数列求和的十二种方法及递推数列求通项
-
十二类递推数列求通项公式
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公
式的变换，转化为等差数
列或等比数列问题，有时也用到一
些特殊的转化方法与特殊数列。
类型
1
递推公式为
a
n
1
常数，
pq
p
< br>
1
q
1
0
）
。
解法
：该类型较类型
3
要复杂一些。一般地，要先在原
递推公式两边同除以
q
n
1
，得：
a
n
f
(
n
)
a
n
f
(
n
)
< br>，利用
a
n
< br>1
a
p
1
·
n
引
入
辅
助
数
列
n
1
n
q
q
q
q
a
p
1
< br>b
n
n
，得：
b
n
1
b
n
n
）
q
q
q
再应用类型
3
的方法解决。
例
4
．
已
知
数
n
1
<
/p>
b
n
（
其
中
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
< br>累加法求解。
例
1
．
已
知
数
列
列
a
n
a
n
中
，
满<
/p>
足
1
1
a
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
5
1
1
a
1
，
a
n
1
a
< br>n
2
6
3
，求
a<
/p>
n
。
类型
2<
/p>
递推公式为
a
n
1
f
(<
/p>
n
)
a
n
a
n
1
f
(
n
)
，
利用累乘法
解法：
把原递推公式转化为
a
n
求解。
例
2
．已知数列
类型
5<
/p>
递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa<
/p>
n
（其中
p
，<
/p>
q
均
为常数）
，
即二阶递推数列。
解
法
：
先
把
原
< br>递
推
公
式
转
化
为
a
n
2
n
a
n
，求
a
n
满足
a
1
，
a
n
1
< br>3
n
1
a
n
2
sa
n
1<
/p>
t
a
n
1
sa
n
s
t
< br>
p
其中
s
，
t
满足
，再应用前面类型的方法求解。
st
q
例
5
．
已
知
数
列
a
n
中
，
a
1
1
< br>，
a
2
2
，
a
n
2
类型<
/p>
3
递推公式为
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常
数，
2
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
pq
p
1
< br>
0
）
。
解法：把原递推公式转化为：
a
n
1
其中
t<
/p>
t
p
a
n
t
类型
6
：递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
q
，再利用换元法转化为等比数列求解。
1<
/p>
p
例
3
．已知数列
求
a
n<
/p>
。
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
< br>
1
2
a
n
3
，
S
1
，
(
n
1
)
a
解法：利用
n
进行求解。
S
S
，
(
n
2
)
n
1
n
1
例
< br>6
．已知数列
a
n
前
n
< br>项和
S
n
4
a
n
n
2
。<
/p>
2
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
（
2
）求通项公式
a
n
。
类型
4
递推公式为
a
n
<
/p>
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为
1
例
7
．
已知数列
a
n<
/p>
中，
a
1
1
，
a
n
1
a
1
3a
2
5a
3
(2n
1)
a
n
，求
a
n
求
解法：
使用待定系数法
设
a
n
< br>Cn
D
2[
a
n
1
C
(
n
1)
D<
/p>
]
(
C
,
D
是常数
)
解法：两边取对数
例
11
．已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n
a
2
n
1
(
n
2
)<
/p>
，
a
n
。
类型
7
:
a
n
pa
n
1
qn
,(
p
,
q
为常数
)
a
n
2
a
n
1
Cn
2
C
D
例
8
．
已知数列
<
/p>
a
n
中，
a
1
类型
8
：<
/p>
p
1
a
n
1
例
12
．
已知
a
1,
a
10,
a
n
1
2
a
n
< br>
1
a
n
1
求
a
n
(
n
3,
4,5
)<
/p>
，
a
n
2
1
，
a
n
2
a
n
1
3
n
,
求
a
n
.
