全国卷文科数列 复习
-
数列（文）
复习
【知识梳理】
一、数列的通项公式
如果数列
{
a
n
}
的第
n
项与
n
之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数
列的通项公式。
（
对于不是等差数列又不是等比数列
的数列的通项公式只能找第
n
项与
n<
/p>
的规
律）
1<
/p>
1
1
1
1
，
，
，
，
…
例如：①：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…
②：
2
3
4
5
< br>数列①的通项公式是
a
n
= <
/p>
n
（
n
N
）
，数列②的通
项公式是
a
n
=
说明：
①
a
n
表示数
列，
a
n
表示数列中的第
n
项，
a
n
=
f
n
< br>
表示数列的通项公式；
1<
/p>
（
n
N
）
。
n
1,
n
2
k
< br>
1
②
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，
a
n
=
(
1)
n
=
(
k
Z
< br>)
；
1,
n
2
k
③不是每个数列都有通项公式。
例如，
1
，
1.4
，
1.41
，
1.414
，……
(
n
1)
S
1
二、数列
{
}
的前
n
项和
与通项
的关系：
a
n<
/p>
S
S
(
n
≥
2)
n
n
1
a
< br>n
S
n
a
n
三、等差数列
1
、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数
，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。
用递推公式表示为
a
< br>n
1
a
n
d
(
n
1)
或<
/p>
a
n
a
n
1
d
(
n
2)
。
< br>2
、等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
1)
d
；
说明：
1
、等差数列的单调性：
d
< br>
0
为递增数列，
d
0
为常数列，
d
0
为递减数列。
2
、
(
a
n
An
B
(
A
,
B
为常数
)
a
n
是等差数列
)
例：
1.
等差数列
a
n
2
n
1
,
b
n
< br>
2
n
1
，则
a
n
为
b
n
为
（填“递
增数列”或“递减数列”
）<
/p>
2.
等差数列
a
n
2
n
1
，
a
n
a
n
1
3.
{
a
n
}
是首项
a
1
1
，公差
d
3
的等差数列，如果
a
n
2005
，则序号
n
等于
（
A
）
667
（
B
）
668
（
C
）
669
（
D
）
670
3
、等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其中
A
a
，
A
< br>，
b
成等差数列
A
a
< br>b
即：
2
< br>a
n
1
a
n
a
n
2
2
a
b
2
（
2<
/p>
a
n
a
n
m
a
n
m
）
，
则
a
11
a
12
a
13
例：
1
．设
a
n
是公差为正数的等差数列，若
a
1
a
2
a
3
15
，
a
1
a
2
a
3
80
A
．
120
B
．
105
C
．
90
D
．
75
2
.
设数列
{
a
n
}
是单调递增的等差数列，前三项的和为
12
，前三项的积为
48
，则它的
首项
是（
）
A
．
1 B.2
C.4 D.8
4
、等差数列的性质：
（
1
）在等差数列
a
n
中，对任意<
/p>
m
，
n
N
，
a
n
a
m
(
n
m
)
d
，
d
a
n
<
/p>
a
m
(
m
n
)
；
n
m
（
2
）在等差数列
a
n
中，若
m
，
n
，
p
，
q
< br>N
且
m
n
p
q
，则
a
m<
/p>
a
n
a
p
a
q
；
在等差数列
a
n<
/p>
中，若
m
，<
/p>
p
，
q
N
且
2
m
p
q
，则
2
a
< br>m
a
p
a
q
；
，则
a
12
等
于（
）
例：已知等差数列
a
n
中，
a
7
a
9
16
，
a
4
< br>
1
A
．
15 B
．
30
C
．
31
D
．
64
5
、等差数列的前
n
< br>和的求和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
< br>1
d
n
(
n
1)
（
a
1
）
n<
/p>
。
na
1
d
n
2
2
2
2
2
(
S
n
An
2
Bn
<
/p>
(
A
,
B
为常数
)
a
n
是等差数列<
/p>
)
等差数列常考题型
1
、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
a
n
<
/p>
1
a
n
d
(
常数）（
n
N
）
a
n
是等差数列
②中项法：
2
a
n
1
a
n
a
n
2
【③通项公式法】
：<
/p>
a
n
kn
b
（
n
N
)
a
n
< br>
是等差数列
(
k
,
b
为常数
)
a
< br>n
是等差数列
【④前
n
项和公式法】
：<
/p>
S
n
An
2
Bn
(
A
,
B
为常数
)
a
n
是等差数列
1.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
a
n
1
2
，则数列
{
a
n<
/p>
}
为
（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2.
