高三第一轮复习等比数列教案
-
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高三第一轮复习
《数列》
5.3
等比数列
一、考点分布
1.
等比数列的概念（
B
）
2.
等比数列的通项公式与前
n
项和的公式（
C
）
二、考试要求
1.
理解等比数列的概念；
2.
掌握等比数列的通项公式与前
n
项和的公式<
/p>
3.
能在具体问题情境中识别数列的
等比关系，并能有关知识解决问题；
4.
了解等比数列与指数函数的关系
.
三、重点与难点
1.
熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；
2.
判断或证明数列的等比关系是复习的难点
.
四、复习过程
1.
知识梳理
等差数列
等比数列
定义
a<
/p>
n
1
q
或
a
n
1
2
a
n
a
n
2
a
n
注意；
a
n
0,
q
0
.
通项公式
前
n
项和公式
a
n
a
1
q
n
1
a
m
q
n
< br>
m
（离散型指数函数）
na
1
,
q
1,
S
n
a
1
(1
q
n
)
注意
< br>q
含字母讨论
,
q
1.
1
q
若
m
n
s
t
(<
/p>
m
,
n
,
s
,
t
N
)
,
则
a
m
a
< br>n
a
s
a
t
.
*
简单性质
2.
基础练习
（
1
）在
等比数列
{
a
n
}
中，已知
< br>a
3
1,
S
3
3
，则
a
6
_
_________.
4
提示：
-8
方法一
：基本量法列出
a
1
,
d
方程组；方法二：求和公式
（
2
）在
等比数列
< br>{
a
n
}
中，已知
S
1
，
2
S
2
，
3
S
3
成等差数列，则公比
q
=_________.
提示：
由题意，得
4(
a
1
a
1
q
)
a
1
3(
a
1
< br>
a
1
q
a
1
q
2
)
，故
q
(3
q
1)
<
/p>
0
.
又
q
0
,
所以
q
1
.
3
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说明：等比数列通项公式与
和
S
n
之间的联系，注意
a
n
0,
q
0.
< br>（
3
）
已知数列
{
a
n
}
是等比数列
,
且
a
n
>0
,
n
< br>
N
*
,
a
3
a
5
2
a
4
a
6
a
5
a
7
81
，则
a
4
a
6
< br>
9
．
（
4
）
设
f
(
n
)
2
2
4
< br>2
7
2
10
（
A
）
2
3
n<
/p>
10
(
n
N
)
，则
f
(
n
)
等于
2
n
2
2
2
(8
1)
（
B
）
(8
n
1
1)
（
C
）
(8
n
3
1)
（
D
）
(8
n
4
1)
7
7
< br>7
7
3.
典型例题
例
1.
（
1
）
若等比数列
{
a
n
}
的公比
q
＜
0
，前
n
项和为
S
n
，则
S
2
a
3
与
S
3
a
2
的大小关系是
(A)
S
2
a
3
＞
S
3<
/p>
a
2
(B)
S
2
a
3
＜
S
3<
/p>
a
2
(C)
S
2
a
3
=
S
3
a
2
(D)
不确定
（
2
）
已知数列满足
a
1
=1
，
a
n
＋
1
=2
a
n<
/p>
＋
3(
n
∈
N
*)
，
则
{
a
n
}
的通项公式为
_______
．
< br>
例
2.
若数列
{
a
n
}
{
b
n
}
满足
:
a
1
1,
a
2<
/p>
a
(
a
为常数
),
且
b
n
a
n
a
n
1
(
n
< br>1,2,3,
).
（Ⅰ）若
{
a
n<
/p>
}
是等比数列，试求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
< br>的公式；
（Ⅱ）当
{
b
n
}
是等比数列时，
甲同学说：
{
a
n
}
一定是等比数列；乙同学说：
{
a
n
}
一定不是等比数列．你认为他们
的说法是否正确？为什么？
解：
（<
/p>
1
）因为
{
a<
/p>
n
}
是等比数列
a
1
=1,
a
2
=
a
.
