等差、等比数列知识点总结材料
-
1
一、任意数列的通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系：
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2
)
二、等差数列
1
、等差数列及等差中项定义
S
(
n
1
)
a
n
a
n
1
d
、
a
n
a<
/p>
n
1
a
n
1
。
2
2
、等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(<
/p>
n
1
)
d
、
a
n
a
k
(
n
k
)
d
当
d
0
时，
a
n
是关于<
/p>
n
的一次式；当
d
0
时，
a
n
是一个常数。
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
S
n
na
1
d
2
2
4
、等差数列
{
a
n
}
中，若
m
n
p
q
，则
a
< br>m
a
n
a
p
a
q
3
、等差
数列的前
n
项和公式：
S
n
S
2
< br>m
S
m
、
S
3
m
S
2
m
、
5
、
等差数列
{<
/p>
a
n
}
的公差为
d
，
则任意连续
m
项的和构成的数列
S
m
、
……
仍为等差数列。
6
、
S
n
An
2
Bn
，
d
2
A
，
a
1
A
< br>B
7
、在等差数列
{
a
n
}
中
,
有关
S
< br>n
的最值问题
利用
S
n
（
d
0
时，
S
< br>n
是关于
n
的二次函数）进行配
方（注意
n
应取正整数）
三、等比数列
1
、等比数列及等比中项定义：
a
n
q
、
a
n
2
a
n
< br>1
a
n
1
a
n
1
2
、等比数列的通项公式：
a
n
a
1
q
n
< br>
1
a
n
a
k
q
n
k
3
、等比数列的前
< br>n
项和公式：当
q
1
时，
S
n
na
1
a
a
q
a
1
(
1
q
n
)
当
q
< br>
1
时，
S
n
S
n
1
n<
/p>
1
q
1
q
4
、等比数列
{
a
n
}
中，若
m
n
p
q
，则
a
m
a
n
< br>a
p
a
q
5
、等比数列
< br>{
a
n
}
的公比为
q
，且
S
< br>n
0
,
则任意连续
m
项的和构成的数列
S<
/p>
m
、
S
2
m
S
m
、
S
3
m
S
2
m
、……仍为等比数列
6
、
S
n
Aq
n
B
，则
A
B
0
四、求数列
{
a
n
}
的最大的方法：<
/p>
a
n
a
n
1
a
n
a
n
-
1
< br>五、求数列
{
a
n
}
的最小项的方法：
a<
/p>
n
a
n
1
a
n
a
n
-
1
例：已知数列
{
a
n
}
的通项公式为：
a
n
2
n
2
29
n
3
，求数列
{
a
n
}
的最大项。
9
n
(
n
1
)
例：已知数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式为：
a
n
，求数列
{
a
n
}
的最大项。
n
10
数列求和方法总结
1
、公式法
（
1
）等差数列
a
1
a
n
n
(
n
1
)
S
n
< br>na
d
1
n
2
2
（
2
）等比数列
q
1
na
1
<
/p>
S
n
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
q
)
q
1
1
q
1
q
n
(
< br>n
1
)(
2
n
1
)
2
2
2
2<
/p>
(
3
)
1
2
3
...
n
6
2
[
n
(
n
1
)]
3
3
3
3
4
)
1
2
3
...
n
(
4
2
、分组求和法
1
1
1
1
例
4
：计算
+
3
+
5
+
+
(2
n
-1)
n
的值
2
4<
/p>
8
2
1
1
1
1
(1)
1
，
2
，
3
，…，
(
n
n
)
，…；
2
4
8
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(2)
2
，
3
4
，<
/p>
5
6
，…，<
/p>
2
n
1
2
n
，…；
3
3
3
3
n
3
3
3
练习：求数列的前
项和
3
Sn
：
1
1
1
1
1
1
(3)1
，
1
＋
，
1
＋
，…，
1
＋
＋
＋…＋
n
1
，…．
2
2
4
2
4
2
3
、裂项相消法
常见裂项技巧：
1
1
1
(
1
)
1
;
(
2
)
n
< br>
1
n
;
n
(
n
1
)
n
n
1
n
1
n
1
1
1
< br>1
(
3
)
(
)
;
(
2
n<
/p>
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
< br>1
(
2
n
)
2
1
1
1
1
(
4
)
1
1
(
);
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
(
2
n
1
)(
2<
/p>
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
类型：数列
{
a
n
}
的通项公式形如<
/p>
a
n
=b
n
±
c
n
，而
{
b
n
}
是等差数列，
{
c
n
}
是等比数列。
1
1
1
1
.
