9.2 数列的通项与求和
-
数列求通项及求和
【教学目标】
本节内容
数列求通项
数列求和
数列综合
目标层级
★★★☆☆☆
★★★★☆☆
★★★★★☆
是否掌握
一、数列求通项
【知识点】
1.
公式法
等差数列：
a
n
a
1
(
n
1)
d
等比数列：
a
n
a
1
q
n
1
2.
累加法和累乘法
（
1
）形式：
a
n
1
< br>a
n
f
(
n
)
利用累加法得到
a
n
< br>
a
1
f
(
n
1
)
f
(
n<
/p>
2)
...
f
(2)
f
(1)
（
2
）形式：
a
n
1
<
/p>
f
(
n
)
a
n
利用累乘法得
到
a
n
a<
/p>
1
f
(
n
1)
f
(
n
2)
...
f
(2)
f
(1)
3.
利用
S
n
和
a
n
的关系
已知
S
n
，利用
a
n
S
1
,
n
< br>
1
来求
a
n
，注意检验
S
n
S
n
1
,
n
2
4.
待定系数构造特殊数列（根据学员程度适度讲解）
（
1
）
a
n
1
pa
n
q
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，构造
a
n
t
为等比数列
（
2
）
a
n
1
pa
n
tp
n
< br>
1
（
3
）
a
n
1
pa
n<
/p>
tq
n
1
a
a
n
1
a
n
< br>n
t
,
构造
n
为等差数列
n
1
n
p
p
p
a
n<
/p>
1
p
a
n
t
，再参照形式（
1
）构
造等比数列
q
n
1
q
q
n
（
4
）
a<
/p>
n
1
pa
n
qn
r
a
n
1
(
n
1)
p
(
a
n
n
)
，构造
a
n
n
为等比
（
5
）
a
n
2
< br>
pa
n
1
qa
n
a
n
2
ta
n
<
/p>
1
p
(
a
n
1
ta
n
)
,
构造
a
n
1
ta
n
为等比数列
5.
取倒数法构造特殊数列（根据学员程度适度讲
解）
先取倒数再构造等差或等比数列，形式如下：
（
1
）
a
n
1
（
2
）
a
n<
/p>
1
1
pa
n
1
q
1
，构造
为等差数列
qa
n
p
a
n
1
p
a
n
a
n
pa
n
1
q
t
1
，再参照待
定系数法的形式（
1
）构造等比数列
qa
n
t<
/p>
a
n
1
p
p
a
n
【例题讲解】
★★☆例题
1
．
（公式法，累加法）
公差不为零的等差数列
a
n
中，
a
3
7,
a
2
,
a
4
,<
/p>
a
9
成等比数列
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
（
2
）设
a
n
b
n
1
b
n
,
b
1
1
，求数列
b
n
的通项公式
【答
案】
（
1
）
a
n
3
n
2
（
2
）
b
n
3
n
2
< br>7
n
6
2
2
（
1
）等差数列
a
n
的通项公式为
a
n
a
1
(
n
1)
d
，有题意得
< br>a
3
7,
a
4
a
2
a
9
所以
a
1
1
a
1
2
d
7
，解得
，所以
a
n
3
n
2
< br>
2
(
a
3
d
)
(
a
d
)(
a
8
d
)
d
3
1
1
1
（
2
）
b
n
1
<
/p>
b
n
3
n
2
，当
n
2
时，
b
n
(
b
n
b
n
1
)
(
b
n
<
/p>
1
b
n
2
)
...
(
b
2
b
1
)
b
1
(
n
1)(3
n
5
1)
3
n
2
7
n<
/p>
6
(3
n
5)
(3
n
8)
...
