高三数列知识点与题型总结归纳文科
-
精心整理
数列考点总结
第一部分
求数列的通项公式
一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书）
二、求数列的通项公式
四种基本数列
：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通
项公式
的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列
通过变形，代换转化为等差数列
或等比数列。
求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
一、累加法
1
．
适用于：
a
n
1
a
n
f
(<
/p>
n
)
----
------
这是广义的等差数列
累加法是最基本的二个方法
之一。
<
/p>
若
a
n
1
a
n
f
(
n
)
(
n
2)
，
a
2
a
1
f
(1)
a
3
a
2
f
(2)
L
L
则
a
n
1
a
n
f
(
n
)
< br>
两边分别相加得
a
n
1
a
1
< br>f
(
n
)
k
1
n
例
1
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
< br>
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
2
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
< br>n
2
3
n
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n<
/p>
}
的通项公式。
a
n
a
n
1
a
n
2
n
(
n
N
*
)
练习
1.
已知数列
的首项为
1
，且
写出数列
a
n
的通项公式
.
2
答案：
n
n
1
精心整理
精心整理
练习
2.
已知数列
{
a
< br>n
}
满足
a
1
3
，
答案：裂项求和
a
n
2
1
n
a
n
a
n
1
1
(
n
2
)
n
< br>(
n
1
)
，求此数列的通项公式
.
评注：已知
a
1
a
,
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，其中
f(n)
可以是关于
n
的一次函数、二次函数、指
数函数、分式函数，求通项
a
n
.
①若
f(n)
是关于
n
的
一次函数，累加后可转化为等差数列求和
;
②若
f(n)
是关于
n
的二次函
数，累加后可分组求和
;
③若
f(n
)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化
为等比数列求和
;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和。
S
例
3.<
/p>
已知数列
{
a
n
1
n
}
中
,
a
n
0
且
2
(
a
n
n
a
)
n
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
a
练习
3
已知数列
{
a
n
1
2<
/p>
a
n
n
}
满足
a
,
a
1
1
n
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
二、累乘法
1
、适用于：
a
n
1
f
(
n
)
a
n
累乘法是最基本的二个方法之二。
a
n
1
f
(
n
)
a
2
f
(1)
，
a
3
f
(2)
，
L
L
，
a
< br>n
1
f
(
n
若
a
n
，则
a
1<
/p>
a
)
2
a
n
a
n
n
1
两边分别相乘得，
a
a
1
f
(
k
)
1
k
1
例
4
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
5.
设<
/p>
a
是首项为
1
的正项数列，且
2
2
< br>n
n
1
a
n
1
na<
/p>
n
a
n
1
a
n
0
（
n
=1
，
2
，
< br>则它的通项公式是
a
n
=___
_____.
三、待定系数法
<
/p>
适用于
a
n
<
/p>
1
qa
n
f
(
n
)
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3
，…），
精心整理
基本思路是转化为等差数列
或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自
然数集的一个函数。
1
．形如
a
n
1
< br>ca
n
d
,
(
c
0
,
其中
a
1
a
)
型
（
1
）若
c=1
时，数列
{
a
n
}
为等差数列
;
（
2
）若
d=0
时，数列
{
a
n
}
为等比数列
;
（
3
）若
c
1
且d
0
时，数列
{
a
n
}
为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构
造辅助
数列来求
.
待定系数法：设<
/p>
a
n
1
c
(
a
n
)
,
得
< br>a
n
1
ca
n
(
c
1
)<
/p>
,
与题设
a<
/p>
n
1
ca
n
d
,
比较系数得
(
c
1
)
d
,
所以
d
d
d
,
(
c
0
)
a
n
c<
/p>
(
a
n
1
)
c
1
c
1
c
1
所以有：
d
< br>
d
a
n
a
1
c
1
构成以
c
1
为首项，以
c
为
公比的等比数列，
因此数列
所以
a
n
d
d
d
d
(
a
< br>1
)
c
n
1
a
n
(
a
1
)
c
n
1
c
1
< br>c
1
c
1
c
1
.
即：
a
n
1
d
d
c
(
a
n
)
c
< br>1
c
1
,
构造成公比为
c
的等比数列
规律：
将递推关系
a
n
1
ca
n
d
化为<
/p>
{
a
n
d
d
d
}
a
n
1
c
n
1
(
a
1
)
c
<
/p>
1
从而求得通项公式
1
< br>
c
c
1
逐项相减法
（阶差法）
：
有时我们从递推关系
a
n
1
c
a
n
d
中把
n
换成
n-1
有
a
n
ca
n
1
d
,
两式相减有
a
n
1
a
n
c
(
a
n
a
n
1
< br>)
从而化为公比为
c
的等比数列
{
a
n
1
a
n
}
,
进而求得通项
公式
.
杂
.
例
6
、已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
1,
a
n
2
a
n
1
1(
n
2)
，求数列
a
n
的通项公式。
2
．形如：
精心整理
< br>a
n
1
p
a
n
q
n
a
n
1
a
n
c
n
(
a
2
< br>
a
1
)
,
再利用类型
(1)
即可求得通项公
式
.
我们看到此方法比较复
(
其中
q
是常数，且
n
0,1)
精心整理
①若
p=1
时，即：
a
n
1
a
n
q
n
，累加即可
.
a
n
< br>
1
p
a
n
q
n
p
1
②若
时，即：
，
n
1
p
求通项方法有以下三种方向：
i.
两边同
除以
.
目的是把所求数列构造成等差数列
a
n
1
n
1
p
即：
a
n
q
n
a
1
p
n
1
p
(
)
b
n
n
n
b
n<
/p>
1
b
n
(
)
n
p
q
,
令
p
q
,
然后类型
1
，累加求通项
.
p
，则
n
1
q
ii.
两边同除以
.
目的是把所求数列构造成等差数列。
a
n
1
n<
/p>
1
q
即：
<
/p>
p
a
n
1
n
q
q
q
,
b
n
1
< br>p
1
b
n
q
q
.
然后转化为类型
5
来解，
令
b
n
< br>
a
n
q
n
,
则可化为
iii.
待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设
a
n
1
q
n
1
p
(
a
n
< br>
p
n
)
.
通过比较系数，求出
，转化为等比数列求通项
.
注意：应用待定系数法时，要求
p
< br>q
，否则待定系数法会失效。
例
7
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
4
3
n
1
，
a
1
1
，求数列
a
n
的通项公式。
练习
3.
（
2009
陕西卷文）
已知数列
a
< br>n
}
满足，
< br>a
1
＝
1
’
a
2
2
,
a
n
＋
2<
/p>
＝
a
n
a
n
1
,
n
N
*
2
.
< br>
令
b
n
a
n
1
a
n
，证明：
{
b
n<
/p>
}
是等比数列；
(
Ⅱ
)
求
a
n
}
的通项
公式。
1
5
2
1
n
1<
/p>
*
a
(
)
(
n
N
)
n
b
n
2
3
3
2
答案：
（
1
）
是以
1
为首项，
为公比的等比数列。
（
2
）
。
总结：四种基本数列
1
．形如
a
n
1
a
< br>n
f
(
n
)
型
等差数列的广义形式，见累加法。
2.
形如
a
n
1
f
(
n
)
a
n
型
等比数列的广义形式，见累乘法。
3
.
形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型
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