类型<
/p>
10
：奇偶项数列
p
2
a
n
1
a
n
<
/p>
p
3
a
n
0
，
（
p
1
，
p
2
，
解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列
例
13
、<
/p>
（
1
）
在数列<
/p>
a
n
中，
a
1
p
3
均为常数）
1
a
a
解法：两边同除以
n
n
1
，构造数列
a
n
例
9
．各
项均不为零的数列
任
意
1
，
a
n
< br>
1
6
n
a
n
，
求
a
n
1
，
a
n
a
n
1
3
n
< br>，求
a
n
（
2
）
、在数列
< br>
a
n
中，
a
1
类型
11
：双数列型
a
n
，首项
a
1
=1
，且对于
< br>（
或
n
N
均
有
6
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
< br>0
p
1
a
n
a
n
1
）
，求
a<
/p>
n
p
2
a
n
p
3
例
10
．合肥市
2013
二模
20T
各项均不为零的数列
a
n
，首相
a
1
1
，且对于任意
2
a
n
0,
b
n
1
a
n
解法：根据所给两
个数列递推公式的关系，灵活采用累
加、累乘、化归等方法求解。
例
14
．已知数列
n
N
均有
6
a
n
1
a
n
1
a
n
（
1
）求数列
<
/p>
b
n
的通项公
式；
b
n
的前
n
项和
为
T
n
，
证明
：
a
n
<
/p>
中，
a
1
1
；数列
b
n
中，
时
，
（
2
）
此处不要求做。
[
若数列
b
1
0
b<
/p>
n
2
。
当
n<
/p>
2
a
n
1
2
a
n
1
3
，
b
，
n
1
8
0
n
1<
/p>
n
1
当
n
2
时，
(
n
1)
T
n
(
n
1)
C
< br>n
1
2
C
n
1
2
3
k
n
k
n
n
(
n
1
< br>
k
)
C
n
C
n
1
2
1
2
]
1
a
n
1
2b
n
1
求
a
n
，
b
n
。
<
/p>
3
类型
9
：指数
型数列
a
n
1
a
n
r
Aa
n
B
类型
12
：
a
n
2
的数列
Ca
n
D
Aa
n
B
*
对于数列
a
n
2
，
a
1
m
,
n
N
(
A
,
B
,
C
,
D
是
Ca
n
D
数列求
和的八种方法
数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学
竞赛中
都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等
差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一
定的技巧。在数列求和过程
中，根据数列的特点，采用适当
的方法，定能较快、准确的求解
类型
1
：利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要
的方法。
等差数列求和公式：
S
n
常数且
C
0,
AD
BC
0
）
Ax
B
其
特
征
方
程
为
x
，
变
形
为
Cx
D
C
2
x
(
D
)
A
x
B
0<
/p>
„②
若②有二异根
,
< br>a
n
1
a
c
n
，则可令
a
n
<
/p>
1
a
n
（其中
c
是待定常数）
，代入
a
1
,
a
2
的值可求得
c
值。
这样数列
a
n
a
1
是首项为
，公比为
c
的等
a
a
< br>
1
n
比数列，于是这样可求得
a
n
1
1
c
若②有二
重根
，
则可令
a
n
1
a
n<
/p>
（其中
c<
/p>
是待定常数）
，代入
a
< br>1
,
a
2
的值可求得
c
值。
1
1
这样数列
，公差为<
/p>
c
的等
是首项
为
a
a<
/p>
n
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
na
1
d
2
2
a
1
(1
q<
/p>
)
a
1
a
n
q
1
q
1
q
等比数列求和公
式：当
q≠1
时，
S
< br>=
当
q=1
时，
S
=
na
常
用
求
和
公
式
：
S
=
1
+
2
+„+
n
=
n
(
n
1)
，
2
差
数列，于是这样可求得
a
n
a
n
1
2
(
n
< br>
2)
，
例
15
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
2,
a
< br>n
2
a
n
1
1
求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
1
S
n
1
2
2
2
n
< br>2
n
(
n
1)(2
n
1)
6
1
S
=
1
2
n
n
(
n
1)
2
3
3
3
2
例
1
、已知
log
x =
-1
，求
x +
x
+„x
的值。
log
2
3
例
16
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
2,
a<
/p>
n
1
求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
大值。
2
a
n
1
(
n
N
*
)
，
4
a
n
6
例
2
、设
S<
/p>
=1+2+3+„+n，n∈N
，求
f<
/p>
(
n
)
S
n
的最
(
n
32)
S
n
1
3
类型
2<
/p>
：错位相减法求和
这种方法主要用于数
列
｛
a
·b
｝
的前
n
项和，
其中
{a
},{b
}
< br>分别是等差数列和等比数列，且
{b
}
< br>的公比不为
1
。
例
3
、求和：
1
3
a
5
a
2
7
a
3
(2
n
1)
a
n
<
/p>
1
(
a
0)
类型
3
：倒序相加法求和
倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与
原数列相加，就可以得到
n
个（
a
1
类型
6
：并项求和
<
/p>
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种
特殊的性质
。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求
a
n
）
例
4
、函数
f(x)
对任意
x
∈
R
都有
f(x)+f(1-x)=
（
1
）
f(
1
.
