数列求通项公式常见题型与解题技巧(已打)
-
数列求通项公式的常见题型与解题方法
数列是
高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础
.
高考对本章的
考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每
年都不会遗漏<
/p>
.
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对
数函数和不等式的知
识综合起来，试题也
常把等差
数列、等比数列，求极限和数学归纳
法综合在一起
.
探索性
问题是高考的热点，常在数列解答题中出现
.
本章中
还蕴含着丰富的数学思想，在主
观题中着重考
查函数与方程、转化与
化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、
换元法、
待定系数法等基本数学方法
.
数列这一章的主要章
节结构为：
定烫
=
按一定
ft
序扌半
列的
一
列数
r|
函数的图像
斗值域〔有界，无界〉
单调性〔递增数列，递减数列
,
搂动数列，常数列）
最值
C
最大值，最小
ffi
）
*
数列的函数性
周期性〔周朗数列》
等差
数列
:
定义、通项公式、屮顶公式、
前
n
项廁
S.
公式、性质
答出数列<
/p>
:
定义、通项公式，中项公式、
前
n
项和
S.
公武、性顶
数列的应用，递笊处式
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三
个方面：（
1
）数列本身的有
关知识，其中有等差
数列与等比数列的
概念、性质、通项
公式及求和公式
.
（
2
）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合
.
（
3
）
数列的应用问题，其中主要是以增
长
率问题为主
.
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，
解答题大都以基础题
和中档题为主，只有个别地方用数列与几
何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大
.
我仅
对数列求通项公式这一部分内
容做一个浅显的分析与提炼
. <
/p>
题型
1
已知数列前几项求通项公式
在我们的教材中，有这样的题目：
数列
数列
0,
J
2,0,
J
2
|H
的通项
a
1
0
n
为奇数
二
［
^
2
n
为偶数■
1
数列
-<
/p>
丄，丄，—
1
，
1
1X2
2^3
3
川的通项
a
3
咒
4
4X5
1
n
-
.
时
数列
兮「
V
，
喑」一訓的通项心
（
T
严舊
+
1
1
< br>1
此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活
动，且在此基
础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本
质，从而
培养学生数学思维能力•相对于填空题或是选择题只需利用
不完全
归
纳法进行猜想即可；对于解
答题，往往还需
要我们进一步加以证明
.
例如（
2003
年全国高考）已知数列
｛為｝
满足
Q
=1,a
n
=3
心
+
昂一（
n>2
）
.
（
I
< br>求：
a
2
，
a
3
；
）
2
3
n
-1
(n)
证明：
a
n
2
分析：问题（
< br>1
）主要渗透一般化
T
特殊化，利用已知的
递推公式求具体
.
问题（
2
）与问题（
1
）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证
相
结合，求一般
.
当然还可用后面介绍的方法即注意到
进
a
n
-a
n
二
=3
n<
/p>
」（
n
>2
）
，由特殊化
< br>归为等比数列等加以证明
.
本题贯穿特殊化与一般化的思
维方法，实质上是归纳中的
行
综合
.
课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技
能
.
例
1.
写出下面数列的一个通项公式，使它的前
4
项分别是下列各数：
2 2
2 2
2
（
1
）
宁，宁
4-15-1
(n
+
1)
-
1
2
3
----
，
---
；
n
+
1
1 1
an
⑵一岚，药
4
5
n
例
2.
观察
下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式
:
⑴
-1,
7,-13,19,||i;a
n
=(-1)
n
(6 n-5)
⑵
7,77,777,7777,77 777
，川
;
a
.
=?
（
10
n
-1
）
9
兀
（
3
）
5,0, -5,0,5,0, -5,0j||.a^5sin
—
练习
2
1
:
写出下面数列的一个通项公式
:
（
1
）
一
1,|, 1 3 5,6
，川
;
an
=^H£^
⑵
3
丄
川
耳
=
出
2
3 4
5 6
n
®
-,Z
5 2 11 7 17
3n+2
练习
2 .
在某报《自测健康状况》的
报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表
.
观察表中数据的特点，用适
的数填入表中空白（
）内
.
年龄（岁）
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压（水银柱毫米）
110
115
120
125
130
135
(140 )
145
舒张压（水银柱毫米）
70
73
75
78
80
83
(85)
88
练习
3 .
根据下列
< br>5
个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第
n
个图中有
n
2
-n+1
个点
.
O
O
(1)
（
2
）
(5)
相关的高考试题有
:
O
年全国卷
)
已知数列｛
a
n
｝
,
a
n
=a
1
+
2a
2
+3a
3
+
…
+(n
—
1)a
n
-
1
(n
>2),
则｛
a
n
｝的通项
an
=
『
(2004
。
满足
3
1
=1 ,
分析
:
由已知
，
a
?