1
1
1
，
n
1
时符合
2
2
3
n
2
7
n
6
所以
b
n
2
★☆☆
练习
1
．已知
a
n
是公差为
3
的等差数列，数列
b
n
满足
b
1
1
，
b
2
，
a
n
b
n
1
b
n<
/p>
1
nb
n
(1)
求
a
n
的通项公式；
<
/p>
1
3
(2)
求<
/p>
b
n
的前
n
项和．
n
1
【答案】<
/p>
（
1
）
a
n
3
n
1
（
2
）
S
n
(
)
3
2
1
2
1
3
解析：
（
1
）将
b
1
1
，
b
2
带入可得
a
1
2,
a
n
3
n
1
（
2
）将
a
n
的通项公式带入
a
< br>n
b
n
1
b
n
1
nb
n<
/p>
可得
(3
n
<
/p>
1)
b
n
1
b
n
1
nb
n
,
b
n
1
b
n
1
1
(1
)
n
3
3
1
(
1
)
n
1
所以
b
n
是等比数列，所以
b
n
的前
n
项和等于
1
2
2
3
1
3
1
3
1
3
★☆☆练习
2
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，则
a
n
_
_______
．
【答案】
a
n
2
n
解析
:
由
a
n
1
a
n
2
n
1<
/p>
得
a
n
1
a
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
<
/p>
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(<
/p>
a
2
a
1
)
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(
n
2)
1]
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
< br>(
n
2)
2
1]
(
n
1)
1
<
/p>
(
n
1)
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
< br>1
n
2
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
。
< br>
★★☆例题
2
．
（由
S
n
求
a
n
）
（
1
）已知数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，若
S
n
2
a
n
4
,
n
N<
/p>
*
，则
a
n
=_______________
（
2
）数列
a
n
满足
a
1<
/p>
2
a
2
na
n
4
【答案】
（
1
）
2
n
1
；
（
2
）
a
n
＝
【解析】
（
1
）
①﹣②得：
n
< br>2
a
n
1
,
n
N
*
，求数列
n
的通项公式
.
2
1
*
.
n
1
（
n
N
）
2
S
n
2
a
n
4
①，
S
n
1
2
a
n
1
4
<
/p>
n
1
S
n
S
n
1
2
a
n
2
a
n
1
，即
a
n
2
a
n
2
a
n
1
，整理得：
a
n
2
a
n
1
∵
S
1
< br>2
a
1
4
，即
a
1
4
，∴数列
{
a
n
}
为首项是
4
，公比是
2
的等比数列，
n
1
n
1
则
a
n
4
2
2
，故答案为：
2
n
< br>1
．
n
2
，
①
2
n
1
n
1
当
n
2
时，
a
1
2
a
2
(
n
1)
a
n
1
4
n
2
①
2<
/p>
n
1
①
-
①
得：
na
n
＝
n
1
，所以
a
n
＝
n
1
（
n
2
）
，
2
2
1
又因为
a
1
，即
n
＝
1
也符合，所以
a
n
＝
n
1
（
n
N
*<
/p>
）
.
1
2
（
2
）因为
a
1
2
a
2
na
< br>n
4
★★☆练习
1
．已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
a
n
2
< br>
0
，求数列
a
n
的通项公式。
【答案】当
n
1
时，有
a
1
S
1
，所以
a
1
a
1
2
0
，所以
a
1
1
当
n
2
时
,
有
S
n
a
n
< br>2
0
①
S
n
1
a
n
1
2
0
< br>
②
①
-
②得：
S
n
S
n
1
a
n
a
n
1
< br>
0
因为
a
n<
/p>
S
n
S
n
1
,
得：
a
a
n
n
1
1
n
2
2
所以数
列
a
n
<
/p>
是首项
a
1
<
/p>
1
，公比
q
<
/p>
所以
a
n
a
1
q
n
1
1
的等比数列，<
/p>
2
1
2
n
1
n
1
★★☆练习
2
．已知数列<
/p>
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
2
2
（
1
）求
a
n
< br>
的通项公式
（
2
）设数列
b
n
满足
b
n
a
，求数列
b
n
的前
n
项和
T
n
n
【答案】（
1
）
a
n
2
（
2
）
T
n
2
n
n<
/p>
n
S
n
1
2
2
n
1
（
1
）由
a
n
< br>和
S
n
的关系可求得
a
n
2
，过程略
2(2
n
1)
1
2(1
n
)
（
2
）
b
n
n
2
2
所以
T
n
b
1
b
2
...
b
n
2(1
)
2(1
1
2
1
1
)
...
