递推关系中数列通项的几种类型
-
递推关系中数列通项的类型题
一、
等差数列与等比数列公式性质对比表
1.
定义式
2.
通项公式
3.
前
n
项和公式
< br>
4.
中项公式
5.
任意起点项通项公式
6.
通项公式是
n
的函数
7.
前
n<
/p>
项和是
n
的函数
8.
附标和性质
9.
等距离分离出来的子
数列性质
10.
等距离分段和性质
11.
线性组合数列
12.
三个数成等差（比）
数列的常见设法
1
3.
1
4.
1<
/p>
5.
任意数列的通项公式
(S
n
与
a
n
的关糸
)
等差数列
等比数列
a
n
a
n
1
q
(
n
2)
a
n
a
n
1
d
n
2
a
n
S
n
=
=
a
n
=
a
n
=
通项公式是
n
的一次函数
< br>
a
n
=
前
n
项和是
n
的二次函数
S
n
=
若
m+n=p+q,
则
若
m+n=2p
，则
a
n
S
n
=
a
n
=
a
n
=
若
m+n=p+q,
则
若
m+n=2p
，则
a
n
a
n
是等差数列，
b<
/p>
n
是等比数列，则数
< br>列
a
n
b
n
的前
n
项和
16.
s
n
的求法：
独门绝招
8
递推关系中数列通项的类型题
在有关数列的问题中，
有些通项公式是通过递推关系给
出的。
本文浅淡利用递推关系求数列通项的几种类型，
供同
学们参考与练习。
二、从课本谈起
1
、等差数列通项公式的推导
①
a
n
=
a
n-1
+d
②
a
n
－
a
n-1
=d
=
a
n-2
+d+d
a
n-1
-
a
n-2
=d
=
a
n-3
+d+2d
a
n-2
-
a
n-3
=
d
=
a
1
+(n-1)d
a
2
－
a
1
=d
+
a
1
=
a
1
这是迭代的思想
a
n
=
a
1
+(n-1)d
这是叠加的思想
2
、等比数列通项公式的推导
①
a
a
n
n
=
a
n-1
q
②
a
n-1
=q
=a
n-2
q
2
a
n-1
a
n-2
=q
=a
n-3
q
3
a
n-2
a
n-3
=q
=a
1
q
n-1
a
2
a
1
=q
这是迭代的思想
×
a
1
=a
1
a
n
=a
1
q
n-1
这是叠乘的思想
3
< br>、迭代、叠加、叠乘是递推数列通项公式求法的主流
思想
.
课本题
(P
110
)
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
=
1
2
< br>,
a
n
=4
a
n-1
+1
(n
≥
2),
写出
它的前
4
项
,
并求它的通项公式
.
方法
1(
迭代
)
方法
2(
叠加
)
方法
3(
待定系数
)
∵
a
n
=
4
a
n-1
+1
∴
a
n
+
1
1
1
3
=4
a
n-1
+1+
3
=4(<
/p>
a
n-1
+
3<
/p>
)
可见数列
{
a
n
+
1
3<
/p>
}
是以
a
1
+
1
5
3
=
6
为首项
,
以
q=4
为公比的等比
数列
.
∴
a
n
+
1
3
=<
/p>
5
6
×
4
n-1
又
a
1
=
1
2
也适合上式
,
∴
a
n
=
5
6
×
4
n-1
-
1
3
(!)
你知道吗
,
< br>“
1
3
”怎么来的
?
—待定系数法
三、题型分类及入手方法
1
、形如
a
n+1
=p<
/p>
a
n
+q
(p,q
为常数
)
(1)p=0
是常数列
.
(2)p
≠
0,q=0,a
1
≠
0,
是等比数列
.
(3)p=1,
是等差数列
(4)
当
p
≠
0
、
1
且
q
≠
0
时
,
用待定系数法
.
=
q
1
p-1
(
上题中
=
3
)
对应练习
1
、
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
1
=1
，
a
n
>0,
且
2
log
3
a
n
1
log
3
a
n
6
,
求
a
n
(
3
2
(
2)
2
n
)
2
、形如
a
n+1
=
a
n
+f(n)
型
（
1
）若
f(n)
为常数，即
< br>a
n+1
-
a
< br>n
=d
，
此时数列为等差数列，
则
a
n
= <
/p>
a
1
+(n-1)d
，
（
2
）若
f(n)
为
n
的函数时，用累加法：
①若
f(
n)
是关于
n
的一次函数，累加后可转
化为等差数
列求和；
②若
f(n)
是关于
n
的二次
函数，累加后可分组求和；
③若
f(
n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转
化为等比数
列求和；
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和。
2
、已知数列
{
a
n
}
中，
a
n
>0
且
s
n
=
1
n
2
(
a
n
+
a
n
)
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
(
2
2
n
(
n
1
n
1)
)
解：
[
评注
]
已知
a
1
=
a
,
a
n+1
=
a
n
+f(n)
其中
f(n)
是关于
n
的一次函数、
二次函数、
指数函数或分式函数时，
均可通过累加进行转化
,
进而求出通项
.
