d>0<
/p>
时，满足
的项数
m
使得
a
0
a
0
<
/p>
m
1
m
1
2
第
2
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共
5
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