∴<
/p>
a
≠0
，
a
n
=
a
n
－
1
.
又
b
n
a
n
a
n
1
，
b
n
1
a<
/p>
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
1
则
b
1
a
1
a
2<
/p>
a
,
n
1
a
2
,
b
n
a
< br>n
a
n
1
a
n
a
即
{
b
n
}
是以
a
为首项<
/p>
,
a
2
为公比
的等比数列
.
na
S
n
a
(1
a
2
n
)
1
a
2
(|
a
|
1),
(|
a
|
1).
（
II
）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：
设
{b
n<
/p>
}
的公比为
q
，
则
b
n
1<
/p>
a
n
1
a
n
2
a
n
2
q
且
a
0
b
n
a
n
a
n
1
a
n
又
a
1
=1,
a
2
=
a
,
a
1
,
a
3
,
a<
/p>
5
,…
，
a
2
n
－
1
，
…
是以
1
为首项，
q
为公比的等比数列；
< br>
而
a
2
,
a
4
,
a
6
, …,
a
2
n
, …
是以
a
为首项，
q
为公比的等比数列，
即
{
a
n
}
为：
1
，
a
, q,
a
q ,
q
2
,
a
q
2
,
….
当
q=
a
2
时，
{
a
n
}
是等比数列；当
q≠
a
2
时，
{
a
n
}
不是等比数列
.
1
例
3.
<
/p>
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为<
/p>
S
n
，且
a
1
=1
，
a
n
1
S
n
，
n
=1
，
2
，
< br>3
，……，
3
求
（
I
）
a
2
，
a
3
，
a
4
的值及数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
II
）
a
1
a
3
a
5
a
< br>2
n
1
的值
.
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解：
（Ⅰ）由
a
1
1
,
a
n
1
1<
/p>
1
1
1
S
n
,
n
1
,
2
,
3
,
,
得
a
2
S
1
a
1<
/p>
.
3
3
3
3
1
1
4
a
3
S
2
(
a
1
a
2
)
,<
/p>
3
3
9
1
1
16
a
4
S
3
(
a
1
< br>a
2
a
3
)
.
3
3
27
1
1<
/p>
由
a
n
1
a
n
(
S
n
S
n
1
)
a
n
(
n
2)
,
3
3
4
<
/p>
得
a
n
1
a
n
,(
n
2),
3
1
1
4
又
a
2
< br>,
所以
a
n
(
)
n
2
(
n
<
/p>
2).
3
3
3<
/p>
n
1,
1,
所以
,
数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
1
4
n
2
(
)
,
n
2.
3
3
4
9
4
2
）
的等比数列，
3
（Ⅱ）由（
I
）可知
a
3
，
a
3
，
…
，
a
2
n
-1
，是首项为
,
公比为（
所以
a
1
a
3
a
5
16
1
(
)
n
1
4
3
4
16
9
a
2
n
1
1
(
)
n
1<
/p>
.
9
1
(
4
)
2
7
7
9
3
n
为
偶
数
n
为
奇
数
1
a
1<
/p>
2
n
例
4.
（备选）设数列
{
a
n
}
的首项
a
1
=
a
≠
，且
a
n
1
4
a
1
n
4
,
1
，
n
＝＝
l
< br>，
2
，
3
，…
·
．
4
（
I
）求
a
2
，
a
3
；
（
II
）判断数列
{
b
n<
/p>
}
是否为等比数列，并证明你的结论；
记
b
n
a
2
n
1
4.
规律总结：
< br>①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”
，特
别注意
a
n
0,
q
0.
②判断或证明等比数列的两种思路：
利用定义，证明
a
n
1
q
为常数
;
a
n
利用等比中项，证明
a
n
1
2
a
n
a
n
2
对
n
N
< br>*
成立
.
③方程思想：在
a
1
,
a
n
,
q
,
S
n
,
n
五个两种，运用待定系数法“知三求二”
；