此题也可以用数学归纳法来求解。
对应练习
3
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=
1
2
，
a
n
=
a
n-1
+
1
n
2
-1
(n
≥
2),
求数
列
{
a
n
}
的通项公式。
(
5
2n+
1
4
-
2n(n+1)
)
4
、已知数列
{a
n
}
满足关系式
a
n
1
a
n
2
且
a
n
1
n
n
(
n
1
)
1
=2,
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
(4n-2)
3
、形如
a
n+1
=
a
n
f(n)
型
（
1
）当
f(n)
为常数，即
a
n+1
a
n
=q
（其中
q
是不为
0
的常数）
时，
此数列为等比数列
,
a
n
=
a
1
q
< br>n-1
（
2
）当
f(n)
为
n
的函数时，用
累乘法。
5
、已知
a
n+1
< br>=n
a
n
+n-1,
a
1
>-1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
(
a
1
+1)(n-1)!-1
[
评注
]
解本题的
关键是把原来的递推关系式
a
n+1
=
n
a
n
+
n
-1,
转化为
a
n+1
+1=n(
a
n
+1),
若令
b
n
=
a
n
+1
则问题进
一步转化
为
b
n+1
< br>=nb
n
的形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式。
对应练习
6
、
已知数列
{
a
n
}
的
a
1
=
a
,
且
n
a<
/p>
n+1
=(n+1)
a
< br>n
,
求
a
n
.
(
a
n
=n<
/p>
a
)
4
、形如
a
n+1
+
a
n
=f(
n)
型
（
1
）若
f(n)
为常数，即
a
n+1
+
a
n
=q
/
（
q
为常数）
，则数列为
“等和
数列”
，它是一个周期数列，周期为
2
，其通项分奇
数项和偶数来讨论。
（
2
）若
f(n)
为
n
的函数（非常数）
，可通过构造
转化为
a
n+1
-
a
n
=f(n)
型，
通过累加来求出通项；或用逐差法
（两式相
减）得<
/p>
a
n+1
-
a<
/p>
n-1
=f(n)-f(n-1)
，分奇
偶项求通项。
7
、数列
{
a
n
}
< br>满足
a
1
=0,
a
n+1
+
a
n
=2n
，求数列
{
a
n
}
的通项公
式。
a
(n
为奇数
)
n
n
1
n
(n
为偶数
)
对应练习
8
、定义“等和数列”
：在一个数列中，如果每一项与它的
后面一
项之和都为同一个常数
,
这个常数叫
“公和”
,
那么这
个数列叫做等和数列
.
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
是等和数列
,
且
a
1
=2,
公和为
5,
那
么
a
18
=
;
这个数列的前
21
项和
S
21
=
这个数列的前
n
项和
S
n
=
3
．
52
、
S
n
=
5
5
2
n
n
为偶数
2
n
1
2
n
为奇数
5
．形如
a
n
+1
a
n
=f(n)
< br>型
（
1
）若
f(n)
为常数，即
a
n+1
a
n
=q
/
( q
/
为常数<
/p>
)
，则数列为“等
积数列”
，它是一个周期数列，周期为
2
，其通项分奇数项<
/p>
和偶数项来讨论。
（
< br>2
）若
f(n)
为
n
的函数（非常数）时，可通过逐差法，两
式相除后
得
a
n+1
a
f(n)
n-1
=
f(n-1)
，对奇数项和偶数项分别求通项。
对应练习
9
、上一题中的“等和数列”改为“
等积数列”
,
“公和”
改为“公积”其
他条件不变
.
则
a
18
=
;
S
21
=
;
S
n
=
5
9
n
(n
为偶
)
2
,47,
s
n
9
4
n
1
(n
为奇
10<
/p>
、已知数列
{
a
4
)
n
}<
/p>
满足
a
1
=3<
/p>
，
a
n
a
n+1
=(
1
2
)
n
(n
∈
N
+
),
求此数
列的通项公式。
1
3
(
1
)
n
2
(n
奇
)
a
n
2
1
n
2
6
<
/p>
(
1
2
)
2
(n
偶
)
6.
形如
a
n+1
=p
a
n
+f(n)
型
（
1
）若
f(n)=kn+b
（其中
k
、
b
是常数，且
k
≠
0
）可用相减
法求解。
（
2
）若
f(n)=q
n
（其中
q
是常数，且
n
≠
0
、
1
）
①当
p=1
即
a
n+1
=
a
n
+q
n
时
,
累加即可
②当
p
≠
1
时
,
即
a
n+1
=p
a
n
+
q
n
时
.
有以下三种方向：
(i)
两边同除以
p
n+1
原式
变为
a
n
1
a
n
p
n
1
p
n
1
p
(
q
p
)
n
令
b
n
a
n
p
n
则
,
b
n
1
b
n
1
p
(
q
p
)
n
然后累加求通项。
(ii)
两边同除以
q
n+1
原式变为
a
n
1
p<
/p>
a
n
q
1
n
1
q
q
n
b
q
令
a
n
n
p
q
n
则可化为
b
n
1
q
b
n
1
q
来求解。
（
iii
）
待定系
数，
设
a
n+1
+
p
n+1
=p(
< br>a
n
+
p
n
)
通过比较系数，
求出
,
转化为等比数列求通项。
1
1
、在数列
{
< br>a
n
}
中，
a
1
=
3
2
,2
a
n
-
a
n-1
=
6n-3,
求通项。
a
n
6
< br>n
9
9
2
n
1
2
、设
a
0<
/p>
为常数
,
且
a<
/p>
n
=3
n-1
-
2
a
n-1
(n
∈
N)
证明对任意
n
≥
1,
a
n
=
1
5
[3
n
+(-1)
n-1
·
2
n
]+(-1)
n
·
2
n
a
0
证法
1
：
证法
2
：
证法
3<
/p>
（待定系数法）
：
证法
4(
数学归纳法
)