例
5
、
化简
2
1
3
2
4
3
n
1
n<
/p>
1
1
1
1
的值
.
练习
求
S
n
1
3
3
5
5
<
/p>
7
(
2
n
1
)
(
2
n
1
)
4
、倒序相加法
特点：
a
a
a
a
a
a
...
1
n
1
2
n
2
3
< br>n
3
2
2
2
2
2
sin
例
5
、
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin<
/p>
89
。
2
x
例
6
、
1
、已知
f
(
x
)
x
，
2
< br>2
设
S
n
f
(
)
f
(
)
f
(
)
1
n
2
n
3
n
n
< br>f
(
)
，求
S
n
n
5
、错位相减法
常应用于形如
{
a
n
·
b
n
}
< br>的数列求和
,
其中
{
a
n
}
为等差数列
, {
b
n
}
为等比数列
.
例
7
、
S
n
2
5
2
8
2
2
（
< br>3
n
-
1
）
2
n
1
1
1
1
练习：
S
n
2
5
8
(
)
< br>2
（
3
n
-
1
）
(
)
n
1
2
2
2
1
1
1
(
< br>2
)
1
;
1
2
1
2
3
1
2
3
< br>
n
(
3
)
4
7
4
10
4
2
（
3
n
1
）
4
n
1
练习：数列
{
a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
，
a
1
<
/p>
1
，
a
n
1
2
S
n
1
（
n
1
）
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
< br>
（
2
）等差数列
{
b
n
}
< br>的各项为正数，且
b
2
5
，又
a
1
b
1
，
a
2
b
< br>2
，
a
3
b
3
成等比数列，求
b
n
（
< br>3
）求数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
数列通项公式方法总结
1
、公式法
等差数列的通项公式
：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
a
n
< br>
a
m
(
n
m
)
d
等比数列的通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
a
n
a
m
q
n
m
2
、累加法
类型：
a
a
f
(
n
)(
n
N
)
n
1
n
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a<
/p>
1
1
,
求
a
n
例
1
、
a
n
1
a
n
3
n
2
，
a
1
< br>
1
,
求
a
n
例
2
、
a
n
1
a
n
3
n
，
a
1
< br>
1
,
求
a
n
例
3
、
3
、累乘法
a
类型：
n
1
f
(
n
)(
n
N
)
a
n
例
4
、
a
n
1
2
n
a
n
，
a
1
< br>
3
,
求
a
n
n
1
a
n
,
求
a
n
练习：
a
1
1,
a
n
1
n
4
、利用
S
n
求
a
n
S
1
,
n
=1
a
n
S
S
,
n
2
n
1
< br>n
n
n
n
练习：
S
1
(
a
1
)(
n
N
*
)
n
n
3
(
4
)
、数列
{
a
}
的前
n
项和为
S<
/p>
，且
a
1
，
a
1
S
,
n
1
,
2
,
< br>3
n
n
1
n
1
n
3
求
a
2
,
a
3
,
a
4
的值及数列
{
a
n
}
的通项公式
.
例
4
：
S
3
1,
求
a
5
、取倒数
pa
n
<
/p>
类型：
a
n
<
/p>
1
p
qa
n
例
5
、
a
2
a
n
，
a
1
,
求
a
< br>n
1
1
n
a
n
2
例
6
、
已知数列
{
a<
/p>
n
}
中，
a
1
=1,
a
n<
/p>
+1
+3
a
n+
1
a
n
-
a<
/p>
n
=0,
求数列
{
a
n
}
的
通项公式
.
