(完整版)高考数学专题《数列》超经典
-
高考复习序列
-----
高中数学
数列
<
/p>
一、数列的通项公式与前
n
项的和的关系
n
1
s
1
,
①
a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
s
s
,
< br>n
2
n
n
1
②
S
n
S
n
1
a
n
(
n
2)
（注：该公式对任意数列都适用）
③
S
n
a
1
a
2
L
a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
④
s
n+1
−
s
n−1
=
a
n+1
+
a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
二、等差与等比数列的基本知识
1
、等差数列
⑴
通项公式与公差：
定义式：
a
n
a
n
1
< br>d
一般式：
a
n
a
1
n
1
d
a<
/p>
n
pn
q
推广形式：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
d
a
< br>n
a
m
；
n
m
S
n
S
m
d
n
m
；
前
n
项和与公差的关系：
2
n
m
⑵
前
n
项和与通项
a
n
的关系
：
n
(<
/p>
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d
1
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n<
/p>
.
2
2
2
2
d
1
2
前
n
项和公式的一般式：
S
n
An
Bn
,
其中
A
<
/p>
,
B
a
1
d
2
2
2
应用：若已知
f
n
2
n
< br>n
，即可判断
f
n
为某个等差数列
a
n
的前
n
项和，并
可求出首项及公差的值。
前
n
项和公式：
s
n
<
/p>
a
n
与
S
n
的关系：
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
（注：该公式对任意数列都适用）
例：等差数列
S
n
2
n
1
，
a
n
a
< br>n
1
（直接利用通项公式作差求解）
⑶
常用性质：
①若
m+n=p+q
，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
；特别地：若
a<
/p>
m
是
a
n
,
a
p
的等差中项，
则有
2
a
m
a
n
a
p
n
、
m
、
p
成等差数列；<
/p>
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”
（如
a
1
a
2
a
3
,
a
4
a
5
a<
/p>
6,
a
7
a
8
a
9
，
）仍是等差
数列；
③
a
n
为公差
为
d
等差数列，
S
n
为其前
项和
，则
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
m<
/p>
S
2
m
，
S
4
m
S
3
m
，
．
．
．也成等差数列
,
．
n
．
．．
A
、
构成的新数列
公差为
D=
m
2
d
，
即<
/p>
m
2
d=(S
2
m
-S
m
)-
S
m
；
S<
/p>
n
S
m
d
n
m
，即
S
n
也构成一个公差为
d
等差数列。
B
、
对于任意已知
S
m
，
< br>S
n
，
等差数列
a
n
公差
2
2
n
m
n
2
S
奇
a
n
；
S
偶
a
n
1
S
n
< br>⑦若项数为奇数，设共有
2
n
1
项，则①
S
奇
S
偶
<
/p>
a
n
a
中
；②
奇
。
S
偶
n
1
⑥若项数为偶数，
设共有
2
n
项，则①
< br>S
偶
S
奇
nd
；
②
例：已知等差数列
a
n
，其中
S
10
< br>100
,
S
100
10
,
则
S
110
解析：法一，用等差数列求和公式
na
1
<
/p>
n
(
n
1)
d
求出
a
1
,
d
2
法二，
S
10
，
S
20
S
10
,
S
30
S
20
...
S
110
S
100
成等差数列
，设公差为
D
，则：
S
110
S
100
10
S
10
45
D
法三
,
63
.
等比数列的通项公式：
⑴
①一般形式：
a
n
a
1
q
n
1<
/p>
a
1
n
q
(
n
N
*
)
；
q
n
m
②推广形式：
a
n
a
< br>m
q
n
m
，
q
a
n
a
m
a
1
a
n
q
a
1
(1
q
n
)
,
q
1
,
q
1
<
/p>
③其前
n
项的
和公式为：
s
n
1
q
，或
s
n
1
q
. <
/p>
na
,
q
1
na
,
q
1
1
1
⑵数
列
a
< br>n
为
等
比
数
列
a
n
1
q
q
0
a
n
2
< br>a
n
1
a
n
1
0
n
2,
n
N
a
n
a
1
q
n
1
a
n
a
1
、
q<
/p>
0
，
n
N*
S
n
⑶
常用性质：
A
q
n
B
3
①
2
若
m+n=p+q
，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
；特别地：若
a<
/p>
m
是
a
n
,
a
p
的等比中项，
则有
a
m
a
n
a
p
n
、
m
、
p
成等比数列
;
②
等比数列
的“间隔相等的连续等长片断和序列”
（如
a
< br>1
a
2
a
3
,
a
4
a
5
a
6,
a
7
a
8
a
9
，
）仍是等
比数列；
<
/p>
③
a
n
为等比数列，
S
n
为其前
n
项和，则
S
m
,
S
2
m
S
m<
/p>
,
S
3
m
S
2
m
，
S
4
m
S
3
m
，
．
．
．也成等比数列（仅当当<
/p>
q
1
或者
q
1
且
m
不是偶数时候成
立）
；
设等比数列
< br>{
b
n
}
的前
为
．
n
项积
．．
T
n
，则
T
k
，
T
2
k
T
3
k
T
,
，
4
k
成等比数列．
<
/p>
T
k
T
2
k
T
3
k
④
a
n
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数
列
.