=a
i
=1
.
O
由
a
n
=a
i
+2a
2
+3a
3
+
…
(n -1)a
n^
生成
O
a
n4
=a
i
+2a
2
+3a
3
+…
(n -2)^,
O
a
<
/p>
两式相减得：
a
n
-a
nd
= (n
—
1)a
n4
，即—
a
n 4
为商型的，用累乘法可得
a
n
a
n
归吕
=nx(n- 1)x
…
X
4
咒
3,
a
a
n^
n
-2
a
2
a
2
3
当
n =
1
,
n>2.
(2006
年广东卷
)
在德国不来梅举行的第
< br>48
届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展
品，其中第
堆只有
1
层，就一个球；第
2,3,
4
，山堆最底层
(
第一层
)
分别按图
4
所示方式固定
摆放，从第二层开始，每
层的小球自然
垒放在下一
1
层之上，第
n
堆第
n
层就放一个乒乓
球，以
f (n)
表示第
n
堆的乒乓球总数，贝
U f(3) =_10_
;
1
f (n) =_^n(n
+
1) (n+2)
6
(
答案
用
n
表示
).
题型
2
由
a
n
与
S
n
的关系求通项公式
在我们的教材中，有这样的题目：
1
2
1.
已知
数列
｛
a
n
｝
的前
n
项和
S
n =
—
(n
+
n)
,
则
a
n
2
15 n = 1,
—
2.
已知数列
｛
a
n
｝
的前
n
项和
Si =3+2
n
,
则
a
n =
2^ n
洛
这类题目主要注意
s
n
与
a
n
之间关系的转化
.
即
:
n
I
S
1
(n=1)
a
n
｝
a
n
=
a
1
+
送
Qk
—
a
k
i).
般已知条件中含
S -(n >2)
a
n
与
n
1
S
n
k
的关系的数列题均可考虑用上述公式
J
k k
.
1
例如
：
(04
年浙江
)
设数列｛
a
n
｝的前项的和
S
n
=-
(a
n
-1 ) (n
忘
N*)
(I)
求
a
3
1
；
a
2
；
(n )
求证数列｛
a
n
｝为等比数列
.
1
1
1 1
解：
(I)
由
S^-
(
a
1
-
1)
,
得
a
1)
••• a
< br>2
1
a1
a2
< br>a2
1
a
1
< br>=
—
(
印
—
1
又匚二評
-
< br>)
,
即
+
=
3(
-
)
,
得
2
3
3
(n)
当
n>1
时，
a
n
=
S
n
-S
n 4 =
( d
1
n
-1)
一
(a
1
n 4
-
1
),
3
3
得
-
1
,
所以
^
8
丿
是首项
-
丄，公比
为
--
的等比数列
.
a
n
」
2 2 2
课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能
.
例
3.<
/p>
数列｛
a
n
｝
的前
n
项和
S
n
=3 2
n
-3,
< br>求数列的通项公式
.
a
n
=3><2
练习
1:
设数列｛
a
n
｝的前
n
项和为
S
n
=2 n
2
+3 n+2
，求通项
a
n
的表达
式，并指出此数列是否为等差数列
.
a
练习
2 :
已知数列｛
a
n
｝的前
n
项和为
S
n
,
a
1
= 2
，且
na
n+1
=S
n
< br>+n(n+1)
，求
a
n
.
相关的高考试题有：
a
n
= 2n
(2004
全国卷
)
已知数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
=2a
n
+(-1)
n
,n >1 .
(I)
写出求数列｛
a
n
｝的前
3
项
a
i
,a
2
,a
3
;
(n)
求
数列｛
a
n
｝
的通项公式
;
(m)
证明：对任意的整数
m>4 ,
有丄
+
丄
+1
1)
+
丄
<
—
a
4
a
5
a
m
a
m
8
.
解：⑴当
n=1
时，有：
S
i
=a
i
=2a
i
+(-1)
当
n=2
时，有：
S
2
=a
< br>1
+a
2
=2a
2
+(-1)
2
=
a
2
=0
4
7 n
= 1,
4n
+
1 n
>
l
2,
当
n=3
时，有：
S
3
=a
i
+a
2
+a
3
=2a
3
+(-1) = a
3
=2
综上可知
a
i
=1,a
2
=0,a
3
=2
；
⑵由已知得：
a
n
=S
n
-S
n
二
=2a
n
+
(
—
1)
-2a
n”
(-1)2
n
3
化简得：
a
n
=2a
n_1
+2(-1)2
2
上式可化为：
an
+
1)
=
2[a
n
」
+
；
(
< br>-
1)2]
3
3
2
2
故数列｛
a
n
+
—
(-1)
｝是以
a
1
+-
(
-
1)
为首项，公比为
2
的等比数列
.
n_2
n
3
3
-M)
]
n
2
n
1<
/p>
+
仲
故
a
，
2
/
八
n
1
」
1
I
二
a
- n
」
n
3
“
=7
3
2
n
=
；
L
3
n
2
2
.