2(1
)
2
2
2
n
1
1
(1
n
)
1
1
1
2
]
2(
n
1
1
)
2[
n<
/p>
(
2
...
n
)]
2[
n
2
1
2
2
2
2
n
1
2
所以
T
n
2
n
1
2
2
n
1
★★☆练习
3
．设数列
a
n
满足
a
1
3
a
2
...
(2
n
1)
a
n
2
n
（
1
）求
a
n
的通项公式
的前
n
项和
（
2
）求数列
2
n
n
1
< br>a
【答案】
1
）
a
n
2
2
n
（
2
）
<
/p>
2
n
1
2
n
1
解析：
（
1
）当
n
2
时，因为
a
1
3
a
2
...
(2
n
1)
a
n
2
n
，
所以
a
1
3
a
2
...
(2
n
3)
a
n
1
2(<
/p>
n
1)
，两式
相减得
(2
n
1)
a
n
2,
a
n
又因为
n
1
时
a
1
2
符合上式，所以
a
n
a
n
2
1
1
2
2
n
1
2
2
n
1
（
2
）
2
n
< br>
1
(2
n
1)(2
n
< br>
1)
2
n
1
2
n
1
，所
以
1
1
1<
/p>
1
1
1
2
n
S
n
(1
)
(
)
< br>...
(
< br>)
1
3
3
5
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
< br>★★☆例题
3
．
（由
S
n
求
a
n
，累乘法）
已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且满足
a
1
1
，
a
n
【答案】
n
(
n
1)(
n
2)
解析：因为
a
n
3
n
2
n
1
S
n
，所以
S
n
a
< br>n
，当
n
2
时，
S
n
1
a
n
1
n
2
3
3
a
n
n
1
n
2
< br>n
1
a
n
a
n
1
，化简可得
a
n
1
n
1
3
3
3
S
n
，则
S
n
______
n
<
/p>
2
1
6
所以
a
n
S
n
S
n
1
所以
a
n
n
1
n
1
n
n
1<
/p>
4
3
n
(
n
1)
a
n
1
...
a
1
< br>
n
1
n
1
n
2
n
3
2
1
2
n
2
1
a
n
< br>
n
(
n
1)(
n
2)
3
6
当
n
<
/p>
1
时
a
1
1
符合上式，所
以
S
n
2<
/p>
2
★★☆练习
1
．已知正项数列
a
n
的首项
a
1
1
，且
2
< br>na
n
1
(
n
1)
a
n
a
n
1
(
n
1)
a
n
0
，则
a
n
的通项公式
a
n
_____
【答案】
a
n
n
2
n
1
2
2
解
析
：
2
na
n
1
(
n
1)
a
n
< br>a
n
1
(
n
1
)
a
n
(<
/p>
a
n
1
a
n
)[2
na
n
1
(
n
1)
a
n
]
，
因
为
a
n
为
正
项
数
列
，<
/p>
所
以
2
na
n
1
(
n
1)
a
n
0,
2
na
n
1
(
n
1)
a
n
所以
a
n
a
n
1<
/p>
n
1
a
n
2
n
，累乘后可得
n
n
,
n
2
，
a
1
1
符合上式，所以
a
n
n
1
n
1
2
2
★★★例题
4
．
(
构造等比数列）
数列
a
n<
/p>
满足
a
1
1,
a
n
4
a
n
1
3
n
2
，则此数列的通项公式
a
n
_______
【答案】
a
n
2
4<
/p>
n
1
1
解析：
a
n
4
a
n
1
3
a
n
1
4
a
n
<
/p>
1
1
，又
a
1
1
2
，
∴数列
a
n
1
< br>是以
2
为首项、
4
为公比的等比数列，
a
n
1
2
4
n
1
，
a
n
2
< br>4
n
1
1
★★☆练习
< br>1
．已知数列
a
n
的首项
a
1
2
，且
a
n
1
a
n
【答案】
1023
.
解析：由
a
n
1
a
n
，得
a
n
< br>1
1
a
n
1
，
1
a
n
1
为等比数列，
a
n
1
a
1
1
2
n
1
1
2
<
/p>
1
1
n
N
*
，则数列
的前
10
项的和为
__
___
2
a
n
1
1
2
1
2
1
2
1
< br>2
n
1
，
10
1
2
n
<
/p>
1
，
S
1
2
1023
，故答案为
1023
.