已知数列
{
a
n
}
的通项为
< br>a
n
2
n
5
，则数列
{
a
n
}
为
（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
3.
已知一个数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和
s
n
2
n
2
4
，则数列
{
a
n
}
为（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
4.
已知一个数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和
s
n
2
n
2
，则数列
{
a
n
}
为（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
5.
已知一个数列
{
a
n
}
满足
< br>a
n
2
2
a
n
1
a
n
0
，则数列
{<
/p>
a
n
}
为（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2
、等差数列的最值
（
1
）如何判断最值：
a
1
0
，
d
0
时，
S
n
有最大值；
a
1
0
，
d
0
时，
S
n
有最小值；
（
2
）
S
n
最值的求法：
①若已知
S
n
，
S
n
的最值可求二次函数
S
n
< br>
an
2
bn
的最值；可用二次函
数最值的求法（
< br>n
N
）
；
②或者求出
< br>
a
n
中的正、负分界项，即：若已知
a
n
，则
S
n
最值时
n
的值（
n
N
）可如下确
< br>a
0
a
0
定
n
或
n
。
a
n
1
0
a
n
< br>
1
0
1
．
等差数列
a
n
中，
a
1
0
，
S
9
S
12
，则前
项的和最大。
2
．
设等差数列
a
n
的前
n
项和
为
S
n
，已知
a
3
12<
/p>
，
S
12
0
，
S
13
0
①求出公差
d
的范围；
②指出
S
1
，
S
2
，
，
S
12
中哪一个
值最大，并说明理由。
3
．设｛
a
n
｝
（
n
∈
N
*
）是等差数列，
S
n
是其前
n
项的和，且
< br>S
5
＜
S
6
，
S
6
＝
S
7
＞
S
8
，则下列结论错
．
误
的是（
）
．
A.<
/p>
d
＜
0
B.
a
7
＝
0 C.
S
9
＞
S
5
D.
S
6<
/p>
与
S
7
均为
S
n
的最大值
<
/p>
(
n
1)
S
1
3
、利用
a
n
求通项．
S
S
(
n
2)
n
1
n
1.
数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和
< br>S
n
n
2
1
．写出数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
2
．已知
数列
a
n
的前
n
项和
S
n
n
2
4
n
1
则
a
n
，
3.
设数列
{
a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
=2n
2
，求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式；
4.
已知数列
a
n
中
，
a
1
3<
/p>
，
前
n
和
S
n
1
(
n
1
)(
a
n
< br>1
)
1
2
①求证：数列
a
n
是等差数列；
②求数列
a
n
的通项公式
四、等比数列
1
、等比数列定义
< br>一般地，如果一个数列从第二项起
，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
，那么这
．．．．
．．
个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
(
q
0)
；
即：
a
n
1
：
a
n
q
(
q
0)
。
2
、等比数列的递推关系与通项公式
递推关系：
a
n
1
a
n
q
通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
推广：
a
n
a
m
q
n
m
例
1.
在等比数列
a
n
< br>中
,
a
1
4
,
q
2
，则
a
n<
/p>
2.
在等比数列
< br>a
n
中
,
a
7
1
2,
q
3
2
,
则
a
19<
/p>
_____.
3.
在各项都为正数的等比数列
{
a
n
}
中，
首项
a
1
3
，
前三项和为
21
，
则
a
3
a
4
a
5
（
）
A 33 B 72 C 84 D 189
4.
在等比数列
a
n
中，
a
2
2
，
a
5
54
，则
a
8
=
3
、等比中项：
若三个数
a
,
b
< br>,
c
成等比数列，则称
b
为
a
与
c
的等比中项，且为
b
ac
。
例
1.
2
3
和
2
<
/p>
3
的等比中项为
( )
(
A
)1
(
B
)
1
(
C
)
1
(
D
)2
2.
设<
/p>
a
n
是公差不为
0
的等差数列，
< br>a
1
2
且
a
1
,
a
3
,
a
6
成等比数列，
则
a
n
的前
n
项和
S
n
=<
/p>
（
）
n
2
7
n
A
．
<
/p>
4
4
n
2
5
n
n
2
3
n
B
．
C
．
<
/p>
3
3
2
4
D
．
n
2
n
4
、等比数列的基本性质，
（
1
）<
/p>
若
m
n
p
q
，则
a
m
a
n
a
< br>p
a
q
(
其中
m
,
n
,
p
,
q<
/p>
N
)
若
2
m
p
q
，则
a
2<
/p>
m
a
p
a
q
(
其中
m
,
p
,
q
< br>N
)
（
2
）
q
n
m
a
n
a
，
a
2
n
a
n
m
a
< br>n
m
(
n
N
)
m
（
3
）
a
n
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列
< br>.