八
n
2
--
1
(-
) =-[2
3
3
数列｛
a
n
｝的通项公式为：
-(-1)
]
.
1
1
a
n
=
[2
1
工
=1
■占
24^
+
⑶由已知得：
一
+
—
+
III
+
—
3
|
n
—
a
4
5
a
a
m
<
/p>
二
丄
口
+
丄
+
丄
+
丄
+
丄
+
川
]
1
1111
2
3 5 11 21
■<
1[1
+
1
+
丄
+
丄
+
丄
+
川
]
2
3 5 10 20
1(1
-
丄
m
=1
』
+
5
2
，
)
3
」
2
-]
13
11 / 1
m_5
(
)
一
15
5
2
=7
13
叫
105
<
一
=
8
15
120
120
(1
2[
1
1
7
1
a
7
8
故<
/p>
丄
+
丄
+
山
+
丄
£
( m>4).
a
4
5
a
m
(2006
年湖北卷
)
已知二次函数
y =
f(x)
的图像经过坐标原点，其导函数为
< br>点
(n,S
n
)(n
亡
N*)
均在函数
y =
f (x)
的图像上
.
f(X)=6x
—
2
,
数列
｛
a
n
｝
的前
n
项和为
S
n
,
(I)
求数列
｛
a
｝
的通项公式
;
n
1
n
n
m
20
(n)
设
b
n
=
-
--------
,
T
是数列
｛
b
｝
的前
n
项和，求使得
T
n
丈一
对所有
n
忘
< br>N
*
都成立的最小正整
数
m .
ananHr
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基
础知识和基本的运算技能，考
查分析问题的能力和推
理能力
.
解：
(I)
设这
二次函
数
f(x) = ax
+bx (a
工
0),
贝
U
f(x)=2ax+b,
由于
f (x)=6x
—
2,
得
2
5
a=3 , b=
—
2,
所以
f(x) = 3x
—
2x.
2
又因为点
（
n
,S
n
）（
n
亡
NJ
均在函数
y = f
（
x
）
的图像上，所以
S
n
=
3n
—
2n.
2
当
n >2
时，
a
n
=
S
n
—
S
n
—
1
=(
3n2
一
2n)
—
(
n-1)^ - 2(n
-1)
】
=6n
—
5.
当
n = 1
时，
a
i
=
S
i
=
3X1
2
—
2 = 6X 1
—
5
，所以，<
/p>
a
n
= 6n
—
5
( n
c
N
*
).
（
2006
年安徽卷）数列
（
a
j
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>,
1
2
已知印
=
—
,S
n
= n a
n
-
n
(
n -1
v
n =
1,2,””
”
.
（
I
）写出
S
n
与
S
n
」的递推关系式
（
n>2
）
,
并求
< br>S
n
关于
n
的表达式
;
2
'
*
(n)
设
f
n
(
x
)
=
—
x
n
爭
b
n
P
P
亡
R
)<
/p>
，求数列
｛
bn
｝
的前
n
项和
T
n
•
=
“(
X
n
解：由
Sn=n
a^
—
n
(
n<
/p>
—
1
)(
n
3
2
j
得：
Sn=n
(S^
—
S
n
—
n
(
n
—
1
)
,
即
(n
—
1)S
n
—
n
S
n
j =
n
(
n
—
1
)
，
所以
1
n -1
吐
S
-^^S2=1
,
对
n>2
成立
.
n
n
1
1
2
+
S
n
-2S^ =
n-1
，又
S =3 =
n 2
n
n
n
—
1
3
-
S
1
=1
相加得
:
■
n
S
n
-
S
n 4
=
1
，
S
n
J
—
S
n
_2
=
1
，…，
S
2
1
1
由
^
n -1
n -1
n -2
2
2
所以
n
S
——
,
当
n
= 1
时，也成立
.