10
a
n
1
1
2
★★★例题
5
．
(
构造等比数列）
已知
a
n
1
2
a
n
< br>
3
5
，
a
1
6
，求数列通项。
n
< br>【答案】
a
n
2
n
1
5
n
解析：
a
n
1
x
5<
/p>
n
1
2
a
n
x
5
n
，与原式比较得
x
1
，所以
a
n
1
5
n
1
2
a
n
5
n
，同时
a
1
5
6
5
1<
/p>
，则数
<
/p>
n
列
a
n
5
是以
a
1
5
1
为首项
2
为公比的等比数列，则
a
n
5
n
2<
/p>
n
1
，故
a
n
2
n
1
5
n
备注：
1.
对于形如
a
n
1
p
a
n
q
n<
/p>
p
0,1<
/p>
q
0,1
<
/p>
的数列求通项，有以下两种方法：
（<
/p>
1
）两边同除以
p
n
1
，再累加法求通项；
n
（
2
）两边同时加上
xq
n
<
/p>
1
，再构造等比数列
a
< br>n
xq
注意：
若
p
q
，则
只能采用（
1
）
，而（
2
）无法求解
5
1
1
★★☆练习
1
．已知数列
<
/p>
a
n
中，
a
1
,
a
n
1
a
n
< br>
，求数列
a
n
的通项公式
6
3
2
n
1
【答案】
a
n
< br>
2
n
3
n
3
2
解析：等式两边同乘以
3
3
a
n
3
3
n
1
n
n
1
n
1
3<
/p>
，得
3
a
n
1
3
a
n
2
< br>
n
1
n
n
1
从
而
3
<
/p>
a
n
1
2
n
2
n
n
1
a
n
1
3
a<
/p>
n
2
3
2
3
3
a
2
3
a
1
<
/p>
2
5
3
a
1
2
2
2
n
3
2
3
累加得
3
a
n
3
2
故<
/p>
a
n
n
n
2
3
2
n
★★★例题
6
．
（构造等比数列）
已知数列
a
n
满足
a
1
5,
a
< br>2
5,
a
n
1
a
n
6
a<
/p>
n
1
(
n
2)
（
1
）求证
：
a
n
<
/p>
1
2
a
n
是等比数列
<
/p>
（
2
）求数列
a
n
的通项
公式
n
n
【
答案】
(1)
见解析（
2
）
a
n
< br>3
(
2)
解析：
（
1
）
a
n
1
a
n<
/p>
6
a
n
1
(
n
2),
a
n
1
2
a
n
3(
a
n
2
a
n
1
)
，
又因为
a
1
5,
a<
/p>
2
5,
a
2
2
a
1
15
，
所以
a
n
1
< br>2
a
n
是以
15
为首项，
3
为公比的等比数列
n
n
n
1
n
（
2
）由（
1
）得
a
n
1
2
a
n
5
3
,
a
n
1
3<
/p>
2(
a
n
3
)
，所以数列
a
n
3
n
n
1
n
n
是以
2
为首项，
2
为公比的等比数列，
a
< br>n
3
2(
2)
,
a
n
3
(
2)<
/p>
★★☆练习
1
．已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
3
，且<
/p>
a
n
2
2
a
n
1
a
n
4
，求
< br>a
n
【答案】
a
n
2
2
a
n
1
a
n<
/p>
4
a
n
2
a
n
1
a
n
1
a
n
<
/p>
4
设
b
n
a
n
1
a
n
，则
b
n
< br>1
b
n
4
，且
b
1
a
2
<
/p>
a
1
2
b
n
为公差是
4
的等差数列
b
n
b
1
n
1
4
< br>
4
n
2
a
n
1
a
n
4
n
2
a
n
a
n
< br>1
4
n
1
2
a
2
a
1
4
1
2
a
n
< br>
a
1
4
1
2
n
1
2
n
1
< br>
4
n
n
1
2
2
n
1
2
n
2
4
< br>n
2
a
n
2
n
2
4
n
3
★★☆例题
7
．
（构造等差数列）
在数列
a
n
中，已知
a
1
2,
a
n
a
2
a
n
1
n
2
<
/p>
，则
a
n
等于<
/p>
(
)
n<
/p>
1
2
A
．
2
2
3
3
B.