（
4
）
a
n
既是等差数列又是等比数列
a
n
是各项不为零的常数列
.
例
1
．在等比数列<
/p>
a
n
中
,
a
1
和
a
10
是方程
2
x
2
5
x
1
< br>
0
的两个根
,
则
a
4
a
7
( )
(
A
)
5
2
1
1
< br>2
(
B<
/p>
)
2
(
C
)
2
(
D<
/p>
)
2
2.
在
等比数列
a
n
，已知
a
1
5
，
a
9
a
10
10
0
，则
a
18
=
3.
在等比数列
a
n
中，
a
1
a
6
33
，
a<
/p>
3
a
4
32
，
a
n
a
n
1
①求
a
n
；
②若
T
n
lg
a
1
lg
a
2
lg
a
< br>n
,
求
T
n
4.
等比数列
{
a
n
}
的
各项为正数，
且
a
5
< br>a
6
a
4
a
7
1
8,
则
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
（
A
．
12
B
．
10
C
．
8 D
．
2+
log
3
5
）
2
n
{
a
}
a
0,
n
1,
2,
a
a
2
(
n
3)
< br>，
则
当
n
1
时
，
n
n
5
2
n
5
5.
已
知
等
比
数
列
满
足
，
且
log
2
a
1
log
2
a
3
log
2
a
n
2
1
（
）
A.
n
(2
n
1)
B.
(
n
1)
C.
n
D.
(
n
1)
2
2
2
5
、等比
数列的前
n
项和
(
q
1
)
na
1
S
n
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
< br>n
q
1
q
1
q
(
q
1
)
例
1.
已知等比数列
{
a
n
}
< br>的首相
a
1
< br>5
，公比
q
< br>2
，则其前
n
项和
S
n
2.<
/p>
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，已
a
2
6
,<
/p>
6
a
1
a
3
30
，求
a
n
和
S
n
3.<
/p>
设
f
(
n
)
2
2
4
2
7
2
10
< br>
2
3
n
10
(
n
N
)<
/p>
，则
f
(
n
)
等于（
）
2
A
．
(8
n
1)
7
2
2
2
B
．
(8
n
1
1)
C<
/p>
．
(8
n
3
1)
D
．
(8
n
4
1
)
7
7
7
6
、
等比数
列的前
n
项和的性质
若数列
a
n
是等比数列，
S
n
是其前
n
项的和，
k<
/p>
N
*
，
那么
S
k
，
S
2
k
S
k
，
S
< br>3
k
S
2
k
成等比数列
.
例
1.
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
< br>S
6
S
3
，则
9
S
3
S
6
7
8
A. 2 B.
3
C.
3
D.3
2.
一个等比数列前
n
项的和为
48
，前
2
n
项的和为
60
，则前
3
n
项的和
为（
）
A
．
83
B
．
108
C
．
75
D
．
63
7
、等比数列的判定法
（
1
）定义法：
a
n
1
q
（常数）
a
n
为等比数列；
a
n
2
（
2
）中项法：
a
n
1
a
n
a
n
2
(
< br>a
n
0
)
a
n
为等比数列；
< br>（
3
）通项公式法：
a
n
k
q
n
(
k
< br>,
q
为常数）
a
n
为等比数列；
（
4
）前
n
项和法：
S
n
k
(
1
q
n
)
（
k
,
q
为常数）
< br>a
n
为等比数列。
例
1.
已知数列
{
a
n
}
的通项为
a
n
<
/p>
2
n
，则数列
{
a
n
}
为
（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2.
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
a
n
a
n
2
3.
已知一个数列<
/p>
{
a
n
}
的前
n
项和
s
n
2
2
n
1
，则数列
{
a
n
}
为（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
8
、求等比数列的通项公式
2
(
a
n
0
)
，则数列
{
a
n
}
为
（
）
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
(
n
1)
S
1
利用
a
n
求通项．
S
S
(
n
2)
n<
/p>
1
n
1
例
1.
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，且
a
1
=1
，
a
n
1
S
n
，
n
=1
，
2
，
3
< br>，……，求
a
2
，
a
3
，
a
< br>4
的
3
值及数列
{
a
n
}
的通项公式．