(完整版)小船过河问题分析与题解
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小船过河问题分析与题解
【问题概说】
（
1
）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（
2
）三种速度
:
船相对水的速度为
v
船
（即船在静水中的速度）
，水的流速为
v<
/p>
水
（即水对地
的速度）
< br>，船的合速度为
v
（即船对地的速度，船的实际速度，其
方向就是船的航向）
。
（
3
）三种情景：
①过河
时间最短
:
当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的
流速无关。
②过河路径最短：在
v<
/p>
船
>
v
水
的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程
或路径）最小
并等于河宽。
在
v
< br>船
<
v
水
的条件下，当船头与船的合速度垂直时，渡河位移（航程或路径）最小。
此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。最短航程确定如下
:
如图所示，
以
v
水
矢量末端为圆心，以
v
船
矢量的大小为半径画弧，从
v
水
矢量的始端向圆弧作切线，则
合速度沿此切线方向航程最短。
（下图中
v
1
表船速，
v
2
表水速）
③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。
【典型题例】
两河岸平行，
河宽
d=100m
，
水流速度
v
1
=3m/s
，求：
（
1
）
船在静水中的速度是
4m/s
时，
< br>欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？
（
2
）
船在静水中
的速度是
6m/s
时，
欲使船航行距离
最短，
船应怎样渡河？渡河时间多长？
（
3
）船在静水中的速度为
1.5m
/s
时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程
是
多少？
[
思路分析
< br>]
（
1
）当船头垂直于河岸时，
渡河时间最短：
v
t
min
=d/v
2
=100
/4=25s
v
2
d
合速度
v=
v
1
v
2
2
2
3
2
< br>
4
2
5
m
/
s
v
1
船的位移大小
s=v
t
min
=125m
（
2
）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河
岸，设船的
开行速度
v
2
与岸成
θ
角，则
cosθ=
v
1
3
1
，
v
2
6
2
v
2
θ
v
v
1
所
以
θ=60
0
，合速度
v=v
2
sin60
0
=3
3
m
/
s
t=
d
100
3
s
v
9
1
（
3
）船
在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度
v
时，渡河位
移最小，
设船头与河岸夹角为
β
，如图所示：
cosβ=
v
2
1
.
5
1
所以
β=60
0
v
1
3
2
v
2
β
v
v
1
最小位移
s
min
=
d
100
200
< br>m
0
cos
< br>
cos
60
[
答案
](1)
船头垂直于河岸时，渡河时间最短：<
/p>
t
min
=25s
，
s
=125m
；
(2)
船头向上游转过一定角度
,
与岸成<
/p>
60
0
角航程最短，
t=
100
3
s
< br>；
9
(3)
船头垂直于合速度
,
船头与河岸夹角
< br>60
0
时航程最短，
s
min
=
200
m
。
船渡河中极
值问题，
是运动合成与分解中典型问题，
也是难点所在，
准确理解并熟练掌
握上述几条规律是解决此类问题的突破口。
请试着完成以下几例类似题
。
【练习反馈】
1
、某河水流速度为
5m/s
，一
小船对静水的速度大小是
4m/s
，要渡过此河，船头垂直河岸
行
驶，已知河宽为
120m
，试分析计
算：
①小船能否渡河直达正对岸？
②船需多少时间才能到达对岸？
③此船登上对岸的地点离出发点的距离是多少？
④若船
行至正中间
时，
河水
流速增大到
8m/s
，
则船渡河需要多
少时间？登岸地点如何变化？
⑤此船过河的最短位移是多大？
2 <
/p>
2
、北风速度
4m/s
< br>，大河中的水流正以
3m/s
的速度向东流动，船上的乘
客看见轮船烟囱冒
出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？
3
、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸
30m
时，其下游
40m
处有一危险水
域，若水流
速度
5m/s
，为了使船在
危险水域之前靠岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应
是多大？
40m
30m
危险区
4
、玻璃生产线上，宽
9
m
的成型玻璃板以
2
m/s
的速度连续不断地向前行进，在切割工序
处，<
/p>
金刚钻的走刀速度为
10 m/s
，
为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，
金刚钻割刀的
轨道应如何控制
?
切割一次的时间多长
?
3