C
．
D
．
n
1
n
n
n
1
【答案】
B
解析：将等式
a
n
a
2
a<
/p>
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
，
=
,
<
/p>
是公差为
的等差数列，
=
，
两边取倒数得到
a
n
a
n
1
2
a
1
2
a
n
a
n
1
2
2
n
1
<
/p>
2
a
n
1
1
1
n
2
根据等差数列的通
项公式的求法得到
a
2
n
< br>1
2
2
，故
a
n
.
n
n
n
★★☆练习
1
．在数列
a
n
中，
a
1
，对任意的正整数
n
都有
(
n
1)
a
n
1
na
< br>1
成立，
求数列
a
n
的通项公式
2
n
1
na
【答案】
a
n
n
(
n
1)
n
n
解析：
（
1
）因为
(
n
1)
a
n
< br>1
na
1
，所以
(
n
1)
a
na
na
1
，所以
n
n
1
n
n
1
na
1
na
1
1
1
数列
na
为等差数列，所以
na
a
(
n
1)
1
n
<
/p>
1
，所以
a
n<
/p>
n
(
n
1)
n
1
n
< br>
1
1
1
知识点要点总结：
二、求前
n
项和
【知识点】
1.
公式法
等差数列：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n<
/p>
(
n
1)
na
1
d
2
2
na
1
,
q
1
< br>
等比数列：
S
n
a
1
< br>(1
q
n
)
1
q
,
q<
/p>
1
2.
错位相减法
形式：
c
n
a
n
b
n
或
c
n
S
n
a
1
a
1
q
< br>
a
1
q
2
a
n
a
b
b
n
（其中
，
n
为等差数列，
n
< br>为等比数列）
a
1
q
n
1
，
a
1
q
n
，
2
3
将上
式两边同乘以
q
得：
qS
n
a
1
< br>q
a
1
q
a
1
q
n
两式相减得：
(1
q
)
S
n
a
1
a
1
q
，以下讨论同法一．
3.
裂项相消法
裂项常见的形式如下：
（
1
）
n
(
n
+1)
n
n
1
（
2
）
n
(
n
+2
)
2
(
n<
/p>
n
2
)
（
3
）
(2
n
1)(2
n
+1)
2
(
2
n
1
2
n
1
)
（
4
）
(2
n
1)(2
n
+1)
2
n
1
2
n
1
<
/p>
（
5
）
a
a
d
(
a
a
)
，其中
a
n
为等差数列
n
n
1
n
n
1
（
6
）
(
q
n
p
)(
q
n
q
)
p
q
(
q
n
p
q
< br>n
q
)
等等……
裂完项相消时注意“前
负后正“
(
前面负的和后面正的相消
)
的原则
4.
分组求和
（
1
）
c
n
a
n
b
n
，对
a
n
,
b
n
单独求和再相加
（
2
）含有
(
1)
n
形式的数列要对
n
分奇偶来进行讨论再并项求和
【例题讲解】
★★☆例题
1
．
（错位相减）
已知
a
n
是递增的等差数列，
a
2
,
a
4
是方程
x
2
5
x
6
<
/p>
0
的根。
(1
)
求
a
n<
/p>
的通项公式；
(2)
求数列
2
< br>n
的前
n
项和
【答案】
（
1
）
a
n
n
2
n
4
（
2<
/p>
）
S
n
2
n
1
2
2
a
n
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
4
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
解
析
：（
1
）
x
2
5
x
6
0
解
得
x
2
或
x
3
，
因
< br>为
a
n
是
递
增
的
等
差
数
列
，
所
以
1
n
2
a
2
2,
a
4
3,
< br>d
,
a
n
a
2
(
n
2)
d
2
2
（
2
）因为
所以
S<
/p>
n
1
2
a
n
n
2
3
4
n
2
n
1
，所以
S
n
2
3
...
n
1
<
/p>
n
2
2
2
2
2
3
4
n
1
n
2
1
3
1
1
1
n
2
..