n
n
n
出
，得
bl
=
”(
P
)=
np
n
•
fn
(<
/p>
X
)3
x
^
n
+
1
(n)
由
=
-
---
x
n
n
+
1
而
T
n
=<
/p>
p
+
2p
2
+
3p
3
+||i
+
(n-1)p2
+
np
n
,
pT
n
=
n
2<
/p>
3
4
n
p
+
2p
+
3p
+
111
+
(n
-
1)p
+
np
^
n
P(1
-P
)
2
3
n
n
n
(1- P)Tn=p+p
+
p
+il|
+
p
rp
-np
^
-np
n
卅
1-p
题型
3
已知数列递推公式求通项公式
在
我们的教材中，还有这样的类型题：
=3n-2
1
•已知数列
｛
a
n
｝
的首项
6=1
，且
a
n = an 4
+3(n
>2)
,
则
a
已
4^32-
3
•
2
•已知数列
｛
a
n
｝
的首项
a
1
=1
，且
a
n
=2anj+3
（
n>2
）
,
则务
1
a
3<
/p>
•已知数列
｛
a
n
｝
的
a
= 1
,
a
2
= 2
且
a
n =
—
(a
n4
+
a
n
^)(n
3
3)
,
则
lim
——
=
2
F
a
n
十
4•已知数列
｛
a
n
｝
的
a
i
=1
,
a
2
=2
且
a^ = 2&
估
—
a
n
,
则
a^^
这类问题
是通过题目中给定的初始值和递推公式，在熟
练掌握等差数列、
产生的一系列变式
.
我们应清楚的意识到
:
1
•证明数列
-n
｝
是等差或等比
数列常用定
义，即通过证明
an41 -an =a
等比数列的通项公式的推
导方法的基
础上
,
-
n-
（
^
）或普
a
2
an
_
=
--- (n
2
2)
而得
.
a
n7
但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而
6
般数列的问题常转化为等差、等比数列求解
.
3.
累加、累乘、
我们具体进行如下分析：
一、由等差，等比演化而
来的“差型;’“商型”递推关系
题组一：
数列
｛
a
n
｝
中
，
a =1,a
n^
=a
n
+
2
，求
｛
a
n
｝
< br>的通项公式
.
a
n
=2n-1
变式
1
：数列
｛
a
n
｝
中，
a
1=
1,a
n^=
an+ n
，求
｛
a
.
｝
的通项公式
.
a
.
等差数列、等比数列求通项公式涉及的迭代、
构造等方法
.
丄
2
丄
+
1
变式
2:
数
列
｛
a
n
｝<
/p>
中，
a
i
=1,a
n4i
=a
n
+3
山，求
｛
^
｝
的通项公式
.
a
n
a
^-
n
2 2
3
5
1
2
变式
3 :
已知数列
｛
a
｝
满足
a
i
=1,
n
1
-
1
-1
，求
an
.
a
n
d
!
a
n
2a
变式
4
:
数列
｛
a
｝
中，<
/p>
a^1,a^^ =
———
，求
｛
a
｝
的通项公式
.
a a
n
+
2
n
n
2
—
n
+
1 <
/p>
分析：①等差数列：
a
n
+
-a^d
生成：
a
2
-q =d
,
a^a^d
，…
a
」
—
a
.^
=d
,
a
—
a
.
』
=d
累加：
a
n
=(a
n
-a
n
J
+
(a
n
」
—
a^)
+
…
@2
—
aj
七
1
n
n<
/p>
=
(n
—
1)d
+
a
1
由此推广成差型递推关系：
a
n
-a
n
」
=
f (n) (n
>
2)
n
累加：
a
=(a
n
-a
nd
)
+
(a
nd
—
anj
+…
@2
—
aj
+
印
=
送
f(n
)+
耳
n
，于是只要
f(n)
可以求和就行
.
2
n
题组二、
已知数列
｛
a
n
｝
的首项
a
1
=1
，且
a
n
=3a
n4
(n>2)
,
则
< br>
a
.
=_3
'
变式
变式
2 :
变式
1:
已知数列
｛
a
n
｝
的首项
a
1
=1
，且
a
n
=
数列
｛
a
n
｝
中
a
i=
2,a
n
十
=
3a
n
+
2
，
，
n
—
1
---
a
n4
(n
>2)
，则
a
n
n
求
｛
a
｝
的通项
公式
.
a
n
n
=
3
n
—
1
且
(n
+1)a
2
卅—
nan
+
a
n
十
< br>
q =0,(n =1,2,3,
III)
，求
｛
aj
的通项公式
.
分析
:
②
等比数列：
a
n
+
+a
n
=q
生成
:
a^a^q , a^a^
q
，…
a
n^
-a^^ =q, a^a^^ =q
3:
数列
｛
a
｝
< br>是首项为
1
的正项数列
,
n
a
n
a
累乘
:
n
a
n 4
a
2
n 4
a
n =
a
・
n 4
a
a
1
=
q 0
1
a
1
n_2
由此推广成商型
递推关系
:
a
a
田
n
n 4
■
----
累乘：
an =
-----------
an4 an-2
=g( n)
a
n 4-
n
2
a
—
a
1
=n
a
1
g(n)
£1
2
为了提高，我们还可以引用下列例
题：
2(2 n-1)
、
a
n
斗
，
(n
^2)
.
n
例
1
、
若数列
£n
｝
满足：
a
1
=2, a
n =
求证：①
a
n =C2n
；
②
a
.
是偶数
.
7