等差数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料word版
-
[
数列
]
二、等差数列
1
．等差数列的定义
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫作
等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常
用字母
d
表示．递推式表示为
a
n
1
a
n
d
或
a
n
a
n
1
d
(
n
<
/p>
2)
．
例如：数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
<
/p>
a
n
2
，则数列
{
a
n
}
是公差为
2
的等
差数列．
注：
d
0
时，为递增数列；
d
0
时，为递减数列；
d
0<
/p>
时，为常数列．
2
．等差中项
若三个数
a
，
A
，
b<
/p>
成等差数列，则
A
叫作
< br>a
与
b
的等差中项．
此时
a
b
< br>2
A
，
A
a
b
．
2
3
．等差
数列的通项公式
等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
，公差为
d
，则
a
n
a
1
(
n
1)
d
．
例
1
在等差
数列
{
a
n
}
中，若
a
10
38
，
a
2
0
78
，则
a
15
_____
< br>．
解析：
a
< br>15
为等差中项，则
a
10
a
20
2
a
15
，
a
15
答案：
58
例
2
等差数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
5
10
，
a
12
31
，
则通项公
式
a
n
__
___
．
38
78
58
．
2
a
5
a
1
4
d
10
a
1
2
解析：设公差为<
/p>
d
，则
，解得
a
n
2
3(
n
1)
3
n
5
.
a
< br>
a
11
d
31
d
3
1
1
2
答案：
3
n
5
例
3
401
是不是等差数列
< br>5
,
9
,
13
,
L
的项？
解析：
a
1
5
，
d
(<
/p>
9)
(
5)
4
，
a
n
5
4(
n
< br>1)
4
n
1
令
401
4
n
1<
/p>
，解得
n
10
0
，即
401
是这个数列的第
100
项．
答案：是
公差
d
3
的等差数列，
如果
a
n
< br>2005
，
则序号
n
等于
（
）
{
a
n
}
是首项
a
1
1
，
A
．
667
B
．
668
C
．
669
D
．
670
解析：
a
n
a
1
(
n
1)
d
1
3(
n
1)
2005
，解得
n
669
．
答案：
C
例
4
1
|
10
[
数列
]
例
5
首项为
24
的等差数列，从第
10
项开始为负数，则公差
d
的取值范围是
_____
．
a
9
0
a
1
8
d
24
8
d
0
8
解析：由题意可知
，所以
，解得
3
d
．
3
a
1
9
d
24
9
d
0
a
10<
/p>
0
答案：
[<
/p>
3,
)
4
．等差数列的性质
（
1
）等差数列
{
a
n
}
的第
m
项为
a
m
，则
a
n
< br>
a
m
(
n
m
)
d
．★
<
/p>
例如：
a
8
<
/p>
a
1
7
d
a
2
6
d
a
3
5
d
a
10
2
d
L
．
（
2
）若
m
n
p
q
，则
a
m
a
n
< br>a
p
a
q
，若
m
n
2
p
，则
a
m
a
n
2
a
p
．★
例如：
a
1
a
9
a
2
a
8
a
3
a
7
< br>a
4
a
6
2
a
5
，
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
< br>3
a
n
2
L
．
（
3
）下标成等差数列且公差为
m
的项
a
k
,
a
k
m
,
< br>a
k
2
m
,
L
组成公差为
< br>md
的等差数列．
例如：
a
1
,
a
3
,
a
5
,
a
7
,
< br>L
,
a
2
n
1
,
L
组成公差为
2
d
的等差数列；
8
3
a
5
,
a
10
,
a
15
,
a
20
,
L
,
a
5
n
,
L
组成公差为
5
d
的等差数列．
（
4
）
{
a
n
}
是公差为
< br>d
的等差数列，则
{
ka
n
b
}
也是等差数列，公差为
kd
．
（
5
）
{
a
n
}
,<
/p>
{
b
n
}
都是等差数列，则
{
a
n
b
n
}
,
{
pa
n<
/p>
qb
n
}
也是等差数列．
在等差数列
{
a
n
}
< br>中，
a