.
S
<
/p>
...
<
/p>
，两式相减可得
n
2
3
2
4
2
n
1<
/p>
2
n
2
2
2
2
2
3
2
4
2
n
1
2
n
2
1
1
(1
n
1
)
1
1
1
1
n
2
n
2
n
4
2
< br>
2
3
...
n
1
n
2
2
n
2
1
n
2
< br>1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
所以
S<
/p>
n
2
n
4
2
n
1
n
1
★
★
☆
练
习
1
．
已
< br>知
数
列
a
n
的
通
项
公
式
为
a
n
3
，
在
等
差
数
列
b
< br>n
中
，
b
n
0,
b
1
b
2<
/p>
b
3
15
，
又
a
1
b
1
,
a
2
< br>b
2
,
a
3
b
3
成
等比数列。
（
1
）求数列
b
n
< br>
的通项公式
（
2
）求数列
a
n
b
n
的前
n
相和
T
n
答案：
（
1
）
b
n
2
n
1
（
2<
/p>
）
T
n
n
3
n
解析：
（
1
）因为
a
n
3
，所以
a
1
1
,
a
2
3,
a
< br>3
9
，因为
< br>b
1
b
2
b
3
15,
b
2
5
n
1
又因为
a
1
b
1
,
a
2
b
2
,
a
< br>3
b
3
，设等差数列的公差为
d
，所以
(1
5
d
)(9
5
d
)
64
解得
d
10
或
d
2
，因为
b
n
0
，所以
d
2
，
b
n
2
n
1
（
2
）
a
n
b
n
(2
n
1)3
，由错位相减法求得
T
n
n
3
，过程略
n
1
n
★
★☆练习
2
．已知
{
< br>x
n
}
是各项均为正数的等比数
列，且
x
1
x
2
3,
x
3
x
2
2
（
1
）求数列
{
x
n
}
的通项公式；
，，
P
n
<
/p>
1
(
x
n
1
,
n
1)
得到折线
PP
（
2
）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，依次连接点
P
1
(
x
1
,1
),
P
2
(
x
2
,2)...
1
2
P
n
1
，
求由该折线与直线
y
0,
x
x
1
，
x
x
n
+1
所围成的区域的面积
T
n
.
x
1
x
1
q
3
2
【解析】
（
1
）设数列
{
x
n
}
的公比为
q
，由已知
q
0
．由题
意得
2
，所以
3
q
5
q
2
0
，
x
1
q
x
1
q
2
< br>n
1
因为
q
0
，所以
q
2,
x
1
1
，因此数列
< br>{
x
n
}
的通项公式为
x
n
2
.
x
轴作垂线，垂足分别为
Q
1
,
Q
2
,
Q
3
,
……
Q
n
1
，
（
2
）过
< br>P
1
,
P
2
,
P
3
,
……
P
n
<
/p>
1
向
n
n
1
n
1
由（
1
）得
x
n
1
x
n
2
2
2
.
记梯形
P
n
P
n
1<
/p>
Q
n
1
Q
n
的面积为
b
n
．
由题意
b
n
(
n
n
1)
n
1
2
(2
< br>n
1)
2
n
2
，
2
n
<
/p>
3
n
2
所以
T
n
b
1
b
2
b
3
< br>
……
+
b
n
3
2
1
5<
/p>
2
0
7
2
1
……
+
(2
n
1)
2
(2
n
1)
2
< br>①
0
1
2
n
2
n
1
又
2
T
n
3
2
5
2
7
< br>
2
……
+
(2
n
1)
2
(2
n
1)
2
②
①
-
②，得：
T
n
3
2
(2
2
......
