求通项公式的常用方法
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求通项公式的常用方法
一、定义法：
直接利用等差数列或等
比数列的定义求通项的方法叫定义法，
这种方法适应
于已知数列
类型的题目．
例
1
< br>．等差数列
a
n
是递增数列，前
n
项和为
S
n
，且
a<
/p>
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，
2
．求数列
a
n
的通项公式
.
S
5
a
5
二
、公式
法：递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
或
S
n
f
(
a
n
)
)
S
1
(
n
1
< br>)
解法：利用
a
n
与
a
< br>n
S
n
S
n
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消去
S
n
S
S
(<
/p>
n
2
)
n
1
n
(
n
2
)
或与
S
< br>n
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
进行求解。<
/p>
例题：
已知无穷数列
< br>
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
并且
a
n
S
n
1(
n
N<
/p>
*
)
，
求
a
n
的
通项公式？
跟踪训练
1
、已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，满足关系
lg
S
n
< br>
1
n
(
n
1
,2
)
.
试证
数列
a
n
是等比数列
.
三
、待定系数法：
（换元法）
1
类型一：
a
n
1
<
/p>
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)<
/p>
0
)
）
○
。解法（待
定系数法）
：把原递推公式转化为：
a
n
<
/p>
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
换元法转化为等比数列
{a
n
-t}
的形式求解求解。
例题：
1
、已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
1
，
a
n
2
a
n
1
1(
n
2)
，求数列
a
n
的通
项公式
.
2
、数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，<
/p>
a
n
=
q
，再利用
1
p
1
a
n
1
+1
（
n
≥
2
）
，求数列
{a
n
}
的通项公式
2
1
3
、数列
{a
n
}<
/p>
满足
a
1
=1<
/p>
，
3
a
n
1
a
n
7
0
,
求数列
{a
n
}
的通项公式。
4
、已知
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
1
，且
a
n
1
3
a
n
2
，求
a
n
．
1
5
、已知数列
{
a
n
}
满足：
a
n
1
a
n
2
,
n
N<
/p>
,
a
1
4
,
求
a
n
.
3
2
类型二、
a
n
<
/p>
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
○
q
均为常数，
(
pq
(<
/p>
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（或
a
n
1
pa
n
rq
n
,
其中
p
，
q, r
均为常数）
<
/p>
。解法：一般地，要先在原递推公式
两边同除以
< br>q
n
1
，得：
a
n
1
p
a
n
1
a
n
引入辅助数列
（其中
）
，得：
b
b
n
n
n
1
n<
/p>
n
q
q
q
q
q
b
n
1
p
1
b
n
再待定系数法解决。
q
q
5
1
1
,
a
n
1
a
n
(
)
n
1
，求
a
n
。
6
3
2
例题：已知数列
a
n
中，
a
1
跟踪
训练：
1
、设数列
< br>a
n
的前
n
项的和
S
n
求首项
a
1
与通项
a
n
；
4
1
2
a
n<
/p>
2
n
1
，
n
1,2,3,
3
3
3
2
、已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
3
n
2
a
n
1
(
n
<
/p>
2
)
，
求
a
n
3
类型三、递推公式为
a
n
2
< br>
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
○
。
< br>递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
< br>n
（其中
p
，
< br>q
均为常数）
。解法：先把原递推公式转
2
< br>s
t
p
化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
其中
s
，
t
满足
，再应用再利用等
比数列
st
q
{
a
n
s
a
n
1
}
求解。
例题：
已知数
列
a
n
<
/p>
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n
2
< br>
跟踪训练
:1
、已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n
2
2
、数
列
a
n
<
/p>
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
<
/p>
N
)
，
a
1
a
,
a
2
b
,
求
a
n
3
、已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
2
3,
a<
/p>
n
2
3
a
n
1
2
a
n
(
n
N
*
).
（
I
）证明：数列
a
n
1
a
n
是等比数列；
（
II
）求数列
a
n
的通项公式；
4
、数列
a
n
满足
a
1
2
,
a
2
5
,
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n<
/p>
=0
，求数列
{a
n
}
的通项公式
3
类型四
递
推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
< br>或
S
n
f
(
a
n
)
)
与其它类型综合
< br>○
S
1
(
n
1
)
< br>解法：利用
a
n
与
a
n
< br>
S
n
S
n
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消去
S
n
S
S
(
n<
/p>
2
)
n
1
n
2
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
2
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
(
n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
进行求解。
例题：数
列
a
n
<
/p>
前
n
项和
S
n
4
a
n
通项公式
a
n
.
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
（
2
）求
跟踪训练：
1
、
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
2
a
n
(
1
)
n
,
n
1
．
求数列
a
n
的通项公式。
3
2
、数列
a
n
中前<
/p>
n
项的和
S
n<
/p>
2
n
a
n
，求数列的通项公式
a
n
.
四、累加法：利用
a
n
a
1
(
a
2
a
1
)<
/p>
(
a
n
a
n
1
)
求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如
a
n
1
a
n<
/p>
f
(
n
)
的递推数列通项公式的基本方法（
f
(
n
)
可求前
n
项和）
.
1
例题：已知无穷数
b
n
满足
b
1
1
，
b
n
1
b
n
2
项公式
.
跟踪训练：
1
、已知数列
a
< br>n
满足
a
1
n
(
n
1)
，求数列
b
n
的通
1<
/p>
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
< br>2
n
n
2
、已知数列
a
< br>n
中
,
a
1
1
,
且
a
2
k
a
2
k
1
(
1
)
k
< br>,
a
2
k
1
a
2
k
3
k
,
其中
k
1,2,3,
……，
求数列
< br>
a
n
的通项公式。
五、累乘法
:
利用恒等式
a
n
< br>a
1
a
a
2
a
3
n
(
a
n
0,
n
2)
求通项公式的方法称为
a
1
a
2
a
n
1
累乘法
,
累乘法是求型如
:
a
n
1
g
(
n
)
a
n
的递推数列通项公式的基本方法
(
数列
g
(
n
< br>)
可求前
n
项积
).
例题：已知
a
1
1
,
a
n
n
(
a
n
1
a
n
)
(
n
N
*<
/p>
)
,
求数列
<
/p>
a
n
通项公式
.
跟踪
训练：
1
、已知数列
a
n
满足
< br>a
1
4
2
n<
/p>
a
n
，求
a
n
。
，
a
n
1
3
n
< br>1