2
2
，
a
3
4
，则
a
1
0
（
）
A
．
12
B
．
14
C
．
16
D
．
18
<
/p>
解析：公差
d
a
3
a
2<
/p>
2
，
a
10
a
2
(10
2)
d
2
8
2
18
．
答案：
D
在
等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
，
a
3<
/p>
a
5
10
，则
a
7
（
）
A
．
5
B
．
8
C
．
10
D
．
14
<
/p>
解析：
a
1
<
/p>
a
7
a
3
a
5
，
a
7
10
2
< br>
8
．
答案：
B
在
等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
4
a<
/p>
5
12
，那么
a
1
a
2
L
a
7
（
）
A
．
14
B
．
21
C
．
28
D
．
35
<
/p>
解析：
a
3
<
/p>
a
4
a
5
3
a
4
12
，得
a
4
4
，则
a
1
< br>a
2
L
a
7
7
a
4
28<
/p>
．
答案：
C
例
6
例
7
例
8
2
|
10
[
数列
]
例
9
等差数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
2
a
3
a
4
18
，
a
2
a
3
a
4
66
，求
{
a
n
}
通项公式．
解析：
a
2
a
3
a
4
3
a
3
18
，
得
a
3
6
，设公差为
d
则
a
2
a
3
a
4
(
a
3
d
)
a
3
(
< br>a
3
d
)
(6
d
)6(6
d
)
6(36
d
2
)
66
解得
d
5
，又
a
n
a
3
(
n
3)
d
当
d
5
时，
a
n
5
< br>n
9
，当
d
5
时，
a
n
5
n
21<
/p>
．
答案：
a<
/p>
n
5
n
9
或
a
n
5
n
21
5
．判断一个数列是等差数列的方法
（
1
）定义
法：
a
n
1
a
n
d
（常数）
．
<
/p>
（
2
）等差中项法：
2
a
n
+
1
=
a
n
+<
/p>
a
n
+
2
或
2
a
n
=
a
n
-
1
+
a
n
+
1
．★
（
3
）通项公式法：
a
n
=
kn
b
（公差为
k
）
．
（
4
< br>）前
n
项和公式法：
S
n
An
2
Bn
（不含常数项的二次函数）
．★
例
10
在数
列
{
a
n
}<
/p>
中，已知
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
1
，求证
{
}
是等差数列．
<
/p>
a
n
2
a
n
证明：
a
n
1
2
a
n
a
2
1
1
1
1
1
1
两边取倒数得
n
< br>
，即
a
n
2
a
n
1<
/p>
2
a
n
a
n
2
a
n
1
a
n
2
故
{
1
1
1
}
是首项
1
，公差
d
的等差数列．
a
1
a
n
2
< br>例
11
已知数列
{
a
n
}
< br>的通项公式为
a
n
kn
b
，那么这个数列
一定是等差数列吗？
解析：
a
n
1
a
n
k
(
n
1)
< br>
b
(
kn
b
)
k
，是一个与
n
无关的常数
{
a
n
}
是公差为
k
的等差数列．
2
2
2
例
12
已知
正项数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
2<
/p>
2
，
2
a
n
a
n
1
a
n
1
(
n
2)
，则
a
6
____
．
2
2
2
2
a
n
解析：由
2
a
n
1
a<
/p>
n
1
(
n
2)
可知
{
a
n
}
为等差数列
2
a
1
2
1
，
a
2
4
，公差
d
3
2
a
1
2
3(6
1)
16
，
a
6
4
．
则<
/p>
a
6
答案：
4<
/p>
3
|
10
[
数列
]
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且满足
a
1
例
13
证：数列
{
1
，
a
n
2
S<
/p>
n
S
n
1
(
n
2)
．
（
1
）求
2
1
（
2
）求
S
n
< br>和
a
n
．
}
是等差数列；
S
n
（
1
）证明：由递推关系，
可知
S
n
0
，当
n
2<
/p>
时，
a
n
S
n
S
n
1
2
S
n
< br>S
n
1
两边同除以
S
n
< br>S
n
1
得
故
{
1
1
2
S
n
S
n
1
1
1
1
}
是首项为
2
，公差为
2
的等差数列．
S
1<
/p>
a
1
S
n
（
2
）解析：由（
1
）知
1
1
<
/p>
2