2
1
2
n
1
)
(2
n
1)
2
n
1
< br>3
2(1
2
< br>n
1
)
(2
n
1)
2
n
1
n
1
(2
n
1)
2
，
T
n
=
．
2
< br>1
2
2
★★☆例题
2
．
（裂项相消）
已知公差不为
0
的
等差数列
a
n
的首项为
2
，且
< br>a
1
,
a
2
,
a
4
成
等比数列
（
1
）求
a
n
的通项公式
（
2
）令
b
n
(
a
1
)
2
1
，求
数列
b
n
的前
n
项和
n
【答案】
（
1
）
a
n
<
/p>
2
n
（
2
）
4(
n
1)
解析：
（
1
）利用等差和等比数列的性质列方程可解得
a
n
2
n<
/p>
，过程略
（
2
）
b
n
(
a
1)
2
1
(2
n
1)
2
1
4
n
(
n
1)
4
(
n
n
1
)
n
所以前
n
项和为
4
(1
2
<
/p>
2
3
...
n
n
1
)
4(
n
1)
★★☆练习
1
．设等差数列
a
n
的前
n<
/p>
项和
S
n
满足<
/p>
S
3
0,
S
5
5
(1)
求
a
n
的通项公式；
(2)
求数
列
a
<
/p>
1
的前
n
项和。
a
2
n
1
2
n
1
n
1
2
< br>n
1
1
1
1
1
1
n
1
1
1
1
1
1
1
n
【答案】<
/p>
（
1
）
a
n
2
n
（
2
）
解析：
（
1
）列方程可解得<
/p>
a
1
1
,
d
1
,
a
n
2
n
，过程略
（
< br>2
）
a
1
1
1
1
1
(
)
a
(3
2
n
)(1
2
n
)
2
2
n
3
2
n
1
2
n
1
2
n
1<
/p>
所以
T
n
[(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
)
(
)
(
)...
(
)]
(
1
)<
/p>
2
1
1
1
3
3
5
2
n
3
2
n
1
2
2
n
1
1<
/p>
2
n
★★☆练
习
2
．
<
/p>
（
1
）设数列
a
n
，其前
n
项和为
S
n
，对任意正整数
n
都有
a
n
5
S
n
1
成立。求数列
a
n
< br>
的通项公式；
（
2
）设
b
n
< br>log
4
|
a
< br>n
|
，求数列
1
4
1
的前
n
项和
T
n
b
n
b
n
2
1
2
1
2
< br>1
1
)
n
1
n
2
1
4
n
答案：
（
1
）
a
n
(
)
（
2
）
T
n
< br>
(1
解析：
（
1
）当
< br>n
1
时，
a
1
5
S
1
1,
a
1
n
当
n
2
时，
a
n
5
S
n
1
,
a
n
1
5
S<
/p>
n
1
1
,
a
n
a
n
1
5
a
n
，即
a
4
n
1
a
1
n
所以
a
n
是以
a
1
为首项，公比<
/p>
q
的等比数
列，所以
a
n
(
)
1
4
1
4
1
4
n
（
2
）
b
n
log
4
|
(
4
)
< br>|
n
,
b
b
n
(
n
2)
2
(
n
n
2
)
n
n
2
1
1
1
1
1
1
所以
T
n
[(1
)
(
)
(
)
...
(
1
1
1
1
(1
)
2
2
n
1
n
2
1
2
1
3
1
2
1
< br>4
1
3
1
5
1
1
1
1
)
(
)]
n
1
n
1
n
n
2
★★☆例题
3
．
（分组求和）
n
设数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
3
< br>
4
n
N
（
1
）求数列
a
n
的通
项公式
（
2
）令
b
n
n
a
n
，求数
列
b
n
<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
n
答案：
a
n
4
2
S
n
n
2
3
n
4
n
4
1
< br>
2
3
n
（
1
）利用累加法，递推公式
a
n
1
a
n
3
4
，下标变换，得
a
n
a
n
1
3
4
< br>n
1
a
n
1
a
n
2
3
4
n
< br>2
a
2
a
1
3
4
累加，可得
a
n
a
1
3
4
< br>3
4
2
3
4
n
1
12
4
n
1
1
4
1
4
n
4
n
再结合
a
1
1
，因此，
a
n
4
2
.