⑤
a
n
既是等
差数列又是等比数列
a
n
是各项不为零的常数列
.
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
a
n
1
a
n
d
(
常数）（
n
N<
/p>
）
a
n
是等差数列<
/p>
②中项法：
2
a
n
1<
/p>
a
n
a
n
2
（
n
N
)
a
n
是等差数列
③一般通项公式法：
a<
/p>
n
kn
b
(
k
,
b
为常数
)
a
n
是等差数列
(
A
,
B
为常数
)
a
n
是等差数列
④一般前<
/p>
n
项和公式法：
S
n
An
2
Bn
判断或证明一个数列是等差数
列的方法：
（
1
）定义法：
a
n
1
q
（常数）
a
n
< br>
为等比数列；
a
n
2
（
2
）中项法：
a
n
1
a
n
a
n
2
(
a
n
0
)
<
/p>
a
n
为等比数
列；
n
（
3
）通项公式法：
a
n
k
q
(
k
,
q
为常数）
a
n
为等比数列；
（
4
）前
n
项和法：
S
n
k
(
1
< br>q
n
)
（
k
,
q
为常数）
a
n
为等比数列。
S
n
k
kq
n
（
k
,
q
为常数）
a
n
为等比数列。
数列最值的求解
（
< br>1
）
a
1
0
，
d
0
时，
S
n<
/p>
有最大值；
a
1
0
，
d
<
/p>
0
时，
S
n
有最小值；
4
2
（
2
）
S
n
最值的求法
：①若已知
S
n
，
S
n
的最值可求二次函数
S
n
an
bn
的最值；
可用二
次函数最值的求法（
n
N
）
；②或者求出
a
n
中的正、负
分界项，即：
若已知
a
n
，则
S
n
最值时
n
的值（
n
N
）可如下确定
a
n
0
a
n
0
或
< br>
。
a
n
1
0
a
n
1
0
例
1
：等差数列
a
n
中，
a
1
0
，
S
9
S
12
，则前
项的和最大。
【解析】
：
a
1
0<
/p>
，
S
9
S
12
S
12
S
9
0
a
12
a
11
a
10
< br>0
a
11
a
12
a
10
a
12
a
10
<
/p>
前
11
（或前
10
项）
项和最大
2
a
11
a
12
a
10
a
11
0
例
2
．设等
差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
12
，
S
12
0
，
S
13
0
①求
出公差
d
的范围，
< br>
，
S
12
中哪一个值最大，并说明理由。
②指出
S
1
，
S
2
，
【解析】
< br>：
12
a
1
a
12
12
2
12
2
d
11<
/p>
d
144
42
d
2
2
①
24<
/p>
同理：
S
13
156
52
d
,
根据已知
S
12
0
，
S
13
0
，
d
3
7
a
1
a
3
2
< br>d
12
2
d
,
S
12
②
由
a
3
12
，
S
12
0
，
S
13
0
及
d
0
，可知，
n=12
是前
n
项和正
负分界项，
故
a
n
0
n
6
,<
/p>
a
n
0
n
7
,
所以，
S
6
最大
变式：若等差数
列的首项为为
31
，从第
16
项开始小于
1
，则此数列公差
d
的取值范围是
解析：
a
16
1
，但
要注意此时还要一个隐含条件
a
15
1
，联立不等式组求解。
3
、若数列的前
n
项和<
/p>
S
n
n
2
10
n
，则
a
n
，
ns
n
数值最小项是第
项。
<
/p>
【解析】
：法一（导数法）
：
2
根据等差数列前
n<
/p>
项和的标准形式
S
n
An
Bn
，可知该数列为等差数列，
a
1
S
1
n
2
10
n
9
,
a
2
S
2
S
1
7
,
d
a<
/p>
2
a
1
2
,
a
n
2
n
11
nS
n
2
n
11
n
f
(
n
)
n
S
n
2
n<
/p>
2
11
n
,
f
‘
(
n
)
4
n
11
,
当
f
’
(
n
)
0
时，即
n
其中
2
2
令
1
1
时
,
取得最小值，
< br>
4
11
3
，分别求出
f
(
2
)
14
,
f
(
3
)
1
5
，可见当
n=3
时
< br>
ns
n
取得最小。
4
法二
（列举法）
：
对于
a
1
0
且数值较小<
/p>
,
d
0
且数值较大时
,
可用列举法，
分别求出
n=1
、
2
…
时的
ns
n
的值，再进行比较发现。
< br>
5
4
、已知数列
a
n
，
a
1
33
,
a
n
1
a
n
2
n
,
则
a
n
的最小值为
n
2
2
【
解
析
】：
法
一
（
均
