数学必修五数列解题技巧
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高考数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
< br>S
1
(
n
1
)
1
）
数列的前
n
项和与通项的公式①
S
n
a
1
a
2
a
n
< br>；
a
n
S
n
S
n
<
/p>
1
(
n
2
)
2
）数列的分类：①递增数列
:
对于任何
n
N
,
均有
a
n
< br>
1
a
n
.
②递减数列
:
< br>对于任何
n
N
,
均有
a
< br>n
1
a
n
.
③摆动数列
< br>:
例如
:
< br>1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
.
④常数数列
:
例
如
:6,6,6,6,
……
.
⑤有界数列
:
存在正数
M
使
a
n
<
/p>
M
,
n
N
.
⑥无界数列<
/p>
:
对于任何正数
M
,
总有项
a
n
使得
a
n
M
.
一、等差数列
n
(
a
1
a
n
)
1
）通
项
公
式
a
n
a
1
(
n
1
)
d
，
a
1
为<
/p>
首
项
，
d
为
公
差
。
前
n
项
和
公
式
S
n
或
2
1
S
n
na
1
n
(
n
1
)
d
.
2
2
）等差中项：
2
A
a
b
。
3
）等差数列的判定方法：⑴定义法：
a
n
1
a
n
d
（
n
N
，
d
是常数）
< br>
a
n
是等差数列；⑵中
项法：
2
a
n
1
a
n
a
n
2
(
n
N
)
a<
/p>
n
是等差数列
.
4
）等差数列的性质：
⑴数列
a
n
是等差数列，则数列
a
n
p
、
pa
n<
/p>
（
p
是常数）
都是等差数列；
⑵在等差数列
a
n
中，等距离
取出若干项也构成一个等差数列，即
a
n
,
a
n
k
,
a
n
2
k
,
a
n
3
k
,
为等差数列，
公差为<
/p>
kd
.
⑶
a<
/p>
n
a
m
(
n
m
)
d
；
a
n
an
< br>
b
(
a
,
b
是常数
)
；
S
n
a
n
2
bn
(
a
,
b
是常数
，
a
0
)
⑷若
m
n<
/p>
p
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
)
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
S
⑸若等差数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
，则
n
是等差数列；
n
S
偶
a
n
1
⑹
当
项
数
为
2
n
< br>(
n
N
)
，
则
S
偶
S
奇
nd
,
；
当
项
数
为
2
n
1
(
n
N
)
，
则
S
奇
a<
/p>
n
S
n
1
.
S
奇
S
偶
a
n
,
偶
< br>
S
奇
n
(7)
设
(8)
设
(9)
是等差数列，则<
/p>
，
是等差数列的前
项和，则
（
是常数）是公差为
，
；<
/p>
的等差数列；
，则有
；
(10)
其他衍生等差数列：若已知等差数列
①．
②．
，公差为
，前
项和为
< br>；
，则
为等差数列，公差为
（即
）
为等差
数列，
公差
；
③．
（即
）为等差数列，公差为
.
二、等比数列
1
）通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
，<
/p>
a
1
为首项，
q
为公比
。
前
n
项和公式：
①当
q
1
时，
S
n
na
1
②当
q
1
时，
a
1
(<
/p>
1
q
n
)
a
1
a
n
q
.
S
n
< br>1
q
1
q
2
）等比中项：
G
2
a
b
。
3
）等比数列的判定方法：⑴定义法：
2
；
a
n
1
q
（
n
N
，
q
0
是常数）
a
n
是等比数列；⑵中项
a
n
法：
a
n
1
a
n
a
n
2
(
n
N
)
且
< br>a
n
0
a
n
是等比数列
.
4
）等比数列的性质：
⑴数列
a
n
是等比数列，则数列
p
a
n
、
<
/p>
pa
n
（
q
0
是常数）都
是等比数列；
n
< br>m
a
a
q
(
n
,
m
N
)
n
m
（
2
）
<
/p>
（
3
）若
m
n
p
q
(
m
,
n
,
p
< br>,
q
N
)
，则
a
m
a
n
<
/p>
a
p
a
q
；
（
4
）若等比数列
<
/p>
a
n
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2
k
S
k
、
S
< br>3
k
S
2
k
、
S
4
k
S
3
k
是等比数列
.
（
5
）设
<
/p>
（
6
）设
，
是等比数列，则
也是等比数列。
则
也是等比数列（即等比数列中等距离
是等比数
列，
是等差数列，且
分离出的子数列仍为等比数列）
；
（
7
）设
<
/p>
（
8
）设
是正项
等比数列，则
，
是等差数列；
，
，公比为
，前
项和
为
；
）
为等
比数列，
公比为
；
，则
，则有
；
（
9
）其他衍生等比数列：若已知等比
数列
①．
②．
为等比数列，公比为
（即
三、解题技巧：
A
、数列求和的常用方法：
1
、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊
数列求和。
2
、错项相减法：适用于
差比数列（如果
a
n
等差，
b
n
等比，那么
a
n
b
n
叫做差比数列）
即把每一
项都乘以
b
n
的公比
q
，向后错一项，再对应同
次项相减，转化为等比数列求和。
3
、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列
1
1
1
1
1
1
<
/p>
(
)
，
和
（
其
中
等
差
）。
可
裂
项
为
：
< br>a
n
a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1
a
< br>n
a
n
1
a
n
a
n
1
1
1
(
a
n
1
< br>
a
n
)
a
n
a
n
1
d
B
、等差数列前
n
项和的最值问题：
1
、若等差数列<
/p>
a
n
的首项
a
1
0
，公差
d
0
，则前
n
项和
S
n
有最大值。
a
0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最大
n
；
a
0
n
1