2(
n
1)
2
n
，所以
S
n
S
n
2
n
当
n
2
时，
a
< br>n
S
n
S
n
1
1
1
，
a
1
不适合上式
2
n
(
n
1)
2
1
(
n
1)
2
故
a
< br>n
．
1
(
n
2)
<
/p>
2
n
(
n
1)
练习题：
1
数列
a
n
<
/p>
3
3
n
，证明
{
a
n
}
是等差数列．
等
差数列
{
a
n
}
中，若
a
2
3
，
a
4<
/p>
7
，则
a
6
（
）
A
．
11
B
．
7
C
．
3
D
．
2
数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n
1
< br>a
n
2
，则
a
8
（
）
A
．
16
B
．
12
C
．
12
D
．
16
<
/p>
数列
{
a
n
}
中，
a
3
2
，
a
7
1
，若
{
4
2
3
1
}
为等差数列，则
a
5
（
）
a
n
A
．
B
．
C
．
D
．
5
6
等差数列
{
a
n<
/p>
}
中，
a
2
2
，
a
3
a
5
16
，则
a
n
______
．
2
4
，则
a
n
______
．
递增的等
差数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
a
3
a
2
2
3
3
2
4
3
3
4
4
|
10
[
数列
]
7
8
等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
3
，
a
2
a
4
14
，
a
n
2019
，则
n
______
．
首项为
24
的等差数列，从第
10
项开始为正，则公差
d
的取值范围是
______
．
在等差数列
{
a
n<
/p>
}
中，
a
4
，
a
12
是方程<
/p>
x
2
3
x
1
0
的两根，则
a
8
（
）
9
A
．
B
．
C
．
3
2
3
2
3
D
．不能确定
2
{
a
n
}
为等差数列，若
a
1
< br>
a
5
a
9
8
，则
cos(
a
2
a
8
)
（
）
10
A
．
B
．
1
2
3
3
1
C
．
D
．
2
2
2
11
{
a
n
}
是等差数列，且
a
1
a
4
a
7
45<
/p>
，
a
2
a
5
a
8
39
，则
a
3
a
6
a
9
（
）
A
．
24<
/p>
B
．
27
C
．
30
D
．
33
12
等差数列
{
a
n
}
中
，若
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
45
，则
a
2
a
8
_____
．
等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
4
a
5
< br>
12
，那么
a
1
a
2
a
3
L
a
7
<
/p>
（
）
A
．
35
B
．
28
C
．
21
D
．
14
14
等差数列
{
a
n
}
中
，
a
1
a<
/p>
3
a
5
3
，
a
6
7
，则
{
a
n
}
< br>的通项公式为
______
．
若
a
1
a
2
a
3
18
，
则
a
3
_____
．
a
1
a
2
a
3
120
，
15
设
{
< br>a
n
}
是公差为正数的等差数列
，
16
在等差数列
< br>{
a
n
}
中，已知
a
2
a
9
5
，则
3
a
5
a
7
的值为
_
____
．
等差数列
{
a
n
}
中，若
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
12
0
，则
a
9
a
10
的值为（
）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
14
<
/p>
等差数列
{
a
n
}
前
17
项和
S
17
51
，则
a
5
<
/p>
a
7
a
9
a
11
a
13
（
）
A
．
3
B
．
6
C
．
17
D
．
51
19
等差数列
{
a
n
}
前
n
项和为
S
n
，且
S
5
<
/p>
a
5
，若
a
4
0
，则
13
17
1
2
18
<
/p>
a
7
____
_
．
a
4<
/p>
《莱因德纸草书》
是世界上最古老的数学著作之一，
书中有这样一道题：
把
120
个
20
面包分成
< br>5
份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较
少的两份面包数之和的
7
倍，则最少的那份面包数
是
______
．
21
成等差数列的三个数的和为
24
，第二个数与第三个数之积为
40
，求这三个数．
5
|
10