数列求通项公式的常见题型与解题方法
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数列求通项公式的常见题型与解题方法
数列是
高中数学的重要内容，
又是学习高等数学的基础．
高考对本章的
考查比较全面，
等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合
题，经常把数列
知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数
列、等比数列，
求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解
答题中出现．本
章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与
化归、分类讨论
等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．
数列这一章的主要章节结构为：
近几年来，
高考关于数列方面的命题
主要有以下三个方面：
（
1
）
数列本身的有关知识，
其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公
式及求和公式．
（
2
）数列与其它知识
的
结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．
（
3
）数列的应用问题，其
中主要是
以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大
都以基础
题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为
最后一题
难度较大．
题型
1
已知数列前几项求通项公式
在我们的教材中，有这样的题目：
1
．
数列<
/p>
0,
2,0,
2
L
的通项
a
n
．
1
1
1
1
,
,
,
L
的通项
a
n
．
1
2
2
3
3
4
4
5
1
3
< br>5
7
3
．数列
< br>1
2
,1
2
,1
2
,1
2
L
的通项
a
n
．
2
4
6
8
2
．数列
0
a
1
、
n
< br>
2
n
为奇数
< br>n
为偶数
n
（
< br>
1
）
2
、
a
n
1
n
1
2
n
1
3
、
a
n
1+
（
1
）
．
n
(
n
1)
< br>(2
n
)
2
练习
例
1.
写出下面数列的一个通项公式，使它的前
4
项分别是下列各
数：
2
2
1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
(
n
< br>
1)
2
1
(1)
,
,
,
;
a
n
2
3
4<
/p>
5
n
1
1
1
1
1
1
(2)
,
,
,
.
a
n
(
1)
n
1
2
2
3
3
4
4
5
n
(
n
1
)
例
< br>2.
观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：
n
(
1)
1,7,
13,19,
L
;
a
n
(
1)
(6
n
5)
7
(2)7,77,777,777
7,77
7
77,
L
< br>;
a
n
(10
n
1)
9
n
(3)5,0,
5,0,5,0,
5,0,
L
.
a
n
5sin
2
例
3:
写出下面数列的一个通项公式：
3
1
5
3
7
n
2
3
1
3
1
3
1
(
< br>1)
n
2
(2)
,
,
,
,
,
L
.
a
(1)
1,
,
,
,
,
,
L
;
a
n
n
5
2
11
7
17
3
n
2
2
< br>3
4
5
6
n
题型
2
由
a
n
与
S
n
的关系求通项公式
1
、已知数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和
S
n
1
2
(
n
n
)
，则
a
n
．
2
n
2
、已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
3
2
，则
a
n
3
、设数
列
{
a
n
}<
/p>
的前项的和
S
n
=
1
（
a<
/p>
n
-1
）
(
n
N
)
．
3
n
(
Ⅰ
)
< br>求
a
1
；
a
2
；
(
Ⅱ
)
求证数
列
{
a
n
}<
/p>
为等比数列．
4
、数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=3
·
2
-3
,
求数列的通项公式
.
2
5
、设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
=2n
+3n+
2
，求通项
a
n
的表达式，并指出此数列是否为等差
数列
.
< br>
6
、已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝
< br>2
，
且
na
n+1
=S
n
+n(n+1)
，求
a
n
．
7
、已知数列
{<
/p>
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
=2
a
n
+(-1)
n
,n
≥
1
．
（Ⅰ）写出求数列
{
a
n
}
的前
< br>3
项
a
1
,
a
2
,
a
3
；
（Ⅱ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数
m
>
4
，有
1
1
1
7
L
.
a
4
a
5
a
m
8
7
、解：⑴当
n
=1
时
,
有：
S
1
=
a
1
=2
a
1
+(-1)
a
1
=1
；当
n
=2
时
,
有：
S
2
=
a
1
+
a
2
=2
a
2
+(-1)
2
a
2
=0
；
当
n
< br>=3
时
,
有：
< br>S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
=2
a<
/p>
3
+(-1)
3
a
3
=2
；
综上可知
a
1
=1,
< br>a
2
=0,
a
< br>3
=2
；
n
n
1
n
1
⑵由已知得：
< br>a
n
S
n
S
n
1
2
a
n
(
1)
2
a
n
1
(
1)
化简得：
a
n
2
a
n
1
2(
1)
2
2
(
1)
n
2
[
a
n
1<
/p>
(
1)
n
1
]
3
3
2
2
n
1
故数列
{
a
n
< br>(
1)
}
是以
a
1
(
1)
为首项
,
公比为
2
的等比数列
.
3
3
2
1
n
1
1
n
1
2
2
n
2
n
n
n
故<
/p>
a
n
(
1)
2
∴
a
n
< br>g
2
(
1)
[2
(
1)
]
3
3
3<
/p>
3
3
2
n
2
n
数列
{
a
n
}
的通项公式为：
a
n
[2
(
1)
]
.
3
上式可化为：
a
n
⑶由已知得：
1
1
1
3
1
1
1
L
<
/p>
[
2
3
L
m
2
]
m
a
4
a
5
a
m
2
2
1
2<
/p>
1
2
(
1)
3
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
[
L
m
2
]
[1
L
]
2
3
9
15
33
63
2
< br>
(
1)
m
2
3
5
11
21
1
1
(1
m
5
)
1
1
1
1
1
1
4
2
2
1
1
4
2
[1
L
]
[
5
]
<
/p>
[
g
m
5
]
1
2
3
5
10
20
2
3
5
5
2
2
3
1
2
1
1
1<
/p>
7
13
1
1
m
5
13
104
105
7
<
/p>
(
m
>
4).
g
(
)
<
/p>
.
故
L
a
4
a
5
a
m
8
15
5
2
15
120
120
8
题型
3
已知数列递推公式求通项公式
(
公式法
)
1
、
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
的首项
a
1
<
/p>
1
，且
a
n
a
n
1
3(
n
2)
，则
a
n
．
2
、数列
{
a
n
}
中，
a
1
1,
a
n
1
a
n
2
，求
{
a
n
}
的通项公式
．
3
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
1
a
n
1
1
1
，求
a
n
．
a
n
4
、数列
{
a
n
}
中，
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
，求
{
a
n
}
的通项公式
．
a
n
2
< br>5
、已知数列
{
a
n
}
的首项
a
1
1
，且
a
n
3
a
n
1
(
n
2)
，
则
a
n
．
6
、
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
的
a
1
1
，
a
2
2
且
a
n
2
2
a
n
1
a
n
,<
/p>
则
a
n
．
（累加法与累积法）
1
、数列
{
a
n
}
中，
a
1
1,
a
n
< br>
1
a
n
n
，求
{
a
n
}
的通
项公式
．
n
1
2
、
数列
{
a
n
}
中，
a
1
<
/p>
1,
a
n
1
a
n
3
，求
{
a
n
}
的通项公式
．
3
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
4
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
< br>
2
3
n
1
，
a
1
3
，求数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式。
5
、已知数列
{
a
n
< br>}
的首项
a
1
< br>
1
，且
a
n
n
1
a
n
1<
/p>
(
n
2)
，则
a
n
．
n
6
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
(
n
< br>
1
)
5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n<
/p>
}
的通项公式。