2
2
n
和，然后再求
S
n
。
例
7
、在各项均为正数的等比数列
{
a
n
}
中，若
a
5
a
6
=9,
求
log
3
1
1
n
1
)
和
f(
)
+f(
) (n
∈
N)
的值；
n
2
n
1
=
f(0)+f(<
/p>
)+f(
n
（
2
）
数
列
{
a
n
}
满
足
：
a
n
)
„
a
1
< br>
log
3
a
< br>2
log
3
a
10
的值。
n
1
+f(
)+f(1)
，求
a
n
n
类型
4
：分项求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将
这类数列
适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊
数列，然后分别求和，再将其合并。<
/p>
例
5
、求数列
{n
（
n+1
）
(2n+1)}
的前
n
项和
S
。
类型
5
：裂项求和
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重
新组合，
使之消去一些项，最终达到求和的目的。
1
< br>1
1
例
6
、
求数列，
,
，
„，
„
n
n
1
2
3
1
2
的前
n
项和
4
类型
7
：利用数列的通项求和
利用数列的通项揭示的规律来求数列的前
n
项和，
是一
个重要的方法。
之和
例
8
、求
< br>1+11+111+„+
n
111
1
类型
8<
/p>
：与绝对值相关的求和
此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。
例
9
、
数
列
{
a
n
a
n
}
中
,
(n∈
a
1
< br>=8,
a
4
)
=2
且
满
足
< br>，
设
a
n
2
2
a
n
1
N
*
|
S
n
a
1
a
2
< br>
a
n
，求
S
n
。
答案：十二类递推数列求通项公式
对
于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公
式的变换，转化为等差数列或等比数
列问题，有时也用到一
些特殊的转化方法与特殊数列。
类型
1
递推公式为
a
n
1
类型<
/p>
3
递推公式为
a
n
1
数，
pa
n
q<
/p>
（其中
p
，
q<
/p>
均为常
t
<
/p>
p
a
n
t
pq
p
1
0
< br>）
。
解法：把原递推公式转化
为：
a
n
1
其中
t
q<
/p>
，再利用换元法转化为等比数列求解。
1
p
例
3.
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
。
a
n
f
(
n
)
a<
/p>
n
f
(
n
)
，利用
解：设递
推公式
a
n
1
可以转化为
a
n
1
即
a
n
1
满
足<
/p>
2
a
n
3
解法：把原递
推公式转化为
a
n
< br>1
累加法求解。
例
1.
已
知
数
列
t
< br>2
a
n
t
a
n
2
a
n
t
，所以
t
3
3
2
< br>a
n
3
b
n
1
a
n
1
3
2
b
n
a
n
< br>3
1
1
，求
a
n
。
a
1
，
a<
/p>
n
1
a
n
2
2
n
n
解
：
由
条
件
知
：
故递推公式为
a
n
1
< br>令
b
n
a
n
3
，
则
a
n
<
/p>
1
a
n
1
1
1
1
n
2
n
n
n
1
n
n<
/p>
1
b
1
a
1
3
4
，且
所以
则
b
n
b
n
是以
b
1
4
为首项，
2
为公比的等比数列，<
/p>
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为
分别令<
/p>
n
得
1
，
2
，
3
，„„，
n
1
，代入上式
4
2
n
1
2
n
1
，所以
a
n
2
< br>n
1
3
n
1
个等式累加之，即
a
2
a
1
a
3
<
/p>
a
2
a
4
a
3
„„
a
< br>n
a
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
„„
<
/p>
2
2
3
3
4
n
1
n
类型
4
递推公式为
a
< br>n
1
常数，
< br>pq
p
1
q
1
0
）
。
1
1
所以
a
n
a
1
1
又因为
a
1
n
2
1
1
3
1
所以
a
n
1
2
n
2
n
类型
2
递推公式
为
a
n
1<
/p>
解法：该类型较类型
3
要复杂一些。一般
地，要先在原
递推公式两边同除以
q
n
1
，得：
a
n
1
a
n
1
p
·
q
n
1
< br>q
q
n
q
引入辅助数列
f
(
n
)
a
n
a
n
1
f
(
n<
/p>
)
，
解法：
把原
递推公式转化为
利用累乘法求解。
a
n
例
2.
已<
/p>
知
数
列
b
n
（其中
b
n
a
n
）
，得：
q
n
b
n
1
p
1
b
n
q
q
n
1
a
n
满
足
再应用类型
3
的方法解决。
2
n
a
1
<
/p>
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
n
< br>1
a
n
1
n
解
：
由
条
件
知
a
n
n
1
5
1
1
例
4.
已知数列
a
n
中，
a
1
，
a
n
1
a
n
<
/p>
2
6
3
n
1
，
求
a
n
。
，
分
别
令
n
1
，
2
，
3
，„
„，
n
1
，
代入上式得
n
1
个
等式累乘之，即
< br>1
1
解：在
a
n
1
a
n
两边乘以
2
n
1
得：
2
3
2
2
n
1
·
a
n
1
< br>2
n
·
a
n
1
3
a
n
a
2
a
3
a
4
1
2
3
n
1
< br>
……
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
n
a
n
1
< br>2
，
又因为
a
1
，所以
a
n
2
。
所以
a
1
n
3
n
3
5
令<
/p>
b
n
2
n
·
a
n
，则
b
n
1
2
b
< br>n
1
3
n
2
应用例
3
解法得：
b
n
3
2
<
/p>
3
b
1
1
所以
a
n
n
< br>3
2
2
3
2
n
n
n