6
、取对数
p
类型：
a
n
1
Aa
n
3
a
n
例
7
、
1
a
n
,
a
1
2
,
求
a
n
7
、构造法
主要用于形如
a
n+1
=c a
n
+d
的已知递推关系式求通项公式。
例
8
、
a
1
=3,a
n+1
=2a
n
+3
,<
/p>
求
a
n
1
1
练习：
(1)
a
n
1
a
n
，
a
1
1,
求
a
n
2
3
(2)
a
n
1
6
a
n
9
，
a
1
1,
求
a
n
a
n
练习：
a
1
1
，
a
n
1
,<
/p>
求
a
n
3
2
a
n
a
n
1
2
a
n
2
n
,
a<
/p>
1
1,
求
a
n
n
1
a
2
a
< br>3
,
a
1
1,
求
a
n
n
1
n<
/p>
(5)<
/p>
、数列
a
n
中<
/p>
,
s
n
是它的前
n
和
,
并且满
足
s<
/p>
4
a
2(
n
N
),
a
1
1
n
1
n
(1)
设
b
n
a
n
1
2
a
n<
/p>
,
求证
b
n
是等比数列
;
a
(2)
设
c
n
,
求证数列
c
是等差数列
.
n
n
2
n
、已知数列
a
n
的
首项
a
1
3
,
通项
a
n
与
(6)
n
项和
s
n
之间
满足
2
a
n
s
n
s
n
1
(
n
2).
前
求数列
a
n
的通项公式
.
8
、特征根法
形如
(
其中
p,q
< br>为常数
)
型
例
9
、
a
n
1
a
n
6
a
n
< br>
1
,
a
1
1,
a
2
2,
求
a
n
10<
/p>
、
a
例
n
1
4
a
n
4
a
n
1
,
a
1
1,
a
2
2
,
求
a
n
n
n
方法总
结：若方程有两个根
x
1
,
x
2
，则
a
n
Ax
1
Bx
2
n
若方程只有一
个根
x
，则
a
(
A
+
Bn
)
x
1
n
1
练习、
a
n
1
2
a
n
8
a
n
1
,
a
1
< br>1,
a
2
2,
求
a
n
练习、
a
n
1
6
a
n
9
a
n
1
,
a
1
1,
a
2
2,
求
a
n
< br>
2
设
p
，
q
为实数，
数列
{
x
n
}
满足
x
1
p
，
x
2<
/p>
p
q
，
x
n
px
n
1
qx
n
2
，
是方程
x
2
px
q
0
的两个实根，
（
n
3
，
…）
< br>．
4
，
（
1
）证明：
p
，
q
；
（
2
）求数
列
{
x
n
}<
/p>
的通项公式；
（
3
）若
p
1
，
q
1<
/p>
，求
{
x
n
}
的前
n
项和
S
n
．
4
1.
若
，求
[
例
1
]
已知数列
{
a<
/p>
n
}
满足
a
1
1,
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
...
(
n
1)
a
n
1
(
n
2),
则
a
n
__
_
__
.
a
n
a
1
2
a
2
< br>3
a
3
...
(
n
1)
a
n
1
(
n
<
/p>
2)
a
a
2
a
3
a
...