值
不
等
式
）：
< br>由
累
加
法
：
a
n
a
1
n
-
n
a
n
n
-
n
33
，
令
a
n
a
33
< br>33
n
1
,
可见当
n
，即
n
33
时，
n
取得最小值，
5
33
6
，
< br>n
n
n
n
33
63
f
(
5
)
，
f
(
6
)
，可见
n
6
时取得最小值。
5
6
f
(
n
)
法二（列举法）
：实在没招时使用该
法。
5
、
已知等差数列
a
n
的前
n
项和
S
n
,
S
10
0
,
S
15
25
,
则
n
S
n
的最小值为
。
【解析】
：
S
n
S
m
<
/p>
d
m
d
2
,
S
0
a
a
0
a
3
n
10
1
10
1
2<
/p>
n
m
3
n
3
10
n
2
20
20
n
S
n
,
令
f
< br>(
n
)
n
S
n
,
f
'
(
n
)
n
2
n
,
当
f
'
(
n
)
< br>
0
，即
n
时取得最小值，
3
3
3
20
6
7
,
而
< br>f
(
6
)
-
48
，
f
(
7
)
<
/p>
-
49
，故取
-
49
3
6
、
6
数列通项公式的求法：
类型
1
：等差数列型
a<
/p>
n
1
a
n
f
(
n
)
思路：把原递推式转化为
a
n
1
a
n<
/p>
f
(
n
)
，再使用累加法（逐差相加法）求解。
<
/p>
例，
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
< br>，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
< br>得
a
n
1
a
n
2
n
1
则
a
n
a
n
1
2
(
< br>n
1
)
1
a
n
1
a
n
2
2
(
n
2
)
1
•
< br>a
2
a
1
2
*
1
1
以上逐次累加，
< br>
a
n
n
2
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
< br>n
n
变式：
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
2
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n
3
a
n
< br>1
a
n
3
a
n
3
f
(
n
)
{
}
，
则
，
此时
，
故数列
n
1
n
n
1
n
n
2
2
2
2
2
2
2
2
a<
/p>
n
3
a
2
3
1
(
n
1)
是以
1
为首项，
以
为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式，
得
，
所以数列
{
a
n
}
<
/p>
1
n
1
2
2
2
2
2
3
1
n
的通项公式为
a
n
(
n
)2
2
2
n
n
1
解：
< br>a
n
1
2
a
n
3
2
两边除
以
2
，
得
n<
/p>
评注：
本题
a
n
1
、
a
n
前的系数不一致
，
不能直接使用前述方法，
解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
2
转化为
a
n
1
a
n
3
a
n
a
n
3
<
/p>
1
(
n
1)
{
}
，说明数列
是等差
数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
，
n
1
n
n
n
2
2
2
2
2
2
进而求出数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
类型
2
：等比数列型
a
n
1
f
(
n
)
a
n
把原递推式转化为
a
n
1
f
(
n
)
，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。
a
n
例
（
2004
年全国
I
第
15
题，原题是填空题）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1<
/p>
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公式
。
解：因为
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
所以
a
n
1
a
1
<
/p>
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
< br>
1
na
n
②
①
7