n
（
2
）
解：因为
b
n
n
a
n
n
4
2
，分组进行求和，
S
n
1
2
n
2
n<
/p>
4
1
4
2
4
n
结合等差数列和等比数列求和公式，有
S
n
n
n
1
2
4
4
< br>n
1
4
1
n
2
3
n
4
n
2
n
4
1
2
3
★★☆
练习
1
．
已
知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且
2
S
n
3
a<
/p>
n
1
（
1
）求<
/p>
a
n
的通项公式；
n
（
2
）若数列
b
n
满足
b
n
a
n
(
1)
log
3
a
n
，求数列
b
n
的前
2
n
项和
T
2
n
n
1
答案：
（
1
）
a
n
< br>3
（
2
）
T
2
n
3
2
n
1
n
2
2
n
1
解析：
（
1
）由
a
n
和
S
n
的关系可求得
a
n
3
n
n
1
< br>n
（
2
）
b
n
a
n
(
1)<
/p>
log
3
a
n<
/p>
3
(
1)
(
n
1)
2
2
n
1
所以
T
2
n
< br>
(1
3
3
...
3
)
[(
0
1
)
(
2<
/p>
3)
...
(
2
n
2
2
n
1)]
1
3
2
n
< br>3
2
n
1
n
n
1
3
2
2
2
★★☆练习
2
．已知
等差数列
a
n
满足
n
1
a
n<
/p>
2
n
n
k
,
k
R
.
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
4
n
2
（
2
）设
b
n
，求数列
b
n
的前
n
项和
S
n
.
a
n
a
n
1
2
n
2
2
n
【答案】
(1)
a
< br>n
2
n
1
;(2)
S
n
.
2
n
1
2
解
析：
（
1
）由
n
1
<
/p>
a
n
2
n
n
k
，令
n
1
,2,3
，
得到
a
1
3
k
10
k
21
< br>k
,
a
2
,
a
3
2
3
4
a
n
是等差数列，则
2
a
2
a
1
a
3
，
即
20
2
k
3
k
21
k
< br>
解得
k
1
.
3
2
4
2
由
于
n
1<
/p>
a
n
2
n
n
1
2
n
1
n
1
n
1
0
，
a
n
2
n
1
.
（
2
）由
b
n
4
n
< br>2
4
n
2
4
n
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
< br>
1
a
n
a
n
1
2
n
1
2
n
1
4
n
1
4
n
1
2
n
1
2
n
1
2
2
n
1
2
n
1
1
< br>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
< br>
2
n
1
2
n
1
2
3
3
5
5
7
1
1
n
< br>
2
n
1
2
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
S
< br>n
1
1
1
1
2
3
< br>2
3
5
2
5
7
1
1
n
2
n
2
2
n
1
< br>
n
.
n
2
2
n
<
/p>
1
2
n
1
2
n
1
★★☆练习
3
．已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
n
a
n
1
3
2
a
n
2
，
a
1
< br>
1
．
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
< br>
n
（
2
）若
b
n
(
1)
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
2019
项和．
【解答】解：
（
1
）根据题意，等差数列
{
a
n
}
满足
a
n
a
n
1
3
2
a
n
2
，
则有
(
a
n
2
a
n
)
(
a
n
1
<
/p>
a
n
)
3
d
3
，
解可得
d
1
，
又由
a
1
< br>1
，则
a
n
a
1
(
n
1)
d
n
；
n
,
n
为偶数
n
b
(
1)
a
（
2
）
n
，
n
n
,
n
为奇数
则
S
2018
(
1)
2
(
3)
4
(
2017)
2018
(
2019)
1010
．
知识点要点总结：
三、数列综合问题
【知识点】
1.
已知
S
n
，求
a
n
，则
a
n
n
1
S
1
适用情况：
S
n
S
n
1
n
2
（
1
）条件中直接运用
S
n
<
/p>
S
n
1
a
n
的通项公式，
求得
a
n
的通项公式
< br>
（
2
）递推关系式中
a
n
、
S
n
同时出现，利用
S
n
S
n
1
a
n
得到
a
n
的递推关系式
2.
利用递推关系求数列：
(1)
累加法，形如
a
n
1
a<
/p>
n
f
n
(2)
累乘法，形如
a
n
1
a
n
f
n
(3)
待定系数法，形如
a
n
1
pa
n
f
n
型