等差数列前n项和的最值求解方法
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2021年02月22日 02:29
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-
等差数列前
n
项和的最值求解方法
例
1
设等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
n
，已知
a
3
=12
，
s
12
>0,
s
13
< br>0
,
(1)
求公差
d
的取值范围；
（
2
）指出
s
1
，
s
2
，
…
，
s
12
中哪一个值最大，并说明理由
.
解析
（
1<
/p>
）由
a
3
=12
，得：
a
1
+
2d=12,
即
a
1
< br>=12-2d,
s
12*11
24
d
0
，
所以
d>-
,
2
7
13*12
d
0
，所以
d<-3,
由
s
13
0
,
得：
13
a
1
+
2
24
因此，
d
的取值范围为（
-
,-3
）
.
7
由
s
12
>0
，得：
12
a
1
+
(2)
解法一：
a
n
a
1
(
n
1)
d
=12-2d+(n-1)d
=12+(n-3)d
令
a
n
0
，得：
n<3-
由（
1
）知：
12
,
d
24
， d
7
13
12
3
7
所以，
2
又
n
N
,
故由等差数列的单调性可知：当
n
6
时，
a<
/p>
n
0
；
当
n>6
时，
a
n
0
，因此，
s
6
最大
.
*
n
(
n
1)
n
2
n
d
=n(12-2d)+
d
解法二：由题意可得：
S
n
=n
a
1
+
2
2
=
d
2
5
n
(12
d
)
n
2
2
显然
d
0,
S
n
是关于自变量
n
的二次函数，
由（
1
）知：
d<0,
二次函数的图像抛物线的对称轴为
n=
5
12
,
2
d
24
d
3
，
< br>
7
5
12
13
所以
6<
< br><
,
2
d
2
由（
1
）知：
< br>