(
n
2)
a
(
n
3)
1
< br>2
3
n
2
n
1
a
n
a
n
1
(
n
1)
a
n
1
(
n
3)
a
n
a
n
(
n
3)
n
1
1 ,
n
1
<
/p>
a
n
1
2
3
n
,
n
2
2
【例
2
】<
/p>
已知数列
{
a
}
、
{
b
}
满足
a
1
1
，
a
2
3
，
n
n
b
n
1
*
2
(
n
<
/p>
N
)
，
b
n
a
n
1
a
n
。
b
n
（
1
）求数列
{<
/p>
b
n
}
的通项公
式；
（
2
）
求数列
a
的通项公式；
n
< br>（
3
）数列
{
< br>c
n
}
满足
c
n
log
2
(
a
n
1
)
(
n<
/p>
N
*
)
，
1
1
1
求
S
n
。
c
1
c
3
< br>c
3
c
5
c
2
n
1
c
2
n
1
b
n
1
（
1
）
2
< br>(
n
N
*
)
，
【
解
】
b
n
又
b
a
a
3
1
< br>
2
。
1
2
1
所以数列
{
b
n
}
是首项
b
1
2
，公比
q
2
的等比数列。
< br>故
b
b
q
n
1
2
n
。
n
1
（
2
）
a
a
2
n
< br>(
n
N
*
)
n
1
n
a
n
(
a
n
a
n
1
)
< br>(
a
n
1
a
n
2
)
...
(
a
2
a
1
)
a
1
1
2
n
n
1
n
2
2
2
< br>
2
1
2
n
1
。
1
2
n
（
3
）
c
log
(
a
1
)
< br>
log
(
2
< br>n
1
1
)
log
2
n
，
n
2
n
2
2
1
1
1
1
1
(
< br>)
c
2
n
1
c
2
n
1
(2<
/p>
n
1)(2
n
1)
2
2<
/p>
n
1
2
n
1
1
1
1
S
n
c
1
c
3
< br>c
3
c
5
c
2
n
1
c
2
n
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
2
3
3
5
2
n<
/p>
1
2
n
1
1
1
n
。
(1
)
2
< br>2
n
1
2
n
1
【
例
1
】
已知数列
{
a
n
}
中
，
a
1
3<
/p>
,
a
n
1
2
a
n
0
,
数列
{
b
n
< br>}
中，
b
n
a
n
1
(
n
N
)
．
< br>（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
通项公式；
n
*
（Ⅱ）求数列
{
b
n
}
通项公式以及前
< br>n
项的和．
【解】
（
1
）∵
a
n
1
2
< br>a
n
0
∴
∴
a
n
3
2
n
1
(
n
N
*)
（
2
）∵
b
n
a
n
< br>
1
n
(
n
N
*
)
，
1
1
=
(
1
)
n
a
n
3
2
n
< br>1
1
1
1
∴
S
n
b
1
b
2
b
n
< br>
(
1
)
n
3
3
2
3
2
n
1
1
1
< br>1
(
)
n
2
1
2
1
3
2
=
=-
1
(
)
n
=
(
)
n
1
<
/p>
1
9
2
9
2
1
2
1
【例
2
】
< br>已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
且
2
a
n
2
S
n
S
n<
/p>
1
0
(
n
2
)
．
1
(
Ⅰ
)
求证
{
< br>}
是等差数列，并求出
a
n
的表达式；
S
n
∴
a
n
是首项为
3
，公比为
2
的等比数列，
a
n
1
2
(
n
1
)
，又
a
1
3
，
a
n
∴
b
n
(
1
)
n
2
2
< br>2
(
Ⅱ
)
若
b
n
2
(
1
n
)
a
n
(
n
2
)
，求证
b
2
b
3
< br>
b
n
1
．
（
I
）
证明：∵
S
n
a
1
a
2
a
n
∴当
n
≥
2
时，
a
n
=
S
n
–
S
n
< br>–
1
又
a
n
2
S
n
S
n
1
0
∴
S
n
S
n
1
2
< br>S
n
S
n
1
0
(
n
2
)
，
若
S
n
=
0
，则
a
n
=
0
，
∴
a
1
=
0
与
a
1
=
矛盾！
∴
S
n
≠
0
，
S<
/p>
n
–
1
≠
0
．
∴
又
1
S
n
1
1
1
1
2
0
即
2<
/p>
S
n
S
n
S
n
1
1
2
1
1
2
．
S
2
S
1
1
∴
{
}
是首
项为
2
，公差为
